计算公式.docx

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计算公式

4.3.2单筋矩形截面承载能力计算

    矩形截面通常分为单筋矩形截面和双筋矩截面两种形式。

只在截面的受拉区配有纵向受力钢筋的矩形截面，称为单筋矩形截面（图4-10）。

不但在截面的受拉区，而且在截面的受压区同时配有纵向受力钢筋的矩形截面，称为双筋矩形截面。

需要说明的是，为了构造上的原因（例如为了形成钢筋骨架），受压区通常也需要配置纵向钢筋。

这种纵向钢筋称为架立钢筋。

架立钢筋与受力钢筋的区别是：

架立钢筋是根据构造要求设置，通常直径较细、根数较少；而受力钢筋则是根据受力要求按计算设置，通常直径较粗、根数较多。

受压区配有架立钢筋的截面，不是双筋截面。

图4-10单筋矩形截面

    根据4.3.1的基本假定，单筋矩形截面的计算简图如图4-11所示。

图4-11单筋矩形截面计算简图

    为了简化计算，受压区混凝土的应力图形可进一步用一个等效的矩形应力图代替。

矩形应力图的应力取为α1fc（图4-12），fc为混凝土轴心抗压强度设计值。

所谓“等效”，是指这两个图不但压应力合力的大小相等，而且合力的作用位置完全相同。

图4-12受压区混凝土等效矩形应力图

    按等效矩形应力计算的受压区高度x与按平截面假定确定的受压区高度xo之间的关系为:

（4-7）

    系数α1和β1的取值见表4-2。

系数α1和β1的取值表表4-2

≤C50

C55

C60

C65

C70

C75

C80

α1

1.00

0.99

0.98

0.97

0.96

0.95

0.94

β1

0.80

0.79

0.78

0.77

0.76

0.75

0.74

◆基本计算公式

    由于截面在破坏前的一瞬间处于静力平衡状态，所以，对于图4-12的受力状态可建立两个平衡方程：

一个是所有各力的水平轴方向上的合力为零，即

（4-8）

式中b——矩形截面宽度；

          As——受拉区纵向受力钢筋的截面面积。

    另一个是所有各力对截面上任何一点的合力矩为零，当对受拉区纵向受力钢筋的合力作用点取矩时，有：

（4-9a）

    当对受压区混凝土压应力合力的作用点取矩时，有：

（4-9b）

式中M——荷载在该截面上产生的弯矩设计值；

          ho——截面的有效高度，按下计算ho=h-as。

h为截面高度，as为受拉区边缘到受拉钢筋合力作用点的距离。

    按构造要求，对于处于室内正常使用环境的梁和板，当混凝土的强度等级不低于C20时，梁内钢筋的混凝土保护层最小厚度（指从构件边缘至钢筋边缘的距离）不得小于25mm，板内钢筋的混凝土保护层不得小于15mm（当混凝土的强度等级小于和等于C20时，梁和板的混凝保护层最小厚度分别为30mm和20mm）。

