中南大学离散数学实验报告实验2AC.docx
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中南大学离散数学实验报告实验2AC
“离散数学”实验报告
(实验2AC)
专业
班级
学号
姓名
日期:
2011.12.12
目录
一、实验目的3
二、实验内容3
三、实验环境3
四、实验原理和实现过程(算法描述)3
A题型3
C题型4
五、实验数据及结果分析7
A题型7
B题型9
六、源程序清单11
A题型11
B题型12
七、其他收获及体会18
一、实验目的
掌握关系的概念与性质,基本的关系运算,关系的各种闭包的求法。
理解等价类的概念,掌握等价类的求解方法。
二、实验内容
1.求有限集上给定关系的自反、对称和传递闭包。
(有两种求解方法,只做一种为A,两种都做为B)
2.求有限集上等价关系的数目。
(有两种求解方法,只做一种为A,两种都做为B)
3.求解商集,输入集合和等价关系,求相应的商集。
(C)
三、实验环境
C或C++语言编程环境实现。
四、实验原理和实现过程(算法描述)
A题型求有限集上等价关系的数目。
集合上的等价关系与该集合的划分之间存在一一对应关系。
一个等价关系对应一个划分,一个划分也对应一个等价关系。
我们把n个元素的集合划分成k块的方法数叫第二类Stirling数,表示为S(n,k)。
给定S(n,n)=S(n,1)=1,有递归关系:
S(n,k)=S(n−1,k−1)+kS(n−1,k)集合上所有等价类的个数即为k从1到n,所有S(n,k)之和。
这个问题的算法比较简单,仅需两步就可完成,首先根据上式,定义一个递归函数S(n,k),然后对k从1到n,求取sum=∑S(n,k),sum的值就是给定n元集合上的等价关系数目,最后将其输出即可。
A题型的流程图如下所示:
C题型求解商集,输入集合和等价关系,求相应的商集
商集即等价类构成的集合,要求商集,首先需要判断输入的关系是否为等价关系,否则没有商集。
判断输入的关系是否为等价关系的算法如下:
(1)将输入的关系转换为关系矩阵,这里定义了一个函数translate(),转换的方法为:
依次查找输入的关系中的二元组的两个元素在集合中的位置,例如,若a在集合A中的位置为i,b在集合A中的位置为j,就令存放关系矩阵的二维数组M[i][j]=1,这样就将输入的关系R转换为关系矩阵的形式。
(2)定义三个函数zifan(),duichen()和chuandi(),分别的作用是判断输入的关系是否自反、对称和传递。
由等价关系的定义知,若三个函数的返回值均为1,则输入的关系是等价关系。
判断的方法是:
若关系矩阵M中所有的M[i][i]=1,则是自反关系;若M中所有的M[i][j]=M[j][i],则是对称关系;若M[i][j]=1并且M[j][k]=1,那么一定有M[i][k]=1,则是传递关系。
判断了所输入的关系为等价关系后就可以求其商集了,由于商集即等价类构成的集合,所以要求其等价类。
确定集合A={a1,a2,a3,…,an}关于R的等价类的算法如下:
(1)令A中每一个元素自成一个子集,A1={a1},A2={a2},…,An={an}
(2)对R中每个二元组,判定x和y所属子集。
假设x属于Ai,y属于Aj,若Ai<>Aj,则将Ai并入Aj,并置Ai为空;或将Aj并入Ai,并置Aj为空。
一般将元素少的集合合并到元素多的集合。
(3)A1,A2,…,An中所有非空子集构成的集合即为所求商集。
集合的并运算采用并查集(union-findsets)的方法。
并查集是一种树型的数据结构,多棵树构成一个森林,每棵树构成一个集合,树中的每个节点就是该集合的元素,找一个代表元素作为该树(集合)的祖先。
并查集支持以下三种操作:
(1)Make_Set(x)把每一个元素初始化为一个集合
初始化后每一个元素的父亲节点是它本身,每一个元素的祖先节点也是它本身。
(2)Find_Set(x)查找一个元素所在的集合
查找一个元素所在的集合,只要找到这个元素所在集合的祖先即可。
判断两个元素是否属于同一集合,只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。
(3)Union(x,y)合并x,y所在的两个集合
合并两个不相交集合操作很简单:
首先设置一个数组Father[x],表示x的"父亲"的编号。
那么,合并两个不相交集合的方法就是,找到其中一个集合的祖先,将另外一个集合的祖先指向它。
C题型的流程图如下所示:
五、实验数据及结果分析
以下是实验过程中的实验数据截图:
A题型
