北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组教案.docx
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北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组教案
北师大版八年级数学上册第五章二元一次方程组
教案
1 认识二元一次方程组
教学目标
1．了解二元一次方程组的概念和二元一次方程组解的含义．
2．会判断一组数是不是二元一次方程组的解，会尝试利用列表的方法求简单的二元一次方程组的解．
3．经历探索二元一次方程组的过程，培养学生观察、分析、概括的能力．
重点难点
重点
二元一次方程组的意义和二元一次方程组解的概念．
难点
尝试利用列表的方法求简单的二元一次方程组的解．
教学设计
一、情境导入
1．课件出示教材第103页的内容．
师：
同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？
请每个学习小组讨论，然后指名回答．教师注意引导学生设两个未知数，从而得出二元一次方程．
师：
这个问题由于涉及老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程x－y＝2，若老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍，得方程：
x＋1＝2（y－1）．
2．课件出示教材第104页“想一想”上面的内容．
仍请每个学习小组讨论，教师注意引导学生分析其中有几个未知量，如果分别设未知数，将得到什么样的关系式．
师：
这个问题由于涉及有几个成人和几个儿童两个未知数，我们设他们中有x个成人，有y个儿童，在题目的条件中，我们可以找到的等量关系为：
成人人数＋儿童人数＝8，成人票款＋儿童票款＝34.由此我们可以得到方程x＋y＝8和5x＋3y＝34.
在这个问题中，可能会有学生认为用一元一次方程也可以解答，我们要肯定学生的做法，并将学生的答案保留下来，放到第二节二元一次方程组解法的学习中去，让学生更有学习的好奇心与积极性．同时告诉学生在某些有两个等量关系的实际问题中，列二元一次方程组比列一元一次方程更快捷、清楚．
二、探究新知
1．二元一次方程概念的概括．
师：
上面所列方程有几个未知数？
所含未知数的项的次数是多少？
归纳出二元一次方程的概念：
含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
这个定义有两个要求：
①含有两个未知数；
②所含未知数的项的最高次数是1.
课件出示一些关于二元一次方程概念的辨析题，进行巩固练习：
（1）下列方程有哪些是二元一次方程：
①x＋3y－9＝0；②3x2－2y＋12＝0；
③3a－4b＝7；④3x－
＝1；
⑤3x（x－2y）＝5；⑥
－5n＝1.
（2）如果方程2xm－1－3y2m＋n＝1是二元一次方程，那么m＝______，n＝______．
2．二元一次方程组概念的概括．
师：
上面的方程x－y＝2和x＋1＝2（y－1）中，x的含义相同吗？
y呢？
（在两个方程中x表示老牛驮的包裹数，y表示小马驮的包裹数，x，y的含义分别相同．）
由于x，y的含义分别相同，因而必同时满足x－y＝2和x＋1＝2（y－1），我们把这两个方程用大括号联立起来，写成
从而得出二元一次方程组的概念：
像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．例如，
注意：
在方程组中各方程中的同一个字母必须表示同一个对象．
3．根据情境，得出有关方程的解的概念．
课件出示教材第105页“做一做”．
各小组合作完成，学生分别代入验算，教师巡回参与小组活动，并帮助找到3个小题的结论．
结论：
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．
如x＝6,y＝2是方程x＋y＝8的一个解，记作
同样，
也是方程x＋y＝8的一个解．
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解．
例如：
就是二元一次方程组
的解．
三、举例分析
判断下列方程组是否是二元一次方程组：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
四、练习巩固
教材第105页“随堂练习”第1～3题．
五、小结
1．含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程．
2．二元一次方程的解是一个互相关联的两个数值，它有无数个解．
3．共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组，它的解是两个方程的公共解，是一组确定的值．
六、课外作业
教材第106页习题5.1第1～5题．
教学反思
通过情境引入，让学生体会到了生活中的数学无处不在，激发了学生强烈的求知欲望，学生的反应非常积极踊跃，丰富了学生的情感与态度．充分利用小组合作交流，让学生自己找出方程中的等量关系，启发他们自己说出各个定义的理解．在学生合作做题的时候，教师进一步强调小组合作交流、合理分配时间会取得更好的效果．教学过程各环节紧紧相扣，整个教学过程逻辑思维清晰，问题与问题之间衔接紧密，每一步都为下一步做了很好的铺垫．
2 求解二元一次方程组
第1课时 代入消元法
教学目标
1．了解二元一次方程组的“消元”思想，体会学习数学中的“化未知为已知”、“化复杂为简单”的化归思想．
2．了解代入消元法的概念，掌握代入消元法的基本步骤．
3．会用代入消元法求二元一次方程组的解．
重点难点
重点