因此，截面的有效高度在构件设计时一般可按下面方法估算（图4-13）。

图4-13梁板的计算高度

梁的纵向受力钢筋按一排布置时，ho=h-35mm；

梁的纵向受力钢筋按两排布置时，ho=h-60mm；

板的截面有效高度ho=h-20mm。

对于处于其它使用环境的梁和板，保护层的厚度见表4-8。

    式（4-8）和式（4-9）是单筋矩形截面受弯构件正截面承载力的基本计算公式。

但是应该注意，图4-12b的受力情况只能列两个独立方程，式（4-9a）和式（4-9b）不是相互独立的，只能任意选用其中一个与式（4-8）一起进行计算。

◆基本计算公式的适用条件

    式（4-8）和式（4-9）是根据筋构件的破坏简图推导出的。

它们只适用于适筋构件计算，不适用于少筋构件和超筋构件计算。

在前面的讨论中已经指出，少筋构件和超筋构件的破坏都属于脆性破坏，设计时应避免将构件设计成这两类构件。

为此，任何设计的受弯构件必须满足下列两个适用条件：

▲为了防止将构件设计成少筋构件，要求构件的配筋率不得低于其最小配筋率

    最小配率是少筋构件与适筋构件的界限配筋率，它是根据受弯构件的破坏弯矩等于其开裂弯矩确定的。

受弯构件的最小配筋率ρmin按构件全截面面积扣除位于受压边的翼缘面积（bf'-b）hf'后的截面面积计算，即

（4－10）

式中  A——构件全截面面积；

    bf',hf'----分别为截面受压边缘的宽度和翼缘高度；

    As,min——按最小配筋率计算的钢筋面积。

ρmin取0.2%和45ft/fy（%）中的较大值。

ρmin（%）的值如表4-3所示。

建筑工程受弯构件最小配筋率ρmin值（%）表4-3

C15

C20

C25

C30

C35

C40

C45

C50

C55

C60

C65

C70

C75

C80

HPB235

0.200

0.236

0.272

0.306

0.336

0.336

0.386

0.405

0.420

0.437

0.448

0.459

0.467

0.467

HRB335

0.200

0.200

0.200

0.215

0.236

0.257

0.270

0.284

0.292

0.306

0.314

0.321

0.327

0.333

HRB400

RRB400

0.200

0.200

0.200

0.200

0.200

0.214

0.225

0.236

0.245

0.255

0.261

0.268

0.273

0.278

▲为了防止将构件设计成超筋构件，要求构件截面的相对受压区高度ξ不得超过其相对界限受压区高度ξb即

（4-11）

    相对界限受压区高度ξb是适筋构件与超筋构件相对受压区高度的界限值，它需要根据截面平面变形等假定求出。

下面分别推导有明显屈服点钢筋和无明显屈服点钢筋配筋受弯构件相对界限受压区高度ξb的计算公式。

※有明显屈服点钢筋配筋的受弯构件破坏时，受拉钢筋的应变等于钢筋的抗拉强度设计值fy与钢筋弹性量Es之比值，即ξs=fy/Es，由受压区边缘混凝土的应变为ξcu与受拉钢筋应变ξs的几何关系（图4-14）。

可推得其相对界限受压区高度ξb的计算公式为

（4－12）

图4-14截面应变分布

    为了方便使用，对于常用的有明显屈服点的HPB235、HRB335、HRB400和RRB400钢筋，将其抗拉强度设计值fy和弹性模量Es代入式（4-12）中，可算得它们的相对界限受压区高度ξb如表4-4所示，设计时可直接查用。

当ξ≤ξb时，受拉钢筋必定屈服，为适筋构件。

当ξ>ξb时，受拉钢筋不屈服，为超筋构件。

建筑工程受弯构件有屈服点钢筋配筋时的ξb值表4-4

≤C50

C55

C60

C65

C70

C75

C80

HPB235

0.614

0.606

0.594

0.584

0.575

0.565

0.555

HRB335

0.550

0.541

0.531

0.522

0.512

0.503

0.493

HRB400

RRB400

0.518

0.508

0.499

0.490

0.481

0.472

0.463

※无明显屈服点钢筋配筋受弯构件的相对界限受压区高度ξb

    对于碳素钢丝、钢绞线、热处理钢筋以及冷轧带肋钢筋等无明显屈服点的钢筋，取对应于残余应变为0.2%时的应力σ0.2作为条件屈服点，并以此作为这类钢筋的抗拉强度设计值。

