C.若S0=S1两车相遇1次D.若S0=S2两车相遇1次
2、速度小者（初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（匀速）。
（此种情况下，两者间距有最大值）
【题4】质点乙由B点向东以10m/s的速度做匀速运动,同时质点甲从距乙12m远处西侧A点以4m/s2的加速度做初速度为零的匀加速直线运动.求:
⑴两者间距何时最大？
最大间距是多少?
⑵甲追上乙需要多长时间?
此时甲通过的位移是多大?
四、共点力的平衡
1、静态平衡问题：
对研究对象进行受力分析，根据牛顿第一定律列方程求解即可。
主要分析方法有：
力的合成法、力按效果分解、力按正交分解、密闭三角形。
【题1】一个半球的碗放在桌上，碗的内表面光滑，一根细线跨在碗口，线的两端分别系有质量为m1，m2的小球，当它们处于平衡状态时，质量为m1的小球与O点的连线与水平线的夹角为60°。
求两小球的质量比值。
【题2】如图，重物的质量为m，轻细线AO和BO的A、B端是固定的。
平衡时AO是水平的，BO与水平面的夹角为θ。
AO的拉力F1和BO的拉力F2的大小是（）
【题3】如图所示，质量为m的两个球A、B固定在杆的两端，将其放入光滑的半圆形碗中，杆的长度等于碗的半径，当杆与碗的竖直半径垂直时，两球刚好能平衡，则杆对小球的作用力为（）
D.2mg
3233A.3mgB.3mgC.2mg
2、动态平衡问题：
此类问题都有一个关键词，“使物体缓慢移动……”，因此物体在移动过程中，任意时刻、任意位置都是平衡的，即合外力为零。
分析方法有两类：
解析法和图解法，其中图解法又有矢量三角形分析法、动态圆分析法、相似三角形分析法。
（1）解析法：
找出所要研究的量（即某个力）随着某个量（通常为某个角）的变化而变化的函数解析式。
通过函数的单调性，研究该量的变化规律。
【题1】如图所示，A、B两物体的质量分别为mA、mB，且mA>mB，整个系统处于静止状态，滑轮的质量和一切摩擦均不计，如果绳一端由Q点缓慢地向左移到P点，整个系统重新平衡后，物体A的高度和两滑轮间绳与水平方向的夹角θ变化的情况是？
（2）图解法（有三种情况）：
a矢量三角形分析法：
物体在三个不平行的共点力作用下平衡，这三个力必组成一首尾相接的三角形。
用这个三角形来分析力的变化和大小关系的方法叫矢量三角形法，它有着比平行四边形更简便的优点，特别在处理变动中的三力问题时能直观的反映出力的变化过程。
【题2】如图所示，绳OA、OB等长，A点固定不动，将B点沿圆弧向C点运
动的过程中绳OB中的张力将（）
A、由大变小；B、由小变大C、先变小后变大D、先变大后变小
b动态圆分析法：
当处于平衡状态的物体所受的三个力中，某一个力的大小与方向不变，另一个力的大小不变时，可画动态圆分析。
【题3】质量为m的小球系在轻绳的下端,现在小球上施加一个F=mg/2的拉力，使小球偏离原位置并保持静止则悬线偏离竖直方向的最大角度θ为。
c相似三角形分析法：
物体在三个共点力的作用下平衡，已知条件中涉及的是边长问题，则由力组成的矢量三角
形和由边长组成的几何三角形相似，利用相似比可以迅速的解力的问题。
【题4】如图所示，绳与杆均轻质，承受弹力的最大值一定，A端用铰链固定，滑轮在A点正上方（滑轮大小及摩擦均可不计），B端吊一重物。
现施拉力F将B缓慢上拉（均未断），在AB杆达到竖直前（）
A．绳子越来越容易断，B．绳子越来越不容易断，
C．AB杆越来越容易断，D．AB杆越来越不容易断。
补充】动杆和定杆活结与死结：
物体的平衡问题中，常常遇到“动杆和定杆活结与死结”的问题，我们要明确几个问题：
①动杆上的弹力必须沿着杆子的方向，定杆上的弹力可以按需供给；②活结两边的绳子上的张力一定相同，死结两边的绳子上的张力可以不同；③动杆配死结，定杆配活结。
五、瞬时加速度问题
【两种基本模型】
１、刚性绳模型（细钢丝、细线等）：
认为是一种不发生明显形变即可产生弹力的物体，它的形变的发生和变化过程历时极短，在物体受力情况改变（如某个力消失）的瞬间，其形变可随之突变为受力情况改变后的状态所要求的数值。
