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昂贵投标项目的投标补偿模型

S.PingHo,A.M.ASCE

摘要

对于投标准备费用较高的项目，业主应考虑支付投标补偿给未中标人中努力最高的投标人，以刺激额外的努力或在投标准备中的投入。

而使用竞价补偿的基本思想是直观，对于这一提议,它没有理论基础或经验证据做支撑。

因为昂贵的招标准备工作往往意味着更大的工程规模，所以投标补偿策略的问题对参与方和对收益的研究是很重要的。

本文旨在探讨投标补偿的影响，并制定相应的投标补偿策略。

博弈理论应用于分析竞争的投标人及项目业主之间的行为动态。

基于博弈论分析的投标补偿模型在这项研究中被建立了。

该模型为投标补偿，量化公式，对投标补偿策略的形成的影响等问题，提供了平衡的解决方案。

介绍

在实践中往往被建议用于高投标准备费用项目的方案是业主应考虑支付投标补偿，也称为津贴或酬金，给落选的投标者。

例如，根据编号201的实践文件的设计——建造手册（由美国的设计---建设研究所（DBIA）（1996年a）编制），建议说，“业主应考虑支付津贴或酬金给失败的投标者”，因为“要求提交很多材料却没有一定的补偿对投标企业来说是侮辱，还会阻止有工作能力的团队参加投标。

”在另一个DBIA的出版物（1995），也指出：

“强烈建议酬金给不成功的投保人“以及”提供合理的补偿将会鼓励更多的设计建造团队申请投标，如果入围，他们会在他们准备的投标书上做出额外的努力。

“鉴于投标准备费用取决于项目的规模，配送方式，和其他因素，准备一个投标书的成本往往和特定项目交付方案的相关度是比较高的，如设计——建造或建设——运营——移交（BOT）合同。

此外，昂贵的招标准备工作往往意味着一个大的工程规模，投标补偿策略的问题，这对各参与方来说很重要,应该深入研究

在施工中采购过程现有的研究已经解决的是适用于某些项目交付方法项目的选择（MOLENAAR1998年;MOLENAAR和Gransberg2001年），设计-建造项目的招标流程（songge等，1994；Gransberg和Senadheera1999；alaneeswaran和Kumaraswam2000），以及BOT项目招标过程（联合国工业和发展组织1996）。

