秋九年级数学上册第1章二次函数本章总结提升试题新版浙教版.docx

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秋九年级数学上册第1章二次函数本章总结提升试题新版浙教版

二次函数

本章总结提升　

问题1　抛物线的平移

抛物线y＝ax2经过怎样的平移可以得到抛物线y＝a（x－m）2＋k?

例1已知某抛物线和坐标轴的交点坐标分别为（3，0），（－1，0）和（0，－3），回答下列问题：

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）请对该抛物线给出一种平移方案，使平移后的抛物线经过原点．

【归纳总结】

问题2　二次函数的图象及性质

结合二次函数的图象回顾二次函数的性质，例如根据抛物线的开口方向、顶点坐标，说明二次函数在什么情况下取得最大（小）值．

例2二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象如图1－T－1所示，有下列说法：

①2a＋b＝0；

②当－1≤x≤3时，y＜0；

③若点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，当x1＜x2时，y1＜y2；

④9a＋3b＋c＝0.

其中正确的是（　　）

图1－T－1

A．①②④　　　　B．①④

C．①②③D．③④

【归纳总结】

字母　　项目

字母的符号

图象的特征

a

a＞0

开口向上

a＜0

开口向下

b

b＝0

对称轴为y轴

ab＞0（b与a同号）

对称轴在y轴左侧

ab＜0（b与a异号）

对称轴在y轴右侧

c

c＝0

经过原点

c＞0

与y轴正半轴相交

c＜0

与y轴负半轴相交

b2－4ac

b2－4ac＝0

与x轴有唯一交点（顶点）

b2－4ac＞0

与x轴有两个不同交点

b2－4ac＜0

与x轴没有交点

特殊关系

当x＝1时，y＝a＋b＋c

当x＝－1时，y＝a－b＋c

若a＋b＋c＞0，即x＝1时，y＞0

若a－b＋c＞0，即x＝－1时，y＞0

问题3　求二次函数的表达式

用待定系数法求二次函数的表达式的方法有哪些？

例3已知一条抛物线与x轴的交点是A（－2，0），B（1，0），且经过点C（2，8）．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）求该抛物线的顶点坐标．

【归纳总结】用待定系数法求二次函数的表达式

方法

适用条件及求法

一般式

若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数的表达式为y＝ax2＋bx＋c，将已知三个点的坐标代入，求出a，b，c的值

顶点式

若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴与最大值（或最小值），设所求二次函数的表达式为y＝a（x－m）2＋k，将已知条件代入，求出待定系数a，最后将表达式化为一般形式

交点式

若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标为（x1，0），（x2，0），设所求二次函数的表达式为y＝a（x－x1）（x－x2），将第三点的坐标（m，n）（其中m，n为已知数）或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将表达式化为一般形式

问题4　二次函数与一元二次方程的关系

结合抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系，说明方程ax2＋bx＋c＝0的根的各种情况．

例42016·荆门若二次函数y＝x2＋mx的图象的对称轴是直线x＝3，则关于x的方程x2＋mx＝7的解为（　　）

A．x1＝0，x2＝6B．x1＝1，x2＝7

C．x1＝1，x2＝－7D．x1＝－1，x2＝7

例5已知抛物线y＝x2－2（m－1）x＋m2－7与x轴有两个不同的交点．

（1）求m的取值范围；

（2）若抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（3，0），求点B的坐标．

【归纳总结】

抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的位置关系

判别式的值的情况

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况

抛物线与x轴有两个交点

b2－4ac>0

方程有两个不相等的实数根

抛物线与x轴有一个交点

b2－4ac＝0

方程有两个相等的实数根

抛物线与x轴没有交点

b2－4ac<0

方程没有实数根

问题5　二次函数最值问题的实际应用

在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归纳为求二次函数的最大值或最小值．请举例说明如何分析、解决这样的问题．

例62017·湖州湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元（总成本＝放养总费用＋收购成本）．

（1）设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值．

（2）设这批淡水鱼放养t天后的质量为m（kg），销售单价为y元/kg.根据以往经验可知：

m与t的函数关系为m＝

y与t的函数关系如图1－T－2所示．

①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y与t之间的函数表达式；

②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大，并求出最大值．（利润＝销售总额－总成本）

图1－T－2

【归纳总结】二次函数的实际应用

常见类型

步骤

抛物线形状类

①建立平面直角坐标系；②利用待定系数法确定抛物线的函数表达式；③利用二次函数的性质解决实际问题

商品销售类

①读懂题意，借助销售问题中的利润等公式寻找等量关系；②确定函数表达式；③确定二次函数的最值，解决实际问题

几何类

①根据几何知识探究图形的几何（面积、长度等）关系式；②根据几何关系式确定函数表达式；③确定二次函数的最值，解决问题

注意：

（1）当题目中没有给出平面直角坐标系时，选取的平面直角坐标系不同，所得函数表达式也不同．

（2）在求二次函数的最值时，要注意实际问题中自变量的取值的限制对最值的影响．

（3）建立函数模型解决实际问题时，题目中没有明确函数类型时，要对求出的函数表达式进行验证，防止出现错解．

问题6　二次函数与几何的综合

几何图形在二次函数的应用中怎样体现？

例72017·镇江如图1－T－3，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（4，t）（t＞0）．二次函数y＝x2＋bx（b＜0）的图象经过点B，顶点为D.