了解代入法的一般步骤，会用代入法解二元一次方程组．
难点
理解代入消元法解方程组的过程．
教学设计
一、情境导入
师：
我们首先来看一下第一节中的问题：
牛比马多驮了2个包裹，若马拿出1个包裹给牛，那么牛的包裹数量是马的包裹数量的2倍，它们各驮了多少包裹呢？
生：
根据题意，我们可以设牛驮了x个包裹，马驮了y个包裹，则可得方程组：
师：
那么怎么解这个方程组呢？
学生讨论回答．
生：
由x－y＝2，得y＝x－2.将y＝x－2代入x＋1＝2（y－1）中，得x＋1＝2（x－2－1），解这个一元一次方程得x＝7，把x＝7代入y＝x－2中，得y＝5.所以二元一次方程组的解为
所以牛驮了7个包裹，马驮了5个包裹．
师：
很好！
但是你们所求出的方程组的解正确吗？
让学生将求出的未知数的值代入原方程组，验证结果是否正确．
二、探究新知
课件出示教材第108页例1.
学生独立完成解方程组后，提出问题：
每一个二元一次方程的解都有无数个，而方程组的解是方程组中各个方程的公共解，前面的方程中我们找到了这个公共解，但如果数据不巧，就没那么容易．那么，有什么方法可以获得任意一个二元一次方程组的解呢？
教师根据学生的实际情况进行生与生、师与生之间的相互补充与评价，并提出下面的问题：
（1）给这种解方程组的方法取个什么名字好？
（2）上面解方程组的基本思路是什么？
（3）主要步骤有哪些？
（4）我们观察例题的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步．你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？
由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法，请学生小组的代表回答或学生举手回答，其余学生可以补充，力求让学生能够回答出以下的要点，教师要板书要点，在学生回答时注意进行积极评价．
（1）在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用含其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入另一个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”，达到消元的目的．我们将这种方法叫代入消元法．
（2）解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”．
（3）解上述方程组的步骤：
第一步：
在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来．
第二步：
把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得到一个一元一次方程．
第三步：
解这个一元一次方程，得到一个未知数的值．
第四步：
把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程（一般代入变形后的方程），求得另一个未知数的值．
第五步：
把方程组的解表示出来．
第六步：
检验（口算或笔算在草稿纸上进行），即把求得的解代入每一个方程看是否成立．
（4）用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程进行变形；若未知数的系数的绝对值都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形．
三、举例分析
课件出示教材第109页例2.
分析：
此题不同于例1,（即用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数），②式不能直接代入①，那么我们应当怎样处理才能转化为例1②式这样的形式呢？
（应先对②式进行恒等变化，把它化为例1中②式那样的形式．）
分小组合作完成上述例题，请两个小组的代表上黑板板演．
四、练习巩固
教材第109页“随堂练习”．
五、小结
师生相互交流总结解二元一次方程组的基本思路是“消元”，即把“二元”变为“一元”；解二元一次方程组的第一种解法——代入消元法，其主要步骤是：
将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程．解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出另一个未知数的值．即求得了方程组的解．
六、课外作业
教材第110页习题5.2第1～2题．
教学反思
二元一次方程组的解法是学习二元一次方程组的重要内容．教材通过上一小节的实际问题，比较一元一次方程的列法和解法，从而自然引入二元一次方程组的代入消
元解法．回顾一元一次方程的解法，借此探索二元一次方程组的解法，使得学生的探究有了很好的认知基础，探究显得十分自然流畅．在学生总结解题步骤的环节，一定要留给学生足够的观察、思考、总结、组织语言的时间，训练学生的观察、归纳能力，提高学生的学习能力．
第2课时 加减消元法
教学目标
1．体会加减消元法形成的思路．
2．了解加减消元法解二元一次方程组的一般步骤．
3．掌握用加减消元法解二元一次方程组．
重点难点
重点
了解加减消元法的一般步骤，会用加减消元法解二元一次方程组．
难点
辨别使用哪种方法解二元一次方程组更方便．
教学设计
一、情境导入
师：
怎样解下面的二元一次方程组呢？
学生在练习本上做，教师巡视、引导、解疑，注意发现学生在解答过程中出现的新的想法，可以让用不同方法解题的学生将他们的方法板演在黑板上，完后进行评析，并为加减消元法的出现作铺垫．
学生可能的解答方案1：
解：
把②变形得x＝
， ③
把③代入①，得3×
＋5y＝21，
解得y＝3.