以上三图显示了集合元素数为3、4、5的等价关系数目分别为5、15、52,根据原递归式计算也是此值。
说明程序正确。
上图显示的是当输入错误的情况,当输入错误时提示错误,再次输入后正确计算出其结果。
由以上图示数据可以看出程序完整地实现了实验A的要求。
C题型
(1)运行程序开始提示输入集合A:
(2)输入集合并回车,频幕上显示要计算的集合A,并提示下一步输入集合上的等价关系R:
(3)输入集合A上的一个等价关系R并回车,显示关系R和它的关系矩阵,以及计算出的商集:
(4)再次运行程序,此次输入的关系不是等价关系,则会出现提示:
您输入的不是等价关系,没有商集,请重新输入!
(5)重新输入一个等价关系,输出其正确的计算结果:
由以上实验数据可以看出,程序完整地实现了题目要求。
当然程序编写及调试过程中还遇到很多错误,都一一解决了,但没有截取数据
六、源程序清单
A题型
#include
intS(intx,inty)/*定义递归函数*/
{
intt;
if(y==1||y==x)
{t=1;}
else{t=S(x-1,y-1)+y*S(x-1,y);}
returnt;
}
main()
{
intk,n,sum=0;
printf("请输入有限集合的元素个数:
\n");
scanf("%d",&n);getchar();
if(n<=0||n>100)
{
printf("输入错误,请重新输入!
\n");
scanf("%d",&n);getchar();
}
for(k=1;k<=n;k++)
{
sum=sum+S(n,k);/*调用递归函数*/
}
printf("给定%d元有限集上等价关系的数目为:
\n%d",n,sum);
getchar();
}
C题型
#include"stdio.h"
#include"ctype.h"
#include"string.h"
#include"stdlib.h"
#include"math.h"
#defineMAX20
#defineSTUstructstu
intM[MAX][MAX];/*存放关系矩阵*/
charA[MAX];/*存放有限集合*/
charB[MAX];/*存放等价关系*/
inti,j,p,q,n,l,k,t,y;
STU
{
intm;
chartree[20];
};
STUequ[20];
voidmake_set(STUequ[],charA[],intn)/*使集合A中的元素自成一个子集*/
{
inti;
for(i=0;i{
equ[i].m=1;
equ[i].tree[0]=A[i];
equ[i].tree[1]='\0';
}
}
find_set(intj)/*查找二元组中元素所属集合*/
{
inti;
for(i=0;i{
if(M[j][i])
{
break;
}
}
if(i==j)
{
return-1;
}
else
returni;
}
voidunionit(STUequ[],intj,inti)/*合并二元组中元素所属集合*/
{
equ[j].tree[equ[j].m]=equ[i].tree[0];
equ[i].tree[0]='\0';
equ[i].m=0;
equ[j].m=equ[j].m+1;
equ[j].tree[equ[j].m]='\0';
}
voiddisp(STUequ[],intn)/*输出商集*/
{
inti;
printf("A/R={");
for(i=0;i{
if(equ[i].m!
=0)
{
printf("{%s}",equ[i].tree);
}
}
printf("}");
}
voidcaculate(STUequ[],charA[],intn)/*计算商集*/
{
intp;
make_set(equ,A,n);
for(i=0;i{
p=find_set(i);
if(p!
=-1){
unionit(equ,p,i);
}
}
disp(equ,n);/*调用输出商集函数*/
}
voidgetguanxi()/*获得关系R并输出显示*/
{
gets(B);
l=strlen(B);
printf("您输入的关系为:
\n");
printf("R={");
for(j=0;j{
printf("<");
printf("%c,",B[j]);
printf("%c",B[j+1]);
printf(">");
}
printf("}\n");
}
voidtranslate()/*转换为关系矩阵的函数*/
{
intp,q,i=0,j;
while(B[i]!
