高中数学不等式习题及详细答案.docx

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高中数学不等式习题及详细答案

第三章不等式

一、选择题

1．已知x≥，则f（x）＝有（）．

A．最大值B．最小值C．最大值1D．最小值1

2．若x＞0，y＞0，则＋的最小值是（）．

A．3B．C．4D．

3．设a＞0，b＞0则下列不等式中不成立的是（）．

A．a＋b＋≥2B．（a＋b）（＋）≥4

C．≥a＋bD．≥

4．已知奇函数f（x）在（0，＋∞）上是增函数，且f

（1）＝0，则不等式＜0的解集为（）．

A．（－1，0）∪（1，＋∞）B．（－∞，－1）∪（0，1）

C．（－∞，－1）∪（1，＋∞）D．（－1，0）∪（0，1）

5．当0＜x＜时，函数f（x）＝的最小值为（）．

A．2B．C．4D．

6．若实数a，b满足a＋b＝2，则3a＋3b的最小值是（）．

A．18B．6C．2D．2

7．若不等式组，所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是（）．

A．B．C．D．

8．直线x＋2y＋3＝0上的点P在x－y＝1的上方，且P到直线2x＋y－6＝0的距离为3，则点P的坐标是（）．

A．（－5，1）B．（－1，5）C．（－7，2）D．（2，－7）

9．已知平面区域如图所示，z＝mx＋y（m＞0）在平面区域内取得最优解（最大值）有无数多个，则m的值为（）．

A．－B．

C．D．不存在

10．当x＞1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是（）．

A．（－∞，2]B．[2，＋∞）C．[3，＋∞）D．（－∞，3]

二、填空题

（x－y＋5）（x＋y）≥0

0≤x≤3

11．不等式组所表示的平面区域的面积是．

x＋2y－3≤0

x＋3y－3≥0，

y－1≤0

12．设变量x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋y（a＞0）仅在点（3，0）处取得最大值，则a的取值范围是．

13．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是．

14．设a，b均为正的常数且x＞0，y＞0，＋＝1，则x＋y的最小值为．

15．函数y＝loga（x＋3）－1（a＞0，且a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中mn＞0，则＋的最小值为．

16．某工厂的年产值第二年比第一年增长的百分率为p1，第三年比第二年增长的百分率为p2，若p1＋p2为定值，则年平均增长的百分率p的最大值为．

三、解答题

17．求函数y＝（x＞－1）的最小值．

18．已知直线l经过点P（3，2），且与x轴、y轴正半轴分别交于A，B两点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程．

19．某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨，B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨，B原料3吨，销售每吨甲产品可获得利润5万元，销售每吨乙产品可获得利润3万元．该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨，B原料不超过18吨.那么该企业可获得最大利润是多少？

20．

（1）已知x＜，求函数y＝4x－1＋的最大值；

（2）已知x，y∈R＊（正实数集），且＋＝1，求x＋y的最小值；

（3）已知a＞0，b＞0，且a2＋＝1，求的最大值．

参考答案

1．D

解析：

由已知f（x）＝＝＝，

∵x≥，x－2＞0，

∴≥·＝1，

当且仅当x－2＝，即x＝3时取等号．

2．C

解析：

＋

＝x2＋

＝＋＋．

∵x2＋≥2＝1，当且仅当x2＝，x＝时取等号；

≥2＝1，当且仅当y2＝，y＝时取等号；

≥2＝2（x＞0，y＞0），当且仅当＝，y2＝x2时取等号．

∴＋＋≥1＋1＋2＝4，前三个不等式的等号同时成立时，原式取最小值，故当且仅当x＝y＝时原式取最小值4．

3．D

解析：

方法一：

特值法，如取a＝4，b＝1，代入各选项中的不等式，易判断只有≥不成立．

方法二：

可逐项使用均值不等式判断

A：

a＋b＋≥2＋≥2＝2，不等式成立．

B：

∵a＋b≥2>0，＋≥2>0，相乘得（a＋b）（＋）≥4成立．

C：

∵a2＋b2＝（a＋b）2－2ab≥（a＋b）2－2＝2，

又≤≥，∴≥a＋b成立．

D：

∵a＋b≥2≤，∴≤＝，即≥不成立．

4．D

解析:

