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高数论文微积分

高等数学——微积分

周露

摘要：

本文介绍了微积分的概念与历史发展，并在文中详细例举了微积分的各种公式和求取法则，文中用例题的方式讲解了微积分的解题方法，最后在文末说明了微积分的重要意义与生活中的应用。

关键词：

微分、积分、方法、数学史、应用

引言

众所周知，微积分是数学中重要的一个分支，微积分的发现，极大地促进了数学史的发展，那么，究竟什么是微积分？

谁创立了微积分？

微积分究竟有什么重要的作用与意义？

让我们在这篇文章中揭晓答案吧。

什么是微积分

微积分，是一种数学思想。

从字面上就可以看出，微积分分为微分与积分两部分。

那么什么是微分？

而什么又是积分呢？

通俗的来讲，“微分”就是无限细分，而“积分”则是无限求和。

举个例子来说吧，一段绳子，你第一天切下一半，第二天切下剩余部分的一半，每天都重复这样的行为，从理论上来说，这段绳子永远都切不完，这个就是微分。

而积分则恰恰与之相反，积分是一点一点累加的过程，如将硬币放进储钱罐，积少成多，这就是积分。

在物理运动学中也常常有微积分的存在，如火箭发射的一瞬间的瞬时速度就是微分，而火箭每时每刻每个瞬间飞过的路程之和则是积分。

微积分分为微分学与积分学。

微分学的主要内容包括极限理论、导数、微分等，积分学的主要内容包括定积分与不定积分等。

微积分的历史

微积分的创立

微积分自被提出以来迄今为止已经有上百年的历史，早在公元前三世纪，欧几米德研究的如何解决抛物弓形的面积、球和球冠的面积和旋转双曲体的面积就已经体现了微积分的思想。

在十七世纪下半叶，两位杰出的人物独立研究并且提出了微积分这个概念，他们就是牛顿和莱布尼茨。

在这里，我先简单介绍一下这两位。

牛顿，全名艾萨克•牛顿，是英国著名的物理学家、天文学家和数学家，1664年初，在剑桥学习的牛顿因为对笛卡尔圆法产生了浓厚的兴趣而开始寻找切线求法，在1665年5月20日第一次提出了流数术，并且在1666年10月发表了历史上第一篇系统性的微积分论文也是标志着微积分学诞生的文献--《流数简论》，流数术也就是现在我们所说的微积分，分为了正流数术和反流数术也就是微分学与积分学，这是牛顿总结统一了古希腊古老的求积法得到的。

莱布尼兹全名弗里德·威廉·莱布尼茨，是德国著名的哲学家，数学家。

被称为十七世纪的亚里士多德，在数学史上占据了重要的地位。

在1673年他阐述了微分三角形的思想，提出了自己的“微分三角形”理论。

在1684年他发表了第一篇微积分论文--《一种求极大极小和切线的新方法》，定义了微积分的概念，并且在其中采用了更加优越的数学符号，更加简洁的阐述了微积分的实质与概念。

但是微积分的创立之路也不是完全平坦的，总从牛顿与莱布尼兹各自创立了微积分之后，历史上发生了数学史中重大的争论--微积分是谁创立的，在长达数十年的争论中，双方争吵，敌对，嘲笑，当时认定牛顿才是微积分的创立者，但是事实却在几十年后被发现，他们是各自独立创立了微积分。

对于微积分的创建，牛顿与莱布尼兹的出发点是不同的。

牛顿是从物理学的角度出发，在微积分的应用上结合了运动学，而莱布尼兹则是从几何学的角度出发，经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，独立发现引用了微积分的概念。

二者的研究工作极大地促进了数学史的发展，建立了数不尽的丰功伟绩。

微积分的创立史也带给我们许多启示

（1）.微积分的发明是许多年来数位科学家智慧的结晶，不是某一个人某段时间就能发明的。

（2）要善于总结他人的成果，就像牛顿所说的一样，我们是站在巨人的肩膀上。

（3）数学重在实践，不要空凭理论，实践才能出真理。

中国古代微积分

早在3世纪中期微积分便在我国古代萌芽，魏晋时期的数学家刘徽在《九章算术注》中首次写出了割圆术---用在圆形内接多边形的来无限逼近圆面积并用求取圆周率的方法，并在其中应用了两个重要思想，其中一个，便是我们现在的极限思想，也是微积分思想的基础。