２、轻弹簧模型（轻弹簧、橡皮绳、弹性绳等）：
此种形变明显，其形变发生改变需时间较长，在瞬时问题中，其弹力的大小可看成是不变。
【解决此类问题的基本方法】：
（1）分析原状态（给定状态）下物体的受力情况，求出各力大小（若物体处于平衡状态，则利用平衡条件；若处于加速状态则利用牛顿运动定律）；
（2）分析当状态变化时（烧断细线、剪断弹簧、抽出木板、撤去某个力等），哪些力变化，哪些力不变，哪些力消失（被剪断的绳或弹簧中的弹力，发生在被撤去物接触面上的弹力都立即消失）；
（3）求物体在状态变化后所受的合外力，利用牛顿第二定律，求出瞬时加速度。
【题1】如图所示，小球A、B的质量分别为m和2m，用轻弹簧相连，然后用细线悬挂而静止，在剪断弹簧的瞬间，求A和B的加速度各为多少？
【题2】如图所示，木块A和B用一弹簧相连，竖直放在木板C上，三者静止于地面，它们的质量比是1:
2:
3，设所有接触面都是光滑的，当沿水平方向迅速抽出木块C的瞬时，A和B的加速度aA＝，aB＝。
【题3】如图，物体B、C分别连接在轻弹簧两端，将其静置于吊篮A中的水平底板上，已知A、B、C的质量都是m，重力加速度为g，那么将悬挂吊篮的细线烧断的瞬间，A、B、C的加速度分别为多少？
六、动力学两类基本问题解决动力学问题的关键是想方设法求出加速度。
1、已知受力求运动情况
【题1】质量为m=2kg的小物块放在倾角为θ=370的斜面上，现受到一个与斜面平行大小为F＝30N的力作用，由静止开始向上运动。
物体与斜面间的摩擦因数为μ＝0.1，求物体在前2s内发生的位移是多少？
【题2】某人在地面上用弹簧秤称得体重为490N.他将弹簧秤移至电梯内称其体重，t0至t3时间段内，弹簧秤的示数如图3-3-4所示，电梯运行的v－t图可能是（取电梯向上运动的方向为正）（）
2、已知运动情况求受力
【题3】总重为8t的载重汽车,由静止起动开上一山坡，山坡的倾斜率为0.02（即每前进100m上升2m），在行驶100m后，汽车的速度增大到18km/h，如果摩擦阻力是车重的0.03倍，问汽车在上坡时的平均牵引力有多大？
【题4】升降机由静止开始上升，开始2s内匀加速上升8m,以后3s内做匀速运动，最后2s内做匀减速运动，速度减小到零．升降机内有一质量为250kg的重物，求整个上升过程中重物对升降机的底板的压力，并作出升降机运动的v－t图象和重物对升降机底板压力的F－t图象．（g取10m/s2）
七、受力情况与运动状态一致的问题
物体的受力情况必须符合它的运动状态，故对物体受力分析时，必须同步分析物体的运动
状态，若是物体处于平衡状态，则F合=0；若物体有加速度a，则F合=ma，即合力必须指向加速度的方向。
【题1】如图所示，固定在小车上的支架的斜杆与竖直杆的夹角为θ，在斜杆下端固定有质量为m的小球，下列关于杆对球的作用力F的判断中，正确的是（）
A.小车静止时，F=mgsinθ,方向沿杆向上
B.小车静止时，F=mgcosθ方向垂直杆向上
C.小车向右以加速度a运动时，一定有F=ma/sinθ
D.小车向左以加速度a运动时，22，方向斜向左上方
2.若将上题中斜杆换成细绳，小车以加速度a向右运动，求解绳子拉力的大小及方向。
【题2】一斜面上有一小车，上有绳子，绳子另一端挂一小球，请问在以下四种情况下，小车的加速度，以及悬线对小球拉力的大小？
（其中2为竖直方向，1、3与竖直方向成θ角，4与竖直方向成2θ）。
八、运动物体的分离问题
方法提示：
⑴原来是挤压在一起的两个物体，当两者间的相互挤压力减小到零时，物体即将发生分离；所以，两物体分离的临界情况是①挤压力减为零，但此时两者的②加速度还是相同的，之后就不同从而导致相对运动而出现分离；因此，解决问题时应充分利用①、②这两个特点。
⑵物体分离问题的物理现象变化的特征物理量是两物体间的相互挤压力。
⑶如何论证两物体间是否有挤压力：
假设接触在一起运动的前后两物体间没有挤压力，分别运算表示出前后两者的加速度。