把y＝3代入②，得x＝2.
所以方程组的解为
学生可能的解答方案2：
解：
由②变形得5y＝2x＋11， ③
把5y当做整体将③代入①，得：
3x＋（2x＋11）＝21，
解得x＝2.
把x＝2代入③，得y＝3.
所以方程组的解为
（此种解法体现了整体的思想．）
学生可能的解答方案3：
（观察发现：
两个方程中一个含有5y，而另一个是－5y，两者互为相反数．）
解：
两个方程相加，可以得到5x＝10，
解得x＝2.
把x＝2代入①，解得y＝3，
所以方程组的解为
引导学生发现方程①和②中的5y和－5y互为相反数，根据相反数的和为零（方案3）将方程①和②的左右两边相加，然后根据等式的基本性质消去了未知数y，得到了一个关于x的一元一次方程，从而实现了化“二元”为“一元”的目的．
这就是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法．
二、探究新知
师：
下面我们就用刚才的方法解下面的二元一次方程组．
1．课件出示教材第111页例3.
分析：
方程①、②中未知数x的系数相等，可以利用两个方程相减消去未知数x.
让学生独立解答完本题后，口算检验，让学生养成进行检验的习惯，同时教师需强调以下两点：
（1）注意解此题的易错点是②－①时是（2x＋3y）－（2x－5y）＝－1－7，方程左边去括号时注意符号．另外解题时，①－②或②－①都可以消去未知数x，不过在①－②得到的方程中，y的系数是负数，所以在上面的解法中选择②－①；
（2）把y＝－1代入①或②，最后结果是一样的，但我们通常的作法是将所求出的一个未知数的值代入系数较简单的方程中求出另一个未知数的值．
总结：
在方程组的两个方程中，若某个未知数的系数是相反数，则可直接把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；若某个未知数的系数相等，可直接把这两个方程的两边分别相减，消去这个未知数得到一个一元一次方程，从而求出它的解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法．
2．课件出示教材第111页例4.
分析：
其实在我们学习数学的过程中，二元一次方程组中未知数的系数不一定刚好是1或－1，或同一个未知数的系数刚好相同或相反．我们遇到的往往就是例题这样的方程组，我们要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的．
3．课件出示教材第111页“议一议”．
学生分组讨论、总结并指名回答．
（1）用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”．
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤是：
①变形——找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，然后分别在两个方程的两边乘以适当的数，使所找的未知数的系数相等或互为相反数；
②加减消元，得到一个一元一次方程．
③解一元一次方程；
④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知数的值，从而得方程组的解．
三、练习巩固
1．教材第112页“随堂练习”．
2．补充练习：
（1）二元一次方程组
的解是（ ）．
A.
B.
C.
D.
（2）
＋（2x＋3y－5）2＝0，求x，y的值．
（3）解方程组：
3x＋2y＝12x＋5y＝－3.