然而，对投标准备费用较高的的项目的投标补偿问题尚未研究。

在所有对投标人对业主的采购或投标补偿策略问题的回应中，了解业主从投标人那里可以激发的高品质输入或额外的努力，对业主是十分有利的。

而对于采用投标补偿的争论是很多的，没有任何理论基础或经验证据支持这样的说法。

因此，关键是研究在什么条件下投标补偿是有效的，并且对于不同的竞标情况赔偿多少是足够的。

本文重点从理论上研究投标补偿的影响，并试图为昂贵的投标准备项目制定相应的补偿策略。

博弈论将被用于分析竞争的投标人之间的行为动态。

根据游戏理论分析和数值试验，力图建立补偿模型。

该模型对投标补偿策略提供了一个定量的框架，以及对影响的定性分析。

研究方法：

博弈论

博弈论可以被定义为“研究智能理性决策者之间冲突与合作的数学模型”（1991迈尔森）。

在经济理论中，博弈论已成功地应用于许多重要问题，如谈判，金融和不完善的市场。

博弈论也被应用到施工管理两个方面。

he（2001）应用博弈论在BOT项目的招标及项目融资和政府政策含义上分析信息不对称问题。

he和liu（2004）开发用于分析建筑商和业主施工索赔的行为的一个动态博弈理论模型。

在竞争性招标，在投标人之间以及投标人与业主之间的策略性互动是常见的，因此博弈论是分析关注问题的一种天然的工具。

游戏的一个著名的例子是如图所示的“囚徒困境”。

两名犯罪嫌疑人被逮捕，并关在不同的监狱里。

如果他们两人承认犯罪，那么他们将被判处入狱6年。

如果都没有坦白，每个将被判处1年。

但是，如果其中一人交代，另一个没有，那么交代的人会被释放（在监狱0年），但是另一个人会受到关押9年的惩罚。

请注意，每个单元格中，第一个数字代表参与方1号的收益，第二个代表参与2号的收益。

图一：

囚徒困境

囚徒困境是所谓的“静态博弈”，即他们同时起作用，也就是说，玩家做出决定之前每个玩家不知道其他玩家的决定。

如图一的补偿矩阵表达的是所有玩家已知的，那么补偿矩阵是一个对于所有玩家是个“常识”，这游戏被称为“完全信息”，一个游戏的玩家都假定为理性的“完全信息”，也就是说，以最大限度地提高他们的回报。

回答了每个囚犯在这场游戏中将扮演的角色，我们将介绍博弈理论中最重要的概念之一“纳什均衡”的概念。

Nash平衡是一组由每个玩家可以选择动作。

在纳什均衡中，每个玩家的策略应该是其他玩家的策略最好的回应，也没有参与方想从均衡中偏离。

因此，平衡或解决的方案是“战略稳定”或“自动执行”（1992）。

相反，非平衡是不稳定的，因为在玩家中至少一个可以通过从非平衡中偏离获得最好结果。

在囚徒困境中，只有（坦白，坦白）解决方案，其中两个玩家选择坦白，满足稳定性试验或纳什均衡的要求。

请注意，虽然（不承认，不承认）相比纳什均衡，对于双方玩家非平衡解决方案似乎更好，但是，无论玩家可以通过这个解决方案偏离获得额外的好处，这种解决方案是不稳定的。

有兴趣的读者可以参考本斯（1992），弗登伯格和Tirole（1992）和迈尔森（1991）。

投标补偿模型

在本节中，投标补偿模型会在博弈理论分析的基础上深化。

该模型将有助于业主根据各种竞争情况和项目特点决定投标补偿策略。

含数值计算结果的说明案例必要的时候会给出以展示模型可以在各种场景中使用。

假设和模型设置

要执行博弈理论研究，关键是要做出必要的简化，使人们可以关注重点的问题，并获得有洞察力的结果。

然后，模型的建立将随之而来。

在这个模型中所做的假设概述如下。

请注意，这些假设可能在未来的研究可以用于为更广泛的用途。

1平均投标人：

在技术和管理能力方面投标人都是一样的好。

由于设计----建造及BOT注重质量问题，采购过程中所规定的资格预审过程中减少投标人的能力的不同，总之，做出“平均投标人”的假设是合理的。

2完整的信息：

如果所有投标人考虑对方是一个平均投标人如在第一种假设认为，这是很自然的假设，每个投标人在每一个可能的解决方案的回报是众所周知的。

3对排第二的投标人以补偿：

由于DBIA的（1996年b）手册，文件编号103，建议“津贴只支付给排名最高的不成功的投标人，以防止递交投标书只是为了获得投标补偿金，”我们假设投标补偿将提供给第二个最好的投标人。