微积分的与公式

微分公式

1.d（c）=0

2.d（xu）=uxu-1

3.d（sinx）=cosx

4.d（cosx）=-sinx

5.d（tanx）=sec2x

6.d（cotx）=-csc2x

7.d（secx）=secx*anx

8.d（cscx）=-cotx*cscx

9.d（ax）=axlna（a>0,a!

=1）

10.d（ex）=ex

11.d（logax）=1/（x*lna）

12.d（lnx）=1/x

13.d（arcsinx）=1/√（1-x2）

14.d（arccosx）=-1/√（1-x2）

15.d（arctanx）=1/（1+x2）

16.d（arccotx）=-1/（1+x2）

积分公式

1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、

8、

9、

10、

11、

12、

13、

14、

其中

为双曲正弦函数

15、

其中

为双曲余弦函数

16、

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19、

20、

21、

22、

23、

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25、

微积分的运算法则

微分的运算法则

函数的和、差、积、商微分法则

设u=u（x）,v=v（x）,则

（u+v）’=u’+v’

（u+v）’=u’+v’

（Cu）’=Cu

（uv）’=u’v+uv’

（u/v）=（u’v-uv’）/v2（v≠0）

复合函数的微分法则

dy‘=d’（u）du

dy=y’udu

积分的运算法则

∫kd（x）dx＝k∫d（x）dx

∫（d（x）±g（x））dx＝∫d（x）dx±∫g（x）dx

d∫d（x）dx＝d（x）dx

∫dd（x）＝d（x）＋C

∫d（φ（x））φ′（x）dx＝d（φ（x））＋C

∫d（x）dx＝∫d（ψ（t））·ψ′（t）dt＝G（ψ^-1（x））+C

∫udv＝uv－∫vdu或∫uv′dx＝uv－∫vu′dx

例题与解题方法

微分的计算方法

（1）、综合应用和差积商与复合函数的求导法则如题1

1.求出该函数的导数f（x）=lnlnx+2x2

该题中y是一个复合函数，可运用函数的和求导法则拆分为两个函数分别计算，一个是lnlnlnx，一个是x2，对于复合函数lnlnx则可以利用复合函数的求导法则，令u=lnx，u’=1/x，f（x=）lnu，f（x）’=1/u，由f（u）’=u’f（u）’,所以可求出lnlnx=（1/x）*lnlnx.

、综合应用微分法则求函数微分如题2

已知函数y=e-x*cos（3+x）求dy

乍一看该题较为复杂，综合性也比较强，其实仔细分析可以看出该函数也不过是两个复合函数相乘，我们可以利用微分的积法则，令u=e-x，v=cos（3+x），由d（uv）=duv+udv可得出y’=d（e-x）*cos（3+x）+e-x*dcos（3+x），d（e-x）=-e-x，d（cos（3+x））=-sin（3+x），所以可以求出dy=-e-x*cos（3+x）-sin（3+x）.

、求隐函数的微分的方法如题3

x*y=ex+y求dy

这道题就要用到隐函数的微分方法了，先在两边同时微分，x*y=y+x*dy，ex+y=（1+dy）*ex+y

y+x*dy=（1+dy）*ex+y,再将dy提取出来，得dy=（y-ex+y）/（ex+y-x），这样隐函数的微分就求出来了。

不定积分的计算方法

、利用公式与运算法则直接计算法如题4

4.∫（x2+2x+1）dx

该题可拆分为三个函数分别积分∫（x2+2x+1）dx=∫x2dx+∫2xdx+∫1dx，又由积分公式，∫x2dx=（1/4）x4+C，∫2xdx=x2+C，∫1dx=x+C，而C为任意常数，所以∫（x2+2x+1）dx=（1/4）x4+x2+x+C.

