初中高中数学定理公式大全超全.docx

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初中高中数学定理公式大全超全

初中高中数学定理公式大全〔超全〕

1过两点有且只有一条直线

2两点之间线段最短

3同角或等角的补角相等

4同角或等角的余角相等

5过一点有且只有一条直线和直线垂直

6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行

9同位角相等，两直线平行

10错角相等，两直线平行

11同旁角互补，两直线平行

12两直线平行，同位角相等

13两直线平行，错角相等

14两直线平行，同旁角互补

15定理三角形两边的和大于第三边

16推论三角形两边的差小于第三边

17三角形角和定理三角形三个角的和等于180°

18推论1直角三角形的两个锐角互余

19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角的和

20推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的角

21全等三角形的对应边、对应角相等

22边角边公理（SAS）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

23角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

24推论（AAS）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等

25边边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等

26斜边、直角边公理（HL）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

27定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等

28定理2到一个角的两边的距离一样的点，在这个角的平分线上

29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合

30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角〕

31推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合

33推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°

34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等〔等角对等边〕

35推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

36推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°则它所对的直角边等于斜边的一半

38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半

39定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

40逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

41线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合

42定理1关于*条直线对称的两个图形是全等形

43定理2如果两个图形关于*直线对称，则对称轴是对应点连线的垂直平分线

44定理3两个图形关于*直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，则交点在对称轴上

45逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称

46勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c2

47勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形

48定理四边形的角和等于360°

49四边形的外角和等于360°

50多边形角和定理n边形的角的和等于〔n-2〕×°

51推论任意多边的外角和等于360°

52平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等

53平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等

54推论夹在两条平行线间的平行线段相等

55平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分

56平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形

57平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形

58平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形

59平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形

60矩形性质定理1矩形的四个角都是直角

61矩形性质定理2矩形的对角线相等

62矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

63矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

64菱形性质定理1菱形的四条边都相等

65菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

66菱形面积=对角线乘积的一半，即S=〔a×b〕÷2

67菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形

68菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

69形性质定理1形的四个角都是直角，四条边都相等

70形性质定理2形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

71定理1关于中心对称的两个图形是全等的

72定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

73逆定理如果两个图形的对应点连线都经过*一点，并且被这一点平分，则这两个图形关于这一点对称

74等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

75等腰梯形的两条对角线相等

76等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

77对角线相等的梯形是等腰梯形

78平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其他直线上截得的线段也相等

79推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰

80推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边

81三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半

82梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=〔a+b〕÷2S=L×h

83

（1）比例的根本性质如果a:

b=c:

d,则ad=bc如果ad=bc,则a:

b=c:

d

84

（2）合比性质如果a／b=c／d,则（a±b）／b=（c±d）／d

85（3）等比性质如果a／b=c／d=…=m／n（b+d+…+n≠0）,则（a+c+…+m）／（b+d+…+n）=a／b

86平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

87推论平行于三角形一边的直线截其他两边〔或两边的延长线〕，所得的对应线段成比例

88定理如果一条直线截三角形的两边〔或两边的延长线〕所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边

89平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例

90定理平行于三角形一边的直线和其他两边〔或两边的延长线〕相交，所构成的三角形与原三角形相似

91相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似〔ASA〕

92直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

93判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似〔SAS〕

94判定定理3三边对应成比例，两三角形相似〔SSS〕

95定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，则这两个直角三角形相似

96性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比

97性质定理2相似三角形周长的比等于相似比

98性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方

99任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值

100任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值

101圆是定点的距离等于定长的点的集合

102圆的部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合

103圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合

104同圆或等圆的半径相等

105到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆

106和线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线

107到角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线

108到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线

109定理不在同一直线上的三点确定一个圆。

110垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧

111推论1①平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧

③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

112推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等

113圆是以圆心为对称中心的中心对称图形

114定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等

115推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等则它们所对应的其余各组量都相等

116定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

117推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

118推论2半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径

119推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形

120定理圆的接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的对角

121①直线L和⊙O相交d＜r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d＞r

122切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

123切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径

124推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点

125推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

126切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

127圆的外切四边形的两组对边的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

129推论如果两个弦切角所夹的弧相等，则这两个弦切角也相等

130相交弦定理圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等

131推论如果弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项

132切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项

133推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等

134如果两个圆相切，则切点一定在连心线上

135①两圆外离d＞R+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-r＜d＜R+r（R＞r）

④两圆切d=R-r（R＞r）⑤两圆含d＜R-r（R＞r）

136定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦

137定理把圆分成n（n≥3）:

⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的接正n边形

⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形

定理任何正多边形都有一个外接圆和一个切圆，这两个圆是同心圆

正n边形的每个角都等于〔n-2〕×°／n

140定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形

141正n边形的面积Sn=pnrn／2p表示正n边形的周长

142正三角形面积√3a／4a表示边长

143如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360°，因此k×（n-2）°／n=360°化为〔n-2〕（k-2）=4

144弧长计算公式：

L=n兀R／

145扇形面积公式：

S扇形=n兀R^2／360=LR／2

146公切线长=d-（R-r）外公切线长=d-（R+r）

数学定理

三角形三条边的关系：

定理：

三角形两边的和大于第三边

推论：

三角形两边的差小于第三边

三角形角和：

三角形角和定理三角形三个角的和等于180°

推论1直角三角形的两个锐角互余

推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个角和

推论3三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的角角的平分线

性质定理在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等几何语言：

∵OC是∠AOB的角平分线〔或者∠AOC＝∠BOC〕

PE⊥OA，PF⊥OB

点P在OC上

∴PE＝PF〔角平分线性质定理〕

判定定理到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上

几何语言：

∵PE⊥OA，PF⊥OB

PE＝PF

∴点P在∠AOB的角平分线上〔角平分线判定定理〕

等腰三角形的性质：

等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等

几何语言：

∵AB＝AC

∴∠B＝∠C〔等边对等角〕

推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边

几何语言：

〔1〕∵AB＝AC，BD＝DC

∴∠1＝∠2，AD⊥BC〔等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边〕

〔2〕∵AB＝AC，∠1＝∠2

∴AD⊥BC，BD＝DC〔等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边〕

〔3〕∵AB＝AC，AD⊥BC

∴∠1＝∠2，BD＝DC〔等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边〕

推论2等边三角形的各角都相等，并且每一个角等于60°

几何语言：

∵AB＝AC＝BC

∴∠A＝∠B＝∠C＝60°〔等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°〕

等腰三角形的判定：

判定定理如果一个三角形有两个角相等，则这两个角所对的边也相等

几何语言：

∵∠B＝∠C

∴AB＝AC〔等角对等边〕

推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

几何语言：

∵∠A＝∠B＝∠C

∴AB＝AC＝BC〔三个角都相等的三角形是等边三角形〕

推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

几何语言：

∵AB＝AC，∠A＝60°〔∠B＝60°或者∠C＝60°〕

∴AB＝AC＝BC〔有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形〕

推论3在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半

几何语言：

∵∠C＝90°，∠B＝30°

∴BC＝AB或者AB＝2BC〔在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，则它所对的直角边等于斜边的一半〕