四、小结
1．关于二元一次方程组的两种解法：
代入消元法和加减消元法．比较这两种解法我们发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”．
2．用加减消元法解方程组的条件：
某一未知数的系数的绝对值相等．
3．用加减消元法解二元一次方程组的步骤：
①变形，使某个未知数的系数的绝对值相等；
②加减消元；
③解一元一次方程；
④求另一个未知数的值，得方程组的解．
五、课外作业
1．教材第113～114页习题5.3第1～4题．
2．阅读教材第112页“读一读”．
教学反思
本节课是让学生学习利用加减消元法解二元一次方程组，是提升学生求解二元一次方程组的基本技能课，在例题的设置上充分体现化归思想．
在学习二元一次方程组的解法中，关键是领会其本质思想——消元，体会“化未知为已知”的化归思想．因而在教学过程中教师通过对问题的创设，鼓励学生去观察方程的特点，在练习中提高学生的解题正确率和表达规范性，提升学生学好数学的信心，激发学习数学的兴趣.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼
教学目标
1．会用二元一次方程组解决实际问题．
2．在解决实际问题的过程中，能用方程组这样的数学模型刻画现实世界．
3．将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，进一步提高解方程组的技能．
重点难点
重点
让学生经历和体验方程组解决实际问题的过程．
难点
用方程（组）这样的数学模型刻画和解决实际问题．
教学设计
一、情境导入
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书，许多问题，浅显有趣．其中下卷第31题“雉兔同笼”流传尤为广泛，漂洋过海流传到了日本等国．
师：
“鸡兔同笼”是经典的数学问题，在小学阶段同学们曾探究过它的多种解法，这节课我们用本单元学习的方程组来解决此问题．（板书课题）
二、探究新知
课件出示：
今有雉（鸡）兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问雉兔各几何？
（1）“上有三十五头”的意思是什么？
“下有九十四足”呢？
（2）你能根据
（1）中的数量关系列出方程组吗？
（3）你能解决这个有趣的问题吗？
与同伴进行交流．
生：
“上有三十五头”是指鸡和兔共有35只，即“鸡的只数＋兔的只数＝35只”．“下有九十四足”是指鸡的腿和兔子的腿的和为94条，即“鸡的腿数＋兔子的腿数＝94”．
师：
很好！
那么根据
（1）中的数量关系你能列出方程组并解出这个方程组吗？
生：
根据
（1）中的数量关系，我们可以设鸡有x只，兔有y只，得方程组
解这个方程组，得
即笼中有鸡23只、兔12只．
三、举例分析
课件出示教材第115页例题．
师：
题目中的已知量和未知量分别是什么？
根据这些语句我们可以得出怎样的数量关系？
你能根据得到的数量关系列出方程组吗？
学生讨论，每小组派代表回答．
引导学生总结列方程组解应用题的一般步骤：
（1）认真读题和审题，弄清古代问题的现实意义；
（2）正确设出未知数；
（3）找出数量关系，并列出方程组；
（4）解此方程组；
（5）写出答案．
四、练习巩固
1．有2元、5元、10元的人民币共50张，合计305元，其中2元的张数和5元的张数相同，三种人民币各有多少张？
2．教材第116页“随堂练习”．
五、小结
1．通过前面几个题，你对列方程组解决实际问题的方法和步骤掌握得怎样？
2．这里面应该注意的是什么？
关键是什么？
3．通过今天的学习，你能不能解决求两个量的实际问题？
4．列二元一次方程组解决实际问题的主要步骤是什么？
六、课外作业
教材第116页习题5.4第1～4题．
教学反思
二元一次方程组是初二数学的重点，而“鸡兔同笼”是中国古代《孙子算经》中的一个有趣的问题，是用二元一次方程组解决实际问题的一个典型的例子．通过古代的“鸡兔同笼”问题，进行列二元一次方程组解决实际问题的训练，这样，一方面在列方程组的建模过程中，强化了方程的模型思想，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力．另一方面，将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，在实际问题的解决过程中，进一步提高学生解方程组的技能．
4 应用二元一次方程组——增收节支
教学目标
1．进一步掌握利用二元一次方程组解决实际问题的方法．
2．根据具体问题的数量关系，形成方程模型，培养利用方程的观点认识现实世界的意识和能力．
3．通过由具体实例的分析、思考与合作学习的过程，培养学生理论联系实际的辩证唯物主义思想以及善于分析问题、解决问题的良好习惯．
重点难点
重点
让学生熟练掌握利用二元一次方程解决实际问题的方法．
难点
根据具体情境分析未知量，正确列出二元一次方程组．
教学设计
一、情境导入
师：
同学们，你知道你的生活有哪些必要的开支吗？
师：
经济生活在我们生活中多么重要！
你想运用数学知识使你的生活更加合理优化、更加幸福惬意吗？
你能帮助解决下面的实际经济问题吗？