若a后>a前，则必然是后者推着前者运动，两者有挤压力；若a后≤a前，则前者即将甩开后者（分离），两者没有挤压力。
【题1】如图，光滑水平面上放置紧靠在一起的A、B两个物体，mA=3kg，mB=6kg，推力FA作用于A上，拉力FB用于B上，FA、FB大小均随时间而变化，其规律分别为FA=（9-2t）N，FB=（2+2t）N，求：
⑴A、B间挤压力FN的表达式；⑵从t=0FF
开始，经多长时间A、B相互脱离？
【题2】如图，一根劲度系数为k、质量不计的轻弹簧，上端固定、下端系一质量为m的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度。
现手持水平板使它由静止开始以加速度a（a求：
⑴设弹簧的弹力记为f=kx，求物体与水平板间挤压力FN的表达式；⑵物体与水平板分离时弹簧的形变量；⑶经过多长时间木板开始与物体分离。
【题3】如图，在倾角为θ的光滑斜面上端系一劲度系数为k的轻弹簧，弹簧下端连有一质量为m的小球，球被一垂直于斜面的挡板挡住，此时弹簧没有形变。
若手持挡板以加速度a（a求：
⑴从挡板开始运动到挡板与球分离所经历的时间；⑵若要挡板以加速度a沿斜面匀加速下滑的一开始，挡板就能与小球分离，a至少应多大。
九、传送带问题
1、水平传送带以一定的速度匀速转动，物体轻放在传送带一端，此时物体可能经历两个过程——匀加速运动和匀速运动。
【题1】在民航和火车站可以看到用于对行李进行安全检查的水平传送带。
当旅客把行李放到传送带上时，传送带对行李的滑动摩擦力使行李开始做匀加速运动。
随后它们保持相对静止，行李随传送带一起前进。
设传送带匀速前进的速度为0.25m/s，把质量为5kg的木箱静止放到传送带上，由于滑动摩擦力的作用，木箱以6m/s2的加速度前进，那么这个木箱放在传送带上后，传送带上将留下一段多长的摩擦痕迹？
2、传送带斜放，与水平方向的夹角为θ，将物体轻放在传送带的最低端，只要物体与传送带之间的滑动摩擦系数μ≥tanθ，那么物体就能被向上传送。
此时物体可能经历两个过程——匀加速运动和匀速运动。
【题2】如图2—4所示，传送带与地面成夹角θ=37°，以10m/s的速度顺时针转动，在传送带下端轻轻地放一个质量m=0.5㎏的物体，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.9，已知传送带从A→B的长度L=50m，则物体从A到B需要的时间为多少？
3、传送带斜放，与水平方向的夹角为θ，将物体轻放在传送带的顶端，物体被向下传送。
此时物体肯定要经历第一个加速阶段，然后可能会经历第二个阶段——匀加速运动或匀速运动，
这取决于μ与tanθ的关系（有两种情况）。
（1）当μ﹤tanθ时，小物体可能经历两个加速度不同的匀加速运动；【题3】如图2—1所示，传送带与地面成夹角θ=37°，以10m/s的速度逆时针转动，在传送带上端轻轻地放一个质量m=0.5㎏的物体，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.5，已知传送带从A→B的长度L=16m，则物体从A到B需要的时间为多少？
（2）当μ≥tanθ时，小物体可能做匀加速运动，后做匀速直线运动。
【题4】如图2—2所示，传送带与地面成夹角θ=30°，以10m/s的速度逆时针转动，在传送带上端轻轻地放一个质量m=0.5㎏的物体，它与传送带间的动摩擦因数μ=0.6，已知传送带从A→B的长度L=16m，则物体从A到B需要的时间为多少？
十、牛顿第二定律在系统中的应用问题
1、当物体系中的物体保持相对静止，以相同的加速度运动时，根据牛顿第二定律可得：
F合外=（m1+m2+m3+……mn）a，
题1】如图所示，质量为M的斜面A置于粗糙水平地面上，动摩擦因数为，物体B与斜面间无摩擦。
在水平向左的推力F作用下，A与B一起做匀加速直线运动，两者无相对滑动。
已知斜面的倾角为，物体B的质量为m，则它
们的加速度a及推力F的大小为（）
B.a=gcos,F=（M+m）gcos