线段的垂直平分线：

定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等

几何语言：

∵MN⊥AB于C，AB＝BC，〔MN垂直平分AB〕

点P为MN上任一点

∴PA＝PB〔线段垂直平分线性质〕

逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上

几何语言：

∵PA＝PB

∴点P在线段AB的垂直平分线上〔线段垂直平分线判定〕

轴对称和轴对称图形：

定理1关于*条之间对称的两个图形是全等形

定理2如果两个图形关于*直线对称，则对称轴是对应点连线的垂直平分线

定理3两个图形关于*直线对称，假设它们的对应线段或延长线相交，则交点在对称轴上

逆定理假设两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那这两个图形关于这条直线对称

勾股定理：

勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2

勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系，则这个三角形是直角三角形

四边形：

定理任意四边形的角和等于360°

多边形角和：

定理多边形角和定理n边形的角的和等于〔n－2〕·°

推论任意多边形的外角和等于360°

平行四边形及其性质

性质定理1平行四边形的对角相等

性质定理2平行四边形的对边相等

推论夹在两条平行线间的平行线段相等

性质定理3平行四边形的对角线互相平分

几何语言：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD‖BC，AB‖CD〔平行四边形的对角相等〕

∠A＝∠C，∠B＝∠D〔平行四边形的对边相等〕

AO＝CO，BO＝DO〔平行四边形的对角线互相平分〕

平行四边形的判定：

判定定理1两组对边分别平行的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD‖BC，AB‖CD

∴四边形ABCD是平行四边形

〔两组对边分别平行的四边形是平行四边形〕

判定定理2两组对角分别相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵∠A＝∠C，∠B＝∠D

∴四边形ABCD是平行四边形

〔两组对角分别相等的四边形是平行四边形〕

判定定理3两组对边分别相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD＝BC，AB＝CD

∴四边形ABCD是平行四边形

〔两组对边分别相等的四边形是平行四边形〕

判定定理4对角线互相平分的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AO＝CO，BO＝DO

∴四边形ABCD是平行四边形

〔对角线互相平分的四边形是平行四边形〕

判定定理5一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

几何语言：

∵AD‖BC，AD＝BC

∴四边形ABCD是平行四边形

〔一组对边平行且相等的四边形是平行四边形〕

矩形：

性质定理1矩形的四个角都是直角

性质定理2矩形的对角线相等

几何语言：

∵四边形ABCD是矩形

∴AC＝BD〔矩形的对角线相等〕

∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°〔矩形的四个角都是直角〕

推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

几何语言：

∵△ABC为直角三角形，AO＝OC

∴BO＝AC〔直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半〕

判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

几何语言：

∵∠A＝∠B＝∠C＝90°

∴四边形ABCD是矩形〔有三个角是直角的四边形是矩形〕

判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

几何语言：

∵AC＝BD

∴四边形ABCD是矩形〔对角线相等的平行四边形是矩形〕

菱形：

性质定理1菱形的四条边都相等

性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角

几何语言：

∵四边形ABCD是菱形

∴AB＝BC＝CD＝AD〔菱形的四条边都相等〕

AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC

〔菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角〕

判定定理1四边都相等的四边形是菱形

几何语言：

∵AB＝BC＝CD＝AD

∴四边形ABCD是菱形〔四边都相等的四边形是菱形〕

判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

几何语言：

∵AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO

∴四边形ABCD是菱形〔对角线互相垂直的平行四边形是菱形〕

形：

性质定理1形的四个角都是直角，四条边都相等

性质定理2形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角

中心对称和中心对称图形

定理1关于中心对称的两个图形是全等形

定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分

逆定理如果两个图形的对应点连线都经过*一点，并且被这一点平分，则这两个图形关于这一点对称

梯形：

等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

几何语言：

∵四边形ABCD是等腰梯形

∴∠A＝∠B，∠C＝∠D〔等腰梯形在同一底上的两个角相等〕

等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

几何语言：

∵∠A＝∠B，∠C＝∠D

∴四边形ABCD是等腰梯形〔在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形〕

三角形、梯形中位线

三角形中位线定理三角形的中位线平行与第三边，并且等于它的一半

几何语言：

∵EF是三角形的中位线

∴EF＝AB〔三角形中位线定理〕

梯形中位线定理梯形的中位线平行与两底，并且等于两底和的一半

几何语言：

∵EF是梯形的中位线

∴EF＝（AB＋CD）〔梯形中位线定理〕

比例线段：

1、比例的根本性质

如果a∶b＝c∶d，则ad＝bc

2、合比性质

如果a/b＝c/d

则（a±b）/b＝（c±d）/d

（也有一些资料将上式的两种情形分别称为“合比性质〞和“分比性质〞，合称为“合分比性质〞）

证明：

因为a/b＝c/d

所以a/b±1＝c/d±1

所以（a±b）/b＝（c±d）/d

3、等比性质

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例

几何语言：

∵l‖p‖a

〔三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例〕

推论平行与三角形一边的直线截其他两边〔或两边的延长线〕，所得的对应线段成比例

定理如果一条直线截三角形的两边〔或两边的延长线〕所得的对应线段成比例，则这条直线平行与三角形的第三边

垂直于弦的直径

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵OC⊥AB，OC过圆心〔垂径定理〕

推论1

〔1〕平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵OC⊥AB，AC＝BC，AB不是直径

〔平分弦〔不是直径〕的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧〕

〔2〕弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

∵AC＝BC，OC过圆心

〔弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧〕

〔3〕平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧

几何语言：

〔平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧〕

推论2圆的两条平分弦所夹的弧相等

几何语言：

∵AB‖CD

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，则它们所对应的其余各组量都分别相等

圆周角：

定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等

推论2半圆〔或直径〕所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直角

推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形

圆的接四边形：

定理圆的接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的对角

几何语言：

∵四边形ABCD是⊙O的接四边形

∴∠A＋∠C＝°，∠B＋∠ADB＝°，∠B＝∠ADE

切线的判定和性质：

切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线

几何语言：

∵l⊥OA，点A在⊙O上

∴直线l是⊙O的切线〔切线判定定理〕

切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点半径

几何语言：

∵OA是⊙O的半径，直线l切⊙O于点A

∴l⊥OA〔切线性质定理〕

推论1经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点

推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理：

定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

几何语言：

∵弦PB、PD切⊙O于A、C两点

∴PA=PC，∠APO=∠CPO〔切线长定理〕

弦切角：

弦切角定理

　　定义弦切角定理：

弦