（1）当t＝12时，顶点D到x轴的距离等于________；

（2）E是二次函数y＝x2＋bx（b＜0）的图象与x轴的一个公共点（点E与点O不重合）．求OE·EA的最大值及取得最大值时的二次函数表达式；

（3）矩形OABC的对角线OB，AC相交于点F，直线l平行于x轴，交二次函数y＝x2＋bx（b＜0）的图象于点M，N，连结DM，DN.当△DMN≌△FOC时，求t的值．

图1－T－3

【归纳总结】二次函数与几何综合

二次函数常常与三角形、四边形、圆等几何图形综合，考查以下几类问题：

（1）线段数量关系、最值问题；

（2）面积数量关系、最值问题；

（3）存在性问题：

包含特殊三角形、特殊四边形、直线与圆相切等．

详解详析

【整合提升】

例1　解：

（1）∵抛物线与x轴的交点坐标为（3，0），（－1，0），

∴设抛物线的函数表达式为y＝a（x－3）（x＋1）（a≠0）．

∵当x＝0时，y＝－3，

∴－3＝（0－3）（0＋1）a，

∴a＝1，

∴y＝（x－3）（x＋1），即y＝x2－2x－3.

（2）在抛物线上取一点P（1，－4），∵将点P向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得点P′（0，0），

∴将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位后所得的抛物线经过原点（0，0）．

注：

（2）题答案不唯一．

例2　[解析]B　∵函数图象的对称轴为直线x＝－

＝

＝1，

∴b＝－2a，

即2a＋b＝0，故①正确；

∵抛物线开口向上，

∴a>0.

又∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点坐标为（－1，0），（3，0），

∴当－1≤x≤3时，y≤0，故②错误；

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，开口向上，

∴若点（x1，y1），（x2，y2）在函数图象上，当1y2，故③错误；

∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点（3，0），

∴当x＝3时，y＝0，即9a＋3b＋c＝0，故④正确．

故选B.

例3　[解析]本题可用待定系数法求抛物线的函数表达式，求该抛物线的顶点坐标可将表达式配方成顶点式．

解：

（1）设这个抛物线的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，由抛物线过A（－2，0），B（1，0），C（2，8）三点，

得

解得

∴所求抛物线的函数表达式为y＝2x2＋2x－4.

（2）∵y＝2x2＋2x－4＝2（x2＋x－2）＝2（x＋

）2－

，

∴该抛物线的顶点坐标为（－

，－

）．

[点评]求抛物线的顶点坐标除了可以将一般式配方成顶点式外，还可以直接运用顶点坐标公式（－

，

）求得．

例4　[答案]D

例5　[解析]

（1）根据b2－4ac>0确定m的取值范围；

（2）可以把x＝3，y＝0代入表达式，求出m的值，但要注意m的值应符合

（1）中的要求．

解：

（1）∵抛物线y＝x2－2（m－1）x＋m2－7与x轴有两个不同的交点，

∴方程x2－2（m－1）x＋m2－7＝0有两个不同的实数根，

∴b2－4ac>0，即4（m－1）2－4（m2－7）>0，

解得m<4.

（2）把x＝3，y＝0代入表达式，得

9－6（m－1）＋m2－7＝0，

即m2－6m＋8＝0，解得m1＝2，m2＝4.

∵m<4，∴m＝2，

∴函数表达式为y＝x2－2x－3.

令y＝0，则x2－2x－3＝0，

解得x1＝3，x2＝－1，

∴点B的坐标为（－1，0）．

例6　解：

（1）由题意得

解得

即a的值为0.04，b的值为30.

（2）①当0≤t≤50时，设y与t之间的函数表达式为y＝k1t＋n1，

把点（0，15）和（50，25）的坐标分别代入y＝k1t＋n1，得

解得

∴y与t之间的函数表达式为y＝

t＋15；

当50＜t≤100时，设y与t之间的函数表达式为y＝k2t＋n2，把点（50，25）和（100，20）的坐标分别代入y＝k2t＋n2，得

解得

∴y与t之间的函数表达式为y＝－

t＋30.

②由题意得，

当0≤t≤50时，W＝20000

－（400t＋300000）＝3600t，

∵3600＞0，∴当t＝50时，W最大值＝180000；

当50＜t≤100时，W＝（100t＋15000）·

－（400t＋300000）＝－10t2＋1100t＋150000＝－10（t－55）2＋180250.

∵－10＜0，∴当t＝55时，W最大值＝180250.

∵180000<180250，∴当t＝55天时，W最大，最大值为180250.

例7　解：

（1）

（2）∵二次函数y＝x2＋bx（b<0）的图象与x轴交于点E，∴E（－b，0），∴OE＝－b，EA＝4＋b.

∴OE·EA＝－b（b＋4）＝－b2－4b＝－（b＋2）2＋4.

∴当b＝－2时，OE·EA有最大值，其最大值为4.

此时二次函数的表达式为y＝x2－2x.

（3）如图，过点D作DG⊥MN，垂足为G，过点F作FH⊥CO，垂足为H.

∵△DMN≌△FOC，

∴MN＝CO＝t，DG＝FH＝2.

∵D

，

∴N

，即N（

，

）．

把x＝

，y＝

代入y＝x2＋bx，

得

＝

＋b·

，解得t＝±2

.

∵t＞0，∴t＝2

.