4据推测，制作投标准备书中有两个级别的努力，高和平均，记为H和A，努力A被定义为不产生额外成本来提高质量水平。

反之，努力H定义为改善提案将产生额外的成本，记为E，其中的改进是通过检测一个有效的方案评价体系的质量水平。

通常情况下，质量的标准将转化为在征求建议书规定的评标标准和各自的权重。

5固定出价补偿S：

固定金额可以按一定比例的平均利润，在普通投标人采购过程中设为P

6投入与的额外费用E：

为方便起见，假设Ë不会被包含在投标价中，这样努力高的投标人将赢得价格----质量的竞争，如最值法的合同。

这一假设简化了质量改进和投标价增加之间的权衡。

两个投标人游戏

在这个招标活动中，只有两个合格的投标人。

每个投标人在投标中可能回报如图所示。

如果两个竞标者选择“H”，记为（H，H），这两个投标人将被选入合同的50％的概率，并在同一时间，有失去合同的另外50％的概率，但是会获得投标补偿S做为回报。

其结果是，在（H，H）方案中投标人的预期收益是（S/2+P/2-E，S/2+P/2-E）。

需要注意的是预期收益的计算是基于平均投标人的假设。

类似地，如果投标选择（A，A），则预期收益将（S/2+P/2，S/2+P/2）。

如果投标人选择（H，A），投标人1号将赢得合同的100％的概率，因此，预期收益为（P-E，S）。

同样，如果投标人选择（A，H）的预期收益将（S，P-E）。

n投标人游戏的回报可以通过同样的推理来获得。

纳什均衡

因为在每个平衡的支付被表示为S，P和E的函数，而不是一个特定的号码，该模型将集中在对于投标的每种可能Nash平衡的条件。

在这里，求解纳什均衡方法是找到确保稳定或纳什均衡的自我实施的要求条件。

这种技术将在整个文章中被应用。

首先，检查（H，H）解决方案的回报。

对于投标人1号或2不从这个解决方案偏离，我们必须有

S/2+P/2-E>S→S

（1）

因此，条件

（1）保证（H，H）是一个纳什均衡。

其次，检查（A，A）解决方案的回报。

对于投标人1号或2不从（A，A）偏离，条件

（2）必须满足

S/2+P/2>P-E→S>P-2E

（2）

因此，条件

（2）保证（A，A）是一个纳什均衡。

注意，条件“S=P-2E”将被忽略，因为条件可以成为

（1）或

（2）通过添加或减去一个无限小的正数。

因此，由于S必须满足两个条件

（1）或条件

（2），或者（H，H）或（A，A）必须是唯一的纳什均衡。

第三，检查（H，A）方案的回报。

对于投标人编号1不选自H偏离到A，我们必须有P-E>S/2+P/2，即，S

对于投标人2号不从A到H偏离，必须有S>S/2+P/2-E，也就是说，S>P-2E。

由于S不能同时大于和小于P-2E，（H，A）的方案可以不存在。

同样，（A，H）解决方案也无法存在。

这也印证了之前的结论是（H，H）或（A，A）必须是唯一的纳什均衡。

投标补偿的影响

投标补偿的目的是作为一种鼓励，诱导投标人作出高努力。

因此，投标补偿策略的关注应集中在S是否能有效地诱导高付出。

根据平衡的解决方案，投标赔偿决定应取决于P-2E或E与p相比的相对幅度。

如果E是相对小的，使得P>2E，则P-2E将使条件

（1）得到满足，即使当S=0。

这意味着，高付出的额外成本是比较低的时候，投标补偿是不合适的。

而且，奇怪的是，S足够高使得S>P-2E时S的条件将不满足。

另一方面，如果E比较大，使得P-2E是负的，则条件

（2）将始终满足因为S不能为负值。

在这种情况下，（A，A）将是惟一的纳什均衡。

换句话说，当E比较大的时候产生额外成本以提高提案的质量不符合投标人的利益，因此，S不能为高的努力提供任何奖励。

总之，当E比较低的时候，即使没有投标的补偿，做出高努力符合投标人的利益。

当E是比较高的时候，投标人做出一般努力也会使情况变好。

换句话说，投标补偿在两投标人游戏中无法推动额外的努力，讽刺的是，如果补偿太多了，投标补偿可能阻碍大的努力。

因此，在有两个投标人的招标活动中，业主不应该以投标补偿作为奖励来诱导高努力。

三个投标人游戏

纳什均衡

图3所示的操作都在一个三投标人游戏的组合和它们各自的回报。

类似于2人投标活动，这里的Nash平衡可以通过确保该方案的稳定性来解决。

对于平衡（H，H，H），条件（3）必须满足稳定性要求

S/3+P/3-E>0→S>3E–P（3）

对于平衡（A，A，A），条件（4）必须满足

S/3+P/3>P-E→S>2P-3E（4）

在三投标人的活动中，有可能使得在同一时间S满足条件（3）和（4）。

这是一个从2人投标活动，其中S只能满足任一条件

（1）或

（2）。

因此，当S满足条件（3）和（4），将有两个纯策略纳什均衡。

然而，由于（A，A，A）的回报，S/3+P/3，大于（H，H，H），S/3+P/3-E，对所有投标人所带来的回报，最终投标人将选择（A，A，A），前提是努力使A的投标人之间达成共识。

