大连理工大学高等数值分析偏微分方程数值解双曲方程书稿.docx
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大连理工大学高等数值分析偏微分方程数值解双曲方程书稿
双曲型方程的有限差分法
线性双曲型方程定解问题:
（a）—阶线性双曲型方程
ax」0
x
u
t
（b）—阶常系数线性双曲型方程组
uAuc
——A——0
tx
其中A，s阶常数方程方阵，u为未知向量函数。
（C）二阶线性双曲型方程（波动方程）
2
uuC
—aX—0
txx
ax为非负函数
（d）二维，三维空间变量的波动方程
22
uuc
—220
xy
§1波动方程的差分逼近1.1波动方程及其特征线性双曲型偏微方程的最简单模型是一维波动方程:
2
（1.1）
2Ua「x
其中a0是常数。
2
（行）可表示为：
节
2
2u
ar
x
进一步有
a——一a——u0XtX
/du
JdT
（1.3）
—a—
tx
udx~Xd?
dX
dt
a—）
X
a时为uX,t的全导数
，故由此定出两个方向
dtdX
解常微分方程（1.3）得到两族直线
（1.4）
XatC-i和Xat
C2
称其为特征。
特征在研究波动方程的各种定解问题时，起着非常重要的作用。
比如，我们可通过特征给出（1.1）的通解。
（行波法、特征线法）
由复合函数的微分
将（1.4）视为（x,t）与（Ci，C2）之间的变量替换。
C12
2
u
GC2
Cl
法则
同理可得
uu
tC1
G1
t
u
C2
u
C2
2
u
t2
Ci
uu
a——
C2G
Ci
u
——a
C2
uuC2
C2C1
2
u
C2G
C22
2
u
GC2
2
C22
GC2
2
将有和
x
2
扌代入（E可得:
ay
2
2——
GC2
a2
2u
即有
2
u
GC2
求其对C2的积分得：
u
Ci
再求其对Ci的积分得:
（1.5）ux,tfGdC1
Ci其中fCi
f1C1f2C2
2C1C2
Cl
是Ci的任意可微函数。
f1xatf2xat
其中fi?
和f2?
均为任意的二次连续可微函数。
（1.5）为（1.1）的通解，即包含两个任意函数的解。
为了确定函数f1xat和f2x
at的具体形式，给定U在x轴的初值
（1.5）
ult0
u
t
将（1.5）式代入上式，则有
i）f1xf2x0x
注意utx,t
f1xataf2x
ata；
utx,0f2xf1xa1x，有
（ii）f2Xf1X11X
a
并对X积分一次，得
与（i）式联立求解，得
即为法国数学家JeanLeRondd'lembert（1717-1783）提出的著名的
D'Alembert公式。
1丄
-丄1
〜
u1X,tu2X,t
一0Xat
0Xat+-
1Xat1Xat
2
2
d
1
1
Xat
Xat
1
2a
U1
X,t
U2X,t
1
2a
2at1
显然,
当t有限时,
解是稳定的
此外，由D'Alembert公式可以看出，解在x。
t。
仅依赖于X轴上区间X0at0,X0at。
内的初始值0X,
点，
to0的值
，与其他点
上的初始条件无关。
故称区间X0at0,X0at0为点X0,t0的依存域。
它
是过点X0,t0的两条斜率分别为1的直线在X轴上截得的区间。
a
对于初始轴t0上的区间X1,X2,过X1点作斜率为丄的直线
a
X2
XX1at；过X1点作斜率为1的直线XX2at。
它们和区间捲飞一
a
起构成一个三角区域。
此三角区域中任意点X,t的依存区间都落在
X1,X2内部。
所以解在此三角形区域中的数值完全由区间X1,X2上的初
始条件确定，而与区间外的初始条件无关。
这个三角形区域称为区间
Xi,X2的决定域。
在Xi,X2上给定初始条件，就可以在其决定域中确定
初值问题的解。
1.2显格式
族平行直线
n0,1,2,
XXjjh,j0,1,2,,tt
uXj1,tn2uXj,tnUXj1,tn
uxxXj,tn
Oh2
作矩形网络。
于网点Xj,tn处Taylor展开成
uXj,tn12uXj,tnuXj,tn1丄
2uttXj,tn
代入（1.1）,并略去截断误差，贝y得差分格式:
n1cnn1nc；n
（1.7）
uj2ujuj2uj12ujuj
2a72
h
j0,1,2,,n0,1,2,
这里U；表示u于网点Xj,tn处的近似值。
初值条件（1.5）用下列差分方程近似:
（1.8）
0
Uj0Xj
注意：
（1.7）的截断误差阶是o2h2，而（1.9）的截断误差阶仅是
（1.12）
n12n
UjrUj1
n
Uj1
c2nn1
21rujuj
进一步,
2
a2-U
X
UtX,01X
Ul,tt
可以逐层求出任意网点值。
以上显式三层格式也可用于求解混合问题:
Jut2（1.13）uX,00X
u0,tt
取hL
J
（1.14）
u0Nn,ujNn
T。
除（1.7）〜（1.9）外。
再补充边值条件
N
1.3稳定性分析
F面我们要讨论（1.7）的稳定性。
为引用Fourier方法，我们把
波动方程（1.1）化成一阶偏微分方程组,
相应地把显式三层格式（1.7）
化成二层格式。
一种简单的做法是引进变量
，于是（1.1）化为
这样会使得初值