A.a=gsin,F=（M+m）g（+sin）
C.a=gtan,F=（M+m）g（+tan）D.a=gcot,F=（M+m）g
【题2】如图所示，质量相同的木块A、B，用轻质弹簧连接处于静止状态，现用水平恒力推木块A，则弹簧在第一次压缩到最短的过程中（）
A．A、B速度相同时，加速度aA=aBB．A、B速度相同时，加速度aA>aB
C．A、B加速度相同时，速度υA<υBD．A、B加速度相同时，速度υA>υB
2、当物体系中其它物体都保持平衡状态，只有一个物体有加速度时，系统所受的合外力只给该物体加速。
即F合外=m1a，
【题3】如图所示，质量为M的框架放在水平地面上，一轻弹簧上端固定一个质量为m的小球，小球上下振动时，框架始终没有跳起.当框架对地面压力为零瞬间，小球的加速度大小为：
（）
【题4】如图，一只质量为m的小猴抓住用绳吊在天花板上的一根质量为M的竖直杆。
当悬绳突然断裂时，小猴急速沿杆竖直上爬，以保持它离地面的高度不变。
则杆下降的加速度为（）
3、当物体系中所有物体都保持平衡状态时，系统所受的合外力为零。
【题4】两刚性球a和b的质量分别为ma和mb，直径分别为da和db（da>db）.将a、b球依次放入一竖直放置、内径为d（da接触都是光滑的，则（）
A.F＝（ma＋mb）g，FN1＝FN2
C.magB.F＝（ma＋mb）g，FN1≠FN2
D.mag十一、运动的合成与分解
1、牵连运动问题
牵连运动问题中的速度分解，有时往往成为解某些综合题的关键。
处理这类问题应从实际情况出发，牢牢抓住——实际运动就是合运动。
作出合速度沿绳或杆方向上的分速度，即为牵连速度。
题1】如图1－1所示，在水面上方高20m处，人用绳子通过定滑轮将水中的小船系住，并以3
m/s的速度将绳子收短，开始时绳与水面夹角30°，试求：
（1）刚开始时小船的速度；
（2）5秒末小船速度的大小。
2、小船过河问题
处理方法：
轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动），船的实际运动是合运动。
（1）过河时间最短问题：
在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间t=d=d，显然，当=90
sin
时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最小为d，合运动沿v的方向进行。
v
【题1】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航速为v2，战士救人的地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为（）
A．d2B．0C．d1D．d2
22-1221
2）过河位移最小问题：
①若船水，则应使船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，v船偏离上游的角度为cos=水。
（亦可理解为：
v船的一个分量抵消水流的冲击，船
另一个分量使船过河）
②若v船v水，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离最短呢？
如图所示，（用动态圆分析）设船头v船与河岸成θ角。
合速度v与河岸成α角。
可以看出：
α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？
以v水的矢尖为圆心，v船为半径画圆，当v与圆相切时，α角最大，根据cos=v船船头与河岸的夹角v水
应为=arccosv船，船沿河漂下的最短距离为：
xminv水min
位移：
s=d=dv水
cosv
船
【题2】河宽d＝60m，水流速度v1＝6m／s，小船在静水中的速度v2=3m／s，问：
（1）要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?