达成这样的共识的过程被称为“廉价通话”。

这个协议对所有投标人有利，没有投标人会希望从这样的协议偏离。

但有理由相信，在设计——建造或BOT方式招标模式中，廉价的通话可能发生。

因此，只要条件（4）成立时，（A，A，A）将是惟一的纳什均衡。

一个重要含义是，廉价通话状况不能满足比（A，A，A）以外的任何均衡解。

换句话说，除了（A，A，A）条件（5）必须满足所有的平衡的解决方案

S<2P-3E（5）

根据这一结果，为（H，H，H）是唯一的，条件（3）和（5）必须满足，也就是说，我们必须有

3E-P

注意，根据定义S是一个非负的数，因此，如果一个人不能找到一个非负的数，以满足平衡状态，然后相应的平衡不存在，并且在说明的图和表中平衡条件将被标记为“N/A“。

图：

三个投标人游戏

下一步，检查解决方案，其中两个投标人做出高努力和一个投标人做出普通的努力，例如，（H，H，A）。

（H，H，A）的预期收益为（S/2+P/2-E，S/2+P/2-E，0）。

由于（H，H，A）是一个纳什均衡，必须满足S/3+P/3-E<0，这样做出普通努力的投标人将不会从A偏离到H，S/2+P/2-E>S/2必须满足使做出高努力的投标人的不会从H偏离到A，条件（5）必须满足如前面指出。