小明想买一个书包和随身听，在人民商场和家乐福都发现同款的书包单价相同，同款随身听的单价也相同，随声听和书包的单价之和是452元，且随身听的单价比书包单价的4倍少8元，人民商场所有商品打八折销售，家乐福全场购物满100元返物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），爸爸只给小明400元钱，如果他只在一家购买看中的这两样物品，你能帮助他选择在哪一家购买吗？
若两家都可以选择，在哪一家购买更省钱？
二、探究新知
填一填：
1．某工厂去年的总收入是x万元，今年的总收入比去年增加了20%，则今年的总收入是________万元；
2．若该厂去年的总支出为y万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出是________万元；
3．若该厂去年的利润为200万元，今年的利润为780万元，那么由1,2可得方程组____________________．
总结：
解增降率问题常用的关系式为a（1±x）＝b，a表示基数；x表示增降率；b表示目标数；增加时为加，下降时为减．
三、举例分析
课件出示教材第117页例题．
分析：
本题的数量关系为：
甲（乙）原料所含蛋白质（铁质）＝甲（乙）原料的质量×每克所含蛋白质（铁质）的含量．
甲原料所含蛋白质（铁质）＋乙原料所含蛋白质（铁质）＝营养品所含蛋白质（铁质）．
四、练习巩固
1．教材第118页“随堂练习”第2题．
2．课件出示题目：
通过对一份中学生营养快餐的检测，得到以下信息：
①快餐总质量为300g；
②快餐的成分：
蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质；
③蛋白质和脂肪的质量占50%；矿物质的质量是脂肪含量的2倍；蛋白质和碳水化合物的质量占85%.
分别求出营养快餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质的质量和所占百分比．
分析：
（1）师生共同找题目中的特征：
特征一：
信息量多（有3条信息）关系复杂（有多个量参与）．
特征二：
所求的量多（4个成分质量和所占的百分比）．
（2）找题中的等量关系：
a．蛋白质的质量＋脂肪的质量＝总质量×50%.
b．矿物质的质量＝2×脂肪的质量．
c．蛋白质的质量＋碳水化合物的质量＝总质量×85%.
d．碳水化合物的质量＋矿物质的质量＝总质量×50%.
……
解：
设一份营养快餐中含蛋白质xg，脂肪yg，则含矿物质为2yg，碳水化合物为（300×85%－x）g.由题意，得
①＋②，得3y＝45，解得y＝15.
将y＝15代入①，得x＝150－y＝150－15＝135（g）．
2y＝2×15＝30（g），
300×85%－x＝255－135＝120（g）．
营养快餐中蛋白质、碳水化合物、脂肪、矿物质的质量和所占百分比如下表：
蛋白质
脂肪
矿物质
碳水化合物
合计
各种成分
的质量（g）
135
15
30
120
300
各种成分所
占百分比（%）
45
5
10
40
100
归纳：
解信息量大、关系复杂的实际问题时，要仔细分析题意，找出等量关系，利用它们的数量关系适当地设元，然后列方程组解题．
五、小结
1．在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题．
2．这种处理问题的过程可以进一步概括为：
问题
方程（组）
检验
3．要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，应根据具体问题灵活选用．
六、课外作业
教材第119页习题5.5第1～4题．
教学反思
列方程解题的分析方法多种多样，本课着力于介绍分析问题的一种比较有效的方法——图表分析法．列表分析有助于学生明确各数量间的关系，将较复杂的数量关系转化得更加清晰简洁，帮助学生理清题中的未知量、已知量以及等量关系，并根据等量关系列方程，易于突破难点；在实际教学中，学生掌握了图表分析的方法后，降低了思维难度，有效提高了准确率．学生在学会运用列二元一次方程组解应用题的同时，学到了一种分析数据的方法，为以后的学习、生活做准备.5 应用二元一次方程组——里程碑上的数
教学目标
1．使学生学会用二元一次方程组解决数字问题和行程问题，归纳用方程（组）解决实际问题的一般步骤．
2．让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型．
3．在学习过程中让学生体验把复杂问题化为简单问题的策略，体验成功的乐趣，并鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神．
重点难点
重点
用二元一次方程组解决实际问题的步骤．
难点
在实际问题中找等量关系，列方程组．
教学设计
一、情境导入
小明爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，下图是小明每隔1h看到的里程情况．你能确定小明在12：
00时看到的里程碑上的数吗？
二、探究新知
1．课件出示教材第121页例题．
师：
本题的等量关系有哪些？
分析：
设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为_____
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