='\0')
{
if((B[i]>='A')&&(B[i]<='Z'||B[i]>='a')&&(B[i]<='z'))
{
for(j=0;j{
if(B[i]==A[j])
{
p=j;
break;
}
}
i++;
while(B[i]!
='\0')
{
for(j=0;jif(B[i]==A[j])
{
q=j;
M[p][q]=1;
break;
}
if(j==n)
i++;
else
{
i++;
break;
}
}
}
else
i++;
}
}
voiddisplay()/*输出关系矩阵函数*/
{
inti,j;
for(i=0;i{
for(j=0;j{
printf("%2d",M[i][j]);
}
printf("\n");
}
}
intzifan()/*判断输入的关系是否自反函数*/
{
intcount=0;
for(i=0;i{
if(M[i][i]==1)
{
count++;
}
}
if(count==n)
return1;
else
return0;
}
intduichen()/*判断输入的关系是否对称函数*/
{
for(i=0;i{
for(j=i+1;j{
if(M[i][j]!
=M[j][i])
{
return0;
}
}
printf("\n");
}
return1;
}
intchuandi()/*判断输入的关系是否传递函数*/
{
intflag=1;
for(i=0;i{
if(flag==0)break;
for(j=0;j{
if(flag==0)break;
for(k=0;k{
if((M[i][j]==1&&M[j][k]==1&&M[i][k]!
=1))
{
flag=0;
break;
}
}
}
}
returnflag;
}
voidclearM()/*第一次输入不是等价关系,重新输入前矩阵清零*/
{
inti,j;
for(i=0;ifor(j=0;jM[j][i]=0;
}
voidmain()
{
printf("请输入一个有限集合(a-z/A-Z):
\n");
gets(A);
n=strlen(A);
printf("您输入的集合为:
\n");
printf("A={");
for(i=0;i{
printf("%2c",A[i]);
}
printf("}\n");
printf("请输入这个集合上的一个等价关系R:
\n");
getguanxi();/*调用获得关系R并输出显示函数*/
translate();/*调用转换为关系矩阵函数*/
printf("R的关系矩阵为:
\n");
display();/*调用输出关系矩阵函数*/
t=zifan()&&duichen()&&chuandi();/*判断关系是否等价*/
while(t!
=1)
{
printf("您输入的不是等价关系,没有商集,请重新输入!
\n");
getguanxi();/*调用获得关系R并输出显示函数*/
clearM();/*矩阵清零*/
translate();/*调用转换为关系矩阵函数*/
printf("R的关系矩阵为:
\n");
display();/*调用输出关系矩阵函数*/
t=zifan()&&duichen()&&chuandi();/*判断关系是否等价*/
}
printf("您所输入的集合和等价关系相应的商集为:
\n");
caculate(equ,A,n);/*调用计算商集函数*/
getchar();
}
七、其他收获和体会
相对于上一次的实验,由于积累了经验,并且掌握了一定的技巧,所以本次实验相对来说更得心应手,但在实验期间还是碰到了许多困难。
本次实验中,我选择了2.求有限集上等价关系的数目和3.求解商集,输入集合和等价关系,求相应的商集。
首先我还是巩固了离散数学中关于二元关系的内容,使自己清楚地认识到关系的概念与表示,以及相容关系与等价关系,商集等概念,为实验的完成打下基础。
集合上的等价关系与该集合的划分之间存在一一对应关系。
一个等价关系对应一个划分,一个划分也对应一个等价关系。
商集即等价类构成的集合,要求商集,首先需要判断输入的关系是否为等价关系,否则没有商集。
通过本次实验,使自己的实验能力又得到了进一步的提高,同时自己的C语言编程能力也有了不错的进步,在此基础上加深了对等价关系,相容关系以及商集的理解,希望能继续努力,更好地完成下一次的离散数学实验。