这三个条件可改写为

S0（7）

请注意，由于平均投标人的假设，如果（H，H，A）是一个纳什均衡，则（H，A，H）和（A，H，H），也将是纳什均衡。

这三个纳什均衡将构成一个所谓的混合战略纳什均衡，记为2H+1A，其中每个投标人以一定的概率随机的徘徊在H和A之间。

混合战略纳什均衡的概念应更详细地下一节解释。

同样，我们可以获取解决方案，1H+2A的要求，条件（5）和S/2+P/2-E

该要求可改组为

S<2P-3EandP-2E<0（8）

另外，在条件（7）中“P-2E>0”和“P-2E<0”的条件之间的相互矛盾的关系（8）似乎表明，这两种类型的Nash平衡的是排斥的。

然而，2H+1A和1H+2A之间的唯一区别是，在2H+1A平衡的投标人做出h努力的概率较高，而在1H+2A投标人也混合了动作H和A，但用于ħ概率较低。

从这个角度来看，2H+1A和1H+2A之间的差别不是很显着。

换句话说，我们不应该考虑，比如，2H+1A，是两个投标人使用H和一个投标人使用A，而是应该考虑各投标人使用H概率较高。

同样，相比2H+1A，1H+2A是指投标人具有使用H的概率较低。

参考例子：

成效投标补偿

在平衡条件下为三人投标人游戏进行数值示于表1，其中P是任意假定为数值计算用途10％和E变化到表示为更高的努力不同成本所示。

表1中的“*”表示零补偿是最好的策略，也就是说，在额外努力方面投标补偿是的刺激是无效的。

根据计算结果，表1显示只有当E是P/3

现在的问题是，当P/3

要回答这个问题，在于混合策略纳什均衡，2H+1A，概念和定义如前所述。

由于2H+1A表示每个投标人将发挥H概率显著较高，知道业主要在三个投标人中选择一个，2H+1A可能已经足够好。

我们将这个概念在后面做一个更一般的阐述。

因此，如果2H+1A平衡不够好，在三个投标人招标中投标赔偿将不被推荐。

投标补偿测定及策略

在本节中，在博弈论和概率论的一些重要概念将被用来确定中标赔偿的适当幅度。

含数值例子将给出用来说明在各种情况下如何形成投标补偿策略。

混合战略纳什均衡

正如前面在一个混合策略中提到，投标人随机行为H和A以一定的概率来迷惑对方。

从一个更加动态的角度来看，每一个投标人观察其战略工作，如果目前使用策略没有其他策略表现好,投标人将改变他的策略。

这一战略调整过程一直持续到投标人使用特殊策略的比例等于混合战略纳什均衡概率。

当有多个纯策略均衡或者有非纯策略均衡时混合策略可能发生。

事实上，一个纯策略均衡可以认为是用制定100％概率策略的混合策略均衡。

因此，在混合策略均衡的主要问题是制定每一种策略的可能性。

在投标补偿问题上，一个主要的问题是选择动作H和A如何计算其概率。

一个简单的例子，销售竞争博弈，如图4所示。

图4说明了混合策略概率是如何被解决的。

假设两店正在考虑是否应该有一个冬季发售。

如果这两个店铺经营销售，由于价格竞争激烈，每个回报将是300美元。

如果没有门店销售，每件回报将是$500。

如果只有一家店有售，那么回报将是$700另外$400分别给销售店铺和正规商店。

我们发现，有两个纯策略均衡的销售游戏，（销售，无销售）和（无销售，售后），其中没有投标人有动力去改变。

然而，很难解释为什么有一个投标人总是选择“无销售。

”其实，还有一个更好的平衡，混合策略均衡，其中每个店以一定的概率随机选择“销售”，和“无销售”。

概率可以通过以下的混合战略纳什均衡的定义来解决。

据吉本斯（1992），在两个玩家的游戏中认为，如果每个玩家的混合策略是其他玩家的混合战略的最好回应那么混合策略就是纳什均衡。

在销售的游戏中，假设“λ”是店号2具有销售，λ也是由商店编号1已知的概率，然后存放1的从无销售中的预期收益是（λ）300+（1-λ）700及（λ）400+（1-λ）500。

因此，如果λ>2/3，然后储存1号的最优反应是无销售，当λ<2/3，那么存储1号的最好的回应是销售，并且当λ=2/3，那么商店编号1的最优反应是与任何概率制定任何一个策略。

换句话说，当λ=2/3商店1可以选择任何混合策略，是商店2号的混合战略的最好回应。

在这方面，有一半的平衡定义的满足。

从逻辑上讲，如果我们还发现一个混合策略，店号1和店号2的最优反应是制定任何混合策略，那么均衡的定义会符合“每个参与方的混合策略是其他参与方的混合战略的一个最好的回应”。

因此，对于混合战略纳什均衡的数学要求是每个参与方的混合策略概率就会使潜在的战略之间的其他参与方无动于衷。

换句话说，我们可以获得混合策略概率Ω*-i，其中，i代表比其他参与方，通过求解方程（21）得到的混合策略概率。

E{πi（ST1）|Ω*-I}=E{πi（ST2）|Ω*-I}，i=1,2，...，N（21）其中，E{∙|Ω*-I}=期望值算子相对于其他玩家的混合策略概率，参与方通过制定策略1（ST1）和策略2（ST2）的回报分别为πi（ST1）以及πi（ST2）。

由于销售的游戏是对称的，也就是说，回报模式的商店第1和2是相同的，对于存储1，选择出售也是2/3的混合策略概率。

因此，销售游戏的混合战略纳什均衡是每个店都会选择与销售的2/3的概率和有1/3“无销售”的概率。

图4：

销售竞争博弈

最优投标补偿决策

正如前面所指出，假设业主的评价标准是有效的，这样一个更高质量的投标可以被业主识别并接受。

因此，业主只能在招标过程中只需要一个高付出的投标人，而不是全部，也就是说，业主最关注的将是至少有一个投标人做出努力H，这是由公式（25）计算出来的概率。

公式（25）表明至少一个投标人以p的概率做出H努力，表示为S的函数，可以通过减去不具有单一H努力投标人的概率计算

P（S）=1-[1-Q*（S）]n（25）

在一个三投标人游戏中，如表1所示,当E等于4％。

根据公式（23），因为S=0，q*将等于0.8。

由方程（25），我们知道，P（S=0）=0.992，这证实了我们之前的猜测，该2H+1的混合策略是在三人投标活动中不够好，投标补偿不应该在一个三投标人活动中使用。