因为f（x）是奇函数，则f（－x）＝－f（x），

＜0＜0xf（x）＜0，满足x与f（x）异号的x的集合为所求．

因为f（x）在（0，＋∞）上是增函数，且f

（1）＝0，画出f（x）在（0，＋∞）的简图如图，再根据f（x）是奇函数的性质得到f（x）在（－∞，0）的图象．

由f（x）的图象可知，当且仅当x∈（－1，0）∪（0，1）时，x与f（x）异号．

5．C

解析：

由0＜x＜，有sinx＞0，cosx＞0．

f（x）＝＝＝＋

≥2＝4，当且仅当＝，即tanx＝时，取“＝”．

∵0＜x＜，∴存在x使tanx＝，这时f（x）min＝4．

6．B

解析：

∵a＋b＝2，故3a＋3b≥2＝2＝6，当且仅当a＝b＝1时取等号．

故3a＋3b的最小值是6．

7．A

解析：

不等式组表示的平面区域为如图所示阴影部分

△ABC．

由得A（1，1），又B（0，4），C（0，）．

由于直线y＝kx＋过点C（0，），设它与直线

3x＋y＝4的交点为D，

则由S△BCD＝S△ABC，知D为AB的中点，即xD＝，∴yD＝，

∴＝k×＋，k＝．

8．A

解析：

设P点的坐标为（x0，y0），则解得

∴点P坐标是（－5，1）．

9．B

解析：

当直线mx＋y＝z与直线AC平行时，线段AC上的每个点都是最优解．

∵kAC＝＝－，

∴－m＝－，即m＝．

10．D

解析：

由x＋＝（x－1）＋＋1，

∵x＞1，∴x－1＞0，则有（x－1）＋＋1≥2＋1＝3，

则a≤3．

二、填空题

11．24．

解析：

不等式（x－y＋5）（x＋y）≥0可转化为两个

二元一次不等式组．

或

这两个不等式组所对应的区域面积之和为所求．第一个不等式组所对应的区域如图，而第二个不等式组所对应的区域不存在．

图中A（3，8），B（3，－3），C（0，5），阴影部分的面积为＝24．

12．．

解析：

若z＝ax＋y（a＞0）仅在点（3，0）处取得最大值，则直线z＝ax＋y的倾斜角一定小于直线x＋2y－3＝0的倾斜角，直线z＝ax＋y的斜率就一定小于直线x＋2y－3＝0的斜率，可得：

－a＜－，即a＞．

13．ab≥9．

解析：

由于a，b均为正数，等式中含有ab和a＋b这个特征，可以设想使用≥构造一个不等式．

∵ab＝a＋b＋3≥＋3，即ab≥＋3（当且仅当a＝b时等号成立），

∴（）2－－3≥0，

∴（－3）（＋1）≥0，∴≥3，即ab≥9（当且仅当a＝b＝3时等号成立）．

14．（＋）2．

解析：

由已知，均为正数，

∴x＋y＝（x＋y）（＋）＝a＋b＋＋≥a＋b＋＝a＋b＋2，

即x＋y≥（＋）2，当且仅当即时取等号．

15．8．

解析：

因为y＝logax的图象恒过定点（1，0），故函数y＝loga（x＋3）－1的图象恒过定点A（－2，－1），把点A坐标代入直线方程得m（－2）＋n（－1）＋1＝0，即2m＋n＝1，而由mn＞0知，均为正，

∴＋＝（2m＋n）（＋）＝4＋＋≥4＋＝8，当且仅当即时取等号．

16．．

解析：

设该厂第一年的产值为a，由题意，a（1＋p）2＝a（1＋p1）（1＋p2），且1＋p1＞0，

1＋p2＞0，

所以a（1＋p）2＝a（1＋p1）（1＋p2）≤a＝a，解得

p≤，当且仅当1＋p1＝1＋p2，即p1＝p2时取等号．所以p的最大值是．

三、解答题

17．解：

令x＋1＝t＞0，则x＝t－1，

y＝＝＝t＋＋5≥＋5＝9，

当且仅当t＝，即t＝2，x＝1时取等号，故x＝1时，y取最小值9．

18．解：

因为直线l经过点P（3，2）且与x轴y轴都相交，

故其斜率必存在且小于0．设直线l的斜率为k，

则l的方程可写成y－2＝k（x－3），其中k＜0．

令x＝0，则y＝2－3k；令y＝0，则x＝－＋3．

S△AOB＝（2－3k）（－＋3）＝≥＝12，当且仅当（－9k）＝（－），即k＝－时，S△AOB有最小值12，所求直线方程为

y－2＝－（x－3），即2x＋3y－12＝0．

（第18题）

19．解：

设生产甲产品吨，生产乙产品吨，则有关系：

A原料用量

B原料用量

甲产品x吨

3x

2x

乙产品y吨

y

3y

则有，目标函数z＝5x＋3y

作出可行域后求出可行域边界上各端点的坐标，可知

当x＝3，y＝4时可获得最大利润为27万元.

20．解：

（1）∵x＜，∴4x－5＜0，故5－4x＞0．

y＝4x－1＋＝－（5－4x＋）＋4．

∵5－4x＋≥＝2，

∴y≤－2＋4＝2，

当且仅当5－4x＝，即x＝1或x＝（舍）时，等号成立，

故当x＝1时，ymax＝2．

（2）∵x＞0，y＞0，＋＝1，

∴x＋y＝（＋）（x＋y）＝＋＋10≥2＋10＝6＋10＝16．

当且仅当＝，且＋＝1，即时等号成立，

∴当x＝4，y＝12时，（x＋y）min＝16．

（3）a＝a＝·a≤＝，

当且仅当a＝，即a＝，b＝时，a有最大值．