ux,0与vx,0不适定
（不唯一），更合理的方法
是再引进一个变量
a—，将（1.1）化为
x
（1.15）
a——
x
va——
x
注意到:
2
2u
ar
x
u
a——
x
若令U
（1.16）
相应地，将（
1.7）
2
u
aa
xttx
则（1.5）可写成
上At
写成等价的双层格式：
va——
x
n1nnn
Vjv人二j2心
（1.17）
h
n1nn1n1
jijiVjVj1
ah
U；1依赖于:
n2
Uj
n2
Uj2
n2
Uj1
n3
Uj1
0
Uj
0
Ujn1，
（1.19）
充分条件是网比
（1.19）
（Courant-Fridrichs-Lewy）条件。
0.00
Uj，产,Ujn1,Ujn
因此，称x轴上含于区间Xjn,Xjn的网点为差分解U；的依存域，它是x
轴上被过Xj,tn和Xjn，0以及Xj,tn和Xjn，0的两条直线所切割下来
的区间所覆盖的网域。
而过Xj,tn的两条特征线为：
xXjattnO
1
——。
ha
可见差分格式稳定的必要条件是:
差分解的依存域必须包含微分方程解的依存域，否则差分格式不
稳定。
用依存域的概念容易证明：
当r1时，差分解不收敛。
1.4隐式
心差商的加权平均去逼近uxx得到下列差分格式:
a2
n1_nn1
Uj2UjUj
n1cn1n1
Uj12UjUj1
h
ncnn
Uj12UjUj1
h
n1cn1n1
Uj12UjUj1
2n
tUj
2n
xUj
-2n
2xUj
2n
xUj
其中0
1是参数。
可以证明，对于
差分格式绝对稳定;
格式的充要条件是:
差分格式为：
n1nn1
Uj2UjUj
2
11*2Ujn1j2u；12Ujn比1Ujn112un1
j1
9t2u；
2
a2n1cnn1碍xUj2ujUj4h
高维波动方程!
§3一阶双曲方程
双曲方程与椭圆方程和抛物方程的一个重要区别是，双曲方程具
有特征和特征关系，其解对初值有局部依赖性质。
初值的函数性质（如间断、弱间断等）也沿着特征传播，因而其解一般没有光滑性质。
我们在构造双曲方程的差分逼近时，应充分注意这些特性。
F面对于一阶双曲方程，介绍几种常见的差分格式
3.1迎风格式
首先考虑一阶线性常系数双曲方程
u
t
此方程虽简单，但是对我们构造差分格式很有启发。
我们的主要的目
3.21
3.22
3.23
a
h
n1
n
n
n
Uj
Uj
a
Uj
1
Uj
h
n1
n
n
n
Uj
Uj
a
Uj
1
Uj1
（左偏心格式）
（右偏心格式）
（中心格式）
0
n1n
UjUj
nn
UjUj10
2h0
其中3.21和
3.22的截断误差的阶为0
3.23的截断误差的阶
的是构造差分格式，因此只限于考虑纯初值问题。
为Oh2。
（3.3）
将3.21~3.23式改写为:
3.21
n1n.n
ujruj11ruj
3.22
uj1rujruj1
3.23
n1nrnrn
UjUj2Uj12Uj1
用FoUrier方法分析稳定性可知，3.23绝对不稳定。
a0时，3.22不
稳定，而3.21当-a1稳定，；a0时，3.21不稳定，而3.22当一B1
hh
稳定。
这两个稳定条件意味着差分方程的依存域必须包含微分方程的依存域。
同样的思想可用于构造变系数方程
UUc
——ax——0
tx
的差分格式。
此时a可能变号，因此相应的格式为:
其中ajaxj
稳定性条件为
（3.7）
-maxBi
hjdj
当aj0时
・・n11
n1
n
n
u1
max
j
Uj
rj
Uj11
'1rj
Uj
n
rjmaxUj
un
rj
其中un是以un为分量的的向量。
总之,
Un1
un
。
这说明（3.6）
当aj0时
稳定，按气体力学的含义（a（x）表示气流速度），称（3.6）为迎风格
式。
初边值问题：
边值条件应该在迎风方向给出
3.2积分守恒的差分格式
迎风格式是根据特征走向构造出来的向前或向后差分格式。
现在以积分守恒方程出发构造差分格式。
所谓守恒方程是指如下散度型偏微分方程
（3.13）
ufX,u0tx
设G是xt平面中任意有界域，由Green公式
ufX'udxdtfdtudxtx
fdtudx0
首先,
我们从（3.14）出发构造所谓Lax格式。
取G为Aj1,n，
Bj1,n1
，Cj1,n1和Dj1,n为顶点的开矩形。
ABCDA为其
边界，则
右端第一积分用梯形公式，第二积分用中矩形公式即
nn
.ui1uj1,
udx亠——』2h，udx
DA2BC
fdtfjn1，fdt
ABCD
fjn1
第三、第四积分用如下矩形公式计算:
从而有
现在回过头来看绝对不稳定格式
3.23
其稳定性条件为
n1nnn
UjUjUj1Uj1
a
2h
LaX格式实际是用£町1Ujn1取代U；的结果，这样一个变化就使得绝对不稳定格式成为条件稳定，并保持截断误差为0h2。
双曲方程组
b11』
X
Um
t
dmAf1
X
bUmf
bmmfm
X
上f
tx
若矩阵B[bj]相似于对角矩阵，则称为双曲方程组，可以化成m个一
阶双曲方程组，分别求解。
\z
\z
2
h"
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