对应于条件屈服点σ0.2时的钢筋应变为（图4-15）：

图4-15无明显屈服点钢筋的应力—应变曲线

（4－13）

式中fy——无明显屈服点钢筋的抗拉强度设计值；

        Es——无明显屈服点钢筋的弹性模量。

    根据截面平面变形等假设，可以求得无明显屈服点钢筋受弯构件相对界限受压区高度ξb的计算公式为：

（4－14）

    截面相对受压区高度ξ与截面配筋率ρ之间存在对应关系。

ξb求出后，可以求出适筋受弯构件截面最大配筋率的计算公式。

由式（4-8）可写出：

（4－15）

（4－16）

    式（4-16）即为受弯构件最大配筋率的计算公式。

为了使用上的方便起见，将常用的具有明显屈服点钢筋配筋的普通钢筋混凝土受弯构件的最大配筋率ρmax列在表4-5中。

建筑工程受弯构件的截面最大配筋率ρmax（%）表4-5

钢筋等级

混凝土的强度等级

C15

C20

C25

C30

C35

C40

C45

C50

C55

C60

C65

C70

C75

C80

HPB235

2.10

2.81

3.48

4.18

4.88

5.58

6.19

6.75

7.23

7.62

8.01

8.36

8.64

8.92

HRB335

1.32

1.76

2.18

2.62

3.07

3.51

3.89

4.24

4.52

4.77

5.01

5.21

5.38

5.55

HRB400

RRB400

1.03

1.38

1.71

2.06

2.40

2.74

3.05

3.32

3.53

3.74

3.92

4.08

4.21

4.34

    当构件按最大配筋率配筋时，由（4-9a）可以求出适筋受弯构件所能承受的最大弯矩为：

（4-17）

式中αsb——截面最大的抵抗矩系数，αsb=ξb（1-ξb/2）。

    对于具有明显屈服点钢筋配筋的受弯构件，其截面最大的抵抗矩系数见表4-6。

建筑工程受弯构件截面最大的抵抗矩系数αsb表4-6

钢筋种类

≤C50

C55

C60

C65

C70

C75

C80

HPB235

0.4255

0.4224

0.4176

0.4135

0.4096

0.4054

0.4010

HRB335

0.3988

0.3947

0.3900

0.3858

0.3809

0.3765

0.3715

HRB400

RRB400

0.3838

0.3790

0.3745

0.3700

0.3653

0.3606

0.3558

    由上面的讨论可知，为了防止将构件设计成超筋构件，既可以用式（4-11）进行控制，也可以用：

（4-18）

（4-19）

进行控制。

式（4-11）、式（4-18）和式（4-19）对应于同一配筋和受力状况，因而三者是等效的。

    设计经验表明，当梁、板的配筋率为：

实心板:

ρ=0.4%~0.8%

矩形梁:

ρ=0.6%~1.5%

T形梁:

ρ=0.9%~1.8%

时，构件的用钢量和造价都较经济，施工比较方便，受力性能也比较好。

因此，常将梁、板的配筋率设计在上述范围之内。

梁、板的上述配筋率称为常用配筋率，也有人称它们为经济配筋率。

    由于不考虑混凝土抵抗拉力的作用，因此，只要受压区为矩形而受拉区为其它形状的受弯构件（如倒T形受弯构件），均可按矩形截面计算。

◆计算例题

    在受弯构件设计中，通常会遇见下列两类问题：

一类是截面选择问题，即假定构件的截面尺寸、混凝土的强度等级、钢筋的品种以及构件上作用的荷载或截面上的内力等都是已知的（或各种因素虽然暂时未知，但可根据实际情况和设计经验假定），要求计算受拉区纵向受力钢筋所需的面积，并且参照构造要求，选择钢筋的根数和直径。