图5表明在在两个，三个，四个，五个投标人活动中，相对于不同的Q*的值，P的值会不同。

例如，如果业主希望p为0.97，那么二，三，四，五个竞标者的情况下对于q的要求约为0.83，0.7，0.6和0.5。

虽然在纳什均衡中Q*将等于1。

图5表明，当有至少三个投标时，混合策略均衡往往成为一个满意的解决方案。

表3中的例子表明，当n=4，E=4％时因为S=0，即使Q*只等于0.578，P将等于0.968。

其结果是，投标补偿在这种情况下是没有必要的。

对于另一种情况，当E增大到5.5％，因为S=0，p值将等于0.754，从而投标补偿变得更有效。

在这种情况下，因为S=5.5％，p将从0.754增加至0.913。

然而，业主提供S=5.5％以换取较高的P对业主也未必有利。

问题是如何确定一定数额的投标补偿S是恰当的。

从经济的角度它应通过p的增加所获得的边际效益确定一个合适的S。

因此，建议业主应根据目标函数确定投标补偿的幅度

B=MAXS{[P（S-P（S=0）]（γH-ΓA-S}（26）

其中γH和ΓA分别等于努力H和努力Ａ对业主来说项目的价值，由于较高的努力的边际效益，可表示为总成本的比例，所以与E和S的表达是一致的。

对于前面的例子中，根据公式（26）当n=4，E=5.5％时，若γH-ΓA等于20％，S=0，B就可以根据方程取得最大值。

因此，在这种情况下，以投标补偿促进更高的努力不符合业主的利益。

图5：

概率p与概率为q对不同的号码投标人

注意方程（26）暗示或假设即使所有投标人投入的努力为H，业主必须将项目授予一个投标人。

当项目重新招标非常昂贵时，这是真实的。

因此，对于大型项目或复杂的项目，在方程（26）中隐含的假设应是合理的。

但是，如果业主被允许将项目不授予任何一个投标人，并且对项目重新招标直到H投标人出现，成本效益分析必须以不同方式进行评估。

具体来说，项目所有者招标和预期的几轮招标的成本应予以重新考虑。

在这里，我们将放弃所有者的目标函数，因为函数很简单，这种模式主要应用于设计——建造和BOT项目。

投标补偿和采购策略

投标补偿策略是基于对二，三，四个投标人竞标活动分析，和N（N>4）投标人。

投标补偿模型为业主或政府提供了招标补偿决策的理论框架。

关于投标补偿策略形成四个重要的研究结论

1不当使用投标补偿可能会阻碍高努力。

2投标补偿策略可以看作是三个方面的问题：

投标人的数量，项目的复杂性，以及项目的盈利能力。

工程复杂性的特点是为了提高质量需要多少额外的努力，在本文中它被定义为E。

项目的盈利能力是补偿前的预期利润，在本文中记为P。

3相比补偿前的预期利润率，E如果非常小或非常大投标补偿是不可取的。

此外，不管项目多么简单或复杂，投标补偿不推荐用于两个或三个投标人的招标活动，因为投标补偿是无效的。

当有四个或四个以上的投标人，投标补偿变得更有效地促进更高的努力。

4投标补偿变得更有效时，不一定是最好的策略。

事实上，是否使用投标补偿和多少赔偿金额最终应当由边际成本-效益分析的公式（26）决定一些定性结果可以很容易地应用到特定的承包方案，如设计-建造或BOT方式。

例如，在设计——建造或BOT项目，投标人的数量被限制为两个或三个是常见的。

因此，根据本文所建立的模型，业主或政府不应该使用投标补偿策略。

对于那些有最小的复杂性和最小合同利润率的项目，如公路或工厂厂房，也不建议采用投标补偿，甚至当有三个以上的投标人时，只有当高付出的成本适中，并且边际利润相比不会太高投标补偿才可以被考虑

请注意，