最短时间是多少?
（2）要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河?
最短的航程是多少?
3、平抛、类平抛问题
（1）类平抛问题
将运动分解为初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向的匀加速直线运动。
【题1】有三个质量相等，分别带正电、负电和不带电的小球A、B、C，从同一位置以相同速度v0先后射入竖直方向的匀强电场中，它们落在正极板的位置如图3-3-4所示，则下列说法中准确的是（）
A.小球A带正电，小球B不带电，小球c带负电
B.三个小球在电场中的运动时间相等
C.三个小球到达正极板的动能EKAD.三个小球到达正极板的动量增量△pA<△pB<△pC
【题2】如图1-4-5所示，光滑斜面长为a，宽为b，倾角为θ，一物块沿斜面左上方顶点P水平射入，而从右下方顶点Q离开斜面。
则以下说法中正确的是（）
A物块在斜面上做匀变速曲线运动；B物块在斜面上做匀变速直线运动；
【题3】将一带电小球在距水平地面H高处以一定的初速度水平抛出，从抛出点到落地点的位移L＝25m。
若在地面上加一个竖直方向的匀强电场，小球抛出后恰做直线运动。
若将电场的场强减为一半，小球落到水平地面上跟没有电场时的落地点相距s=8.28m，如图11所示，求：
取g=10m/s2）
（1）小球抛出点距地面的高度H；
（2）小球抛出时的初速度的大小。
（2）平抛+斜面问题这类问题的关键是处理斜面的倾角和平抛运动的位移矢量三角形、速度矢量三角形的关
系。
结合平抛运动推论tanθ=2tanφ（其中θ为t时刻速度与水平方向的夹角，φ为该时刻位移与水平方向的夹角）即可方便解决问题。
1平抛点在斜面的顶端（此时斜面的倾角可化入平抛运动的位移矢量三角形）
【题1】从倾角为θ的足够长的斜面顶端A点，先后将同一小球以不同的初速度水平向右抛出，第一次初速度为v1，球落到斜面上前一瞬间的速度方向与斜面的夹角为1，第二次初速度v2，球落在斜面上前一瞬间的速度方向与斜面间的夹角为2，若v2v1，试比较1和2的大小。
2平抛点在斜面的对面（此时斜面的倾角可化入平抛运动的速度矢量三角形）【题2】以初速度v0水平抛出一小球，恰好垂直击中倾角为θ的斜面。
试求：
小球从抛出到击中斜面的时间t。
十二、非匀速圆周运动
竖直平面内的圆周运动一般是变速圆周运动（带电粒子在匀强磁场中运动除外），运动的速度大小和方向在不断发生变化，运动过程复杂，合外力不仅要改变运动方向，还要改变速度大小，所以一般不研究任意位置的情况，只研究特殊的临界位置──最高点和最低点。
1．轻绳类模型。
运动质点在一轻绳的作用下绕中心点作变速圆周运动。
由于绳子只能提供拉力而不能提供支持力，质点在最高点所受的合力不能为零，合力的最小值是物体的重力。
所以：
（1）质点过最高点的临界条件：
质点
升级会员 