另一类是承载能力校核问题，即构件的尺寸、混凝土的强度等级、钢筋的品种、数量和配筋方式等都已确定，要求验算截面是否能够承受某一已知的荷载或内力设计值。

利用式（4-8）、式（4-9）以及它们的适用条件式，便可以求得上述两类问题的答案。

例[4-1]现浇简支板计算

例[4-2]矩形简支梁计算

例[4-3]预制走道板计算

◆计算表格的制作及使用

▲计算表格的制作

    由上面的例题可见，利用计算公式进行截面选择时，需要解算二次方程式和联立方程式，还要验算适用条件，颇为麻烦。

如果将计算公式制成表格，便可以使计算工作得到简化。

    计算表格的形式有两种：

一种是对于各种混凝土强度等级以及各种钢筋配筋的梁板都适用的表格，另一种是对某种混凝土强度等级和某种钢筋的梁板专门制作的表格。

前一种表格通用性好，后一种表格使用上较简便。

下面只介绍通用表格的制作及使用方法。

式（4-9a）可写成：

（4-20）

令

（4-21）

则式（4-20）可写成：

（4-22）

式中，αsbh2o可以认为是截面在极限状态时的抵抗矩，因此可以将αs称为截面抵抗矩系数。

同样，式（4-9b）可写成：

（4-23）

令

（4-24）

则式（4-23）可写成：

（4-25）

式中γs——内力臂系数。

由式（4-21）可得：

（4-26）

代入式（4-24）可得：

（4-27）

    因此，单筋矩形截面受弯构件正截面的配筋计算可以按照图4-16的框图进行。

图4-16单筋矩形截面受弯构件正截面配筋计算框图

    式（4-26）和式（4-27）表明，ξ和γs与αs之间存在一一对应的关系，给定一个αs值，便有一个ξ值和一个γs值与之对应。

因此，可以事先给出一串αs值，算出与它们对应的ξ值和γs值，并且将它们列成表格（见附表4-1和附表4-2）,设计时查用这个表格，既可以避免解算二次方程式和联立方程式，又不必按式（4-26）或（4-27）计算ξ或γs，一般情况下还不必验算构件是少筋还是超筋，因而使计算工作得到简化。

    单筋矩形截面受弯构件的截面选择和承载力校核还可以用图4-17的框图表示。

对于学习过算法语言的读者来说，按照这个框图，不难编写出相应的计算机程序。

▲计算表格的使用

    下面通过一个例题来说明计算表格的使用方法。

例[4-4]

4.3.3双筋矩形截面承载力计算

    如前所述，不但在截面的受拉区，而且在截面的受压区同时配有纵向受力钢筋的矩形截面，称为双筋矩形截面。

双筋矩形截面适用于下面几种情况：

※结构或构件承受某种交变的作用（如地震），使截面上的弯矩改变方向；

※截面承受的弯矩设计值大于单筋截面所能承受的最大弯矩，而截面尺寸和材料品种等由于某些原因又不能改变；

※结构或构件的截面由于某种原因，在截面的受压区预先已经布置了一定数量的受力钢筋（如连续梁的某些支座截面）。

    应该说明，双筋截面的用钢量比单筋截面的多，因此，为了节约钢材，应尽可能地不要将截面设计成双筋截面。

◆计算公式及适用条件

    双筋矩形截面受弯构件正截面承载力计算中，除了引入单筋矩形截面受弯构件承载力计算中的各项假定以外，还假定当x≤2a's时受压钢筋的应力等于其抗压强度设计值f'y（图4-18）。