、第一种换元积分法（利用一个中间变量u代换，∫f[g（x）]*g（x）’dx=F[g（x）+C=[∫f（u）*du]）如题5

∫（2-3*x）4dx求dy

该题可以令2-3*x=u，先对u4求导得（1/5）*u5，再对u求导得-3，将u的导数提出，所以可得出dy=（1/5）/3*u5+C，又u=2-3*x，所以dy=（-1/15）*（2-3*x）+C。

、第二种换元法（先令中间一部分为u，求出x，再求x的导数，dx=f（x）‘du）如例题6

∫arctan√x/（√x*（1+x））dx求dy

该题解法与例题5相似，也是换元法，先令u=√x，x=u2，dx=2*udu。

∫arctan√x/（√x*（1+x））=∫2*arctanu/（1+u2）du，在利用第一类换元法可得出∫2*arctanu/（1+u2）du=arctan2u

，最后将u换回去得出dy=arctan2√x+C。

、分部积分法。

（∫uv‘dx=uv-∫vu’dx或∫udv=uv-∫vdu。

）如题7

例题7

∫x2*lnx求dy

该题就可用上述公式，∫x2*lnx=lnx*（x3/3）-∫（x3/3）*（1/x）dx=lnx*（x3/3）-1/3∫x2dx，又∫x2dx=x3/3，所以得出∫x2*lnx=lnx*（x3/3）-x3/9+C.。

这就是最简单的分部积分法。

定积分的计算方法

不定积分与定积分相似而不同，他们的区别在于定积分是一个具体的数值，与上下限有关，而不定积分只是原函数的一个整体，定积分的计算方法与不定积分很像，也是利用函数的积分，只不过会带入上下限的值，他们相减得出具体的数。

如例题8.

∫basinxdx，a=π/2，b=-π/2求定积分

该题先忽视上下限，然后将中间的函数积分得到-cosx，再将上下限分别带入，-cos（π/2）=0，-cos（-π/2）=0，f（a）-f（b）=0-0=0.

微积分的意义与应用

微积分的意义

微积分是数学史中最为重要的一环，它可以解决许多仅仅依靠数学不能有效解决的问题，由于它是有关变化率的理论，它可以通用于物理运动学速度加速度等、数学函数曲线的斜率计算中，在数学中有极大的作用。

不仅在数学层面，微积分在哲学方面也有十分重大的意义。

众所周知，数学并不是单纯的数字游戏，数学与自然有着密不可分的关系，当然，同哲学也是相通的。

微积分的应用

微积分自从创立以来，就在数学、科学、经济学、物理学、天文学等领域有着重要的作用，在数学领域，微积分可以巧妙的计算出各个难以解决的问题如在几何学中研究函数的图像、面积、体积、近似值。

在物理学中，微积分同样占有重要的地位，在物理运动学中，质点非匀速运动的计算，将非匀速运动看做一段段匀速运动，先微分后积分，使得计算变得简单。

物理中常用的微元法，从部分到整体的思维方式也是微积分的一种。

牛顿最初创立微积分的起因也是为了解决物理问题，可以这么说，微积分的创立不促进了数学史的进展同时也极大的促进了物理学的发展。

在经济学中，微积分的应用也是十分的广泛。

如关于利润最大值的问题，年收入增长率的问题，需求量与价格的相对变化等问题都离不开微积分。

将经济问题转化为数学问题，将数学中的极限、微积分思想在经济中运用，都体现了微积分在经济学中的重要作用。

可以这么说，要学好经济学，微积分是或不可缺的基本工具。

微积分，与我们的生活息息相关。

建筑中的土量、梯度、坡度等的计算与测量，科研生产中对零件大小其形状面积等的测量，直线拟合，曲线拟合，曲面拟合，军事中计算导弹的弹道轨迹，发射时间，飞行时间，发射距离等，航空航天事业中飞船燃料量，飞行的轨迹，变轨方程等都离不开微积分。

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