图4-18双筋矩形截面计算简图

    对于图4-18的受力情况，可以像单筋矩形截面一样列出下面两个静力平衡方程式：

（4-28）

（4-29）

式中：

A's——受压区纵向受力钢筋的截面面积；

a's——从受压区边缘到受拉区纵向受力钢筋合力作用之间的距离。

对于梁，当受压钢筋按一排布置时，可取a's=35mm；当受拉钢筋按两排布置时，可取a's=60mm。

对于板，可取a's=20mm。

    式（4-28）和式（4-29）是双筋矩形截面受弯构件的计算公式。

它们的适用条件是：

（4-30）

（4-31）

    满足条件式（4-30），可防止受压区混凝土在受拉区纵向受力钢筋屈服前压碎。

满足条件式（4-31），可防止受压区纵向受力钢筋在构件破坏时达不到抗压强度设计值。

因为当x<2a's时，由图4-18可知，受压钢筋的应变ε'y很小，受压钢筋不可能屈服。

    当不满足条件式（4-31）时，受压钢筋的应力达不到f'y而成为未知数，这时可近似地取x=2a's，并将各力对受压钢筋的合力作用点取矩得

（4-32）

    用式（4-32）可以直接确定纵向受拉钢筋的截面面积As。

这样有可能使求得的As比不考虑受压钢筋的存在而按单筋矩形截面计算的As还大，这时应按单筋截面的计算结果配筋。

◆计算公式的应用

    利用式（4-32）和式（4-29），可进行双筋矩形截面正截面的截面选择和承载力校核。

▲钢筋截面面积选择

    双筋矩形截面正截面的截面选择中，通常可遇见下面两种情况：

一种情况是受压钢筋的截面面积A's未知，要求在确定受拉钢筋截面面积As的同时，确定受压钢筋的截面面积A's；另一种情况是受压钢筋的截面面积A's已知，只要求确定受拉钢筋的截面面积As。

下面将分别叙述如何应用计算公式对两种情况求解。

※已知截面的弯矩设计值M、截面尺寸b×h、钢筋种类和混凝土的强度等级，要求确定受拉钢筋截面面积As和受压钢筋截面面积A's。

    计算公式为式（4-28）～式（4-31）。

但是，在这两个公式中，有三个未知数As、A's和x，从数学上来说不能求解。

为了要求解，必须补充一个方程式。

此时，为了节约钢材，充分发挥混凝土的强度，可以假定受压区的高度等于其界限高度，即

（4-33）

    补充了这个方程后，便可求得问题的解答。

    由式（4-29）和式（4-33）可得：

（4-34）

    由式（4-28）和式（4-33）有

（4-35）

※已知截面的弯矩设计值M、截面尺寸b×h、钢筋种类、混凝土的强度等级以及受压钢筋截面面积A's。

要求确定受拉钢筋截面面积As。

    计算公式仍为式（4-28）和式（4-29），由于A's现在已知，只有两个未知数As和x，可以求解。

由式（4-29）可得：

（4-36）

    由式（4-28）可得：

（4-37）

    应该注意的是，按式（4-36）求出受压区的高度以后，要按式（4-30）和式（4-31）验算适用条件是否能够满足。

如果条件式（4-30）不满足，说明给定的受压钢筋截面面积A's太小，这时应按第一种情况即按式（4-34）和式（4-35）分别求A's和As。

如果条件式（4-31）不满足，应按式（4-32）计算受拉钢筋截面面积，计算公式为：

（4-38）

▲截面校核

    承载力校核时，截面的弯矩设计值M、截面尺寸b×h、钢筋种类、混凝土的强度等级、受拉钢筋截面面积As和受压钢筋截面面积A's都是已知的，要求确定截面能否抵抗给定的弯矩设计值。

    先按式（4-28）计算受压区高度x：

（4-39）

    如果x能满足条件式（4-30）和式（4-31），则由式（4-29）可知其能够抵抗的弯矩为：

（4-40）

    如果x≤2a's，由式（4-32）可知：

（4-41）

    如果x>ξbh0，只能取x=ξbh0计算，则

（4-42）

    截面能够抵抗的弯矩Mu。

求出后，将Mu与截面的弯矩设计值M相比较，如果M≤Mu，则截面承载力足够，截面工作可靠；反之，如果M>Mu，则截面承载力不够，截面将失效。

这时，可采取增大截面尺寸、增加钢筋截面面积As和A's或选用强度等级更高的混凝土和钢筋等措施来解决。

    上面的计算过程可用图4-19a的框图及图4-19b的框图表示，学习过算法语言的读者，按照这个框图，可以自行编写计算机程序。

◆计算例题

例[4-5]

例[4-6]