实变函数复习提纲.docx

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实变函数复习提纲

实 变 函 数 复 习 提 纲　　2006-7-14

第一章 集合

一、基本概念：

集合、并集、交集、差集、余集；可数集合、不可数集合；映射、一

一映射（对应）；集合的对等，基合的基数（势、浓度）．

二、基本理论：

1、集合的运算性质：

并、交差、余集的运算性质；德一摩根公式；

2、集合对等的性质；

3、可数集合的性质、基数：

 N = a 、 Q = a （ a ＞0）；

4、不可数数集合的基数：

 R = c （ c >a>0）．

三、基本题目

1、集合对等的判定、求基合的基数

例 证明 I =（－1，1）和 R =（－∞，+∞）是对等的，并求 I .

证：

作映射 ф：

φ （x）= tan π x ， x ∈（－1，1），其值域为 R =（－∞，+∞）、

2

因ϕ（x）= tan π x ，在（－1，1）是严格单调增的，∴ϕ ：

ϕ（x）= tan π x 是（－1，1）到

22

R 上的一一对应,即I= （-1,1）

ϕ （x） = tanx

2

由对等的定义知：

 I ～ R .

∵ I ～ R ∴ I = R ，又 R = c ，∴ I = c .

2 集合的运算，德。

摩根律的应用

3 可数数集合的判定

第二章 点集

一、基本概念：

距离、度量空间、 n 维欧氏空间；聚点、内点、界点,开核、导集、闭

包；开集、闭集、完备集；构成区间

二、基本理论

1、开集的运算性质 ；2、闭集的运算性质

3、直线上开集的构造；4、直线上闭集的构造

三、基本题目

1 求集合的开核、导集、闭包，判定开集、闭集

例 设 E 为[0，1]上的有理数点的全体组成的集

0

1）求 E ， E' ， E ；　　2）判定 E 是开集还是闭集，为什么？

_

解：

1）对于 ∀x ∈ E ， x 的任意邻域U （x） 内有无数个无理点,∴U （x） ⊂ E ，∴ x 不

1

是 E 的内点，由 x 的任意性，知 E 无内点,∴ E =φ.

0

对于 ∀x ∈ [0,1]， ∀U （x） 内都有无数多个有理点，即有无数多个 E 的点,∴ x 为 E 的聚

点.又在[0，1]外的任一点都不是 E 的聚点.

∴ E' = [0,1].

∵ E = E ⋃ E' = E ⋃ [0,1]= [0,1] ，

∴

E = [0,1].

因为 E =ϕ，而 E 是非空的，∴ E ≠ E, 　　∴E 不是开集.

因为 E' = [0,1]，而[0，1]中的无理点不在 E 内，即 E' ⊂ E ，∴由定义知，E 不是闭集.

1 勒贝格外测度的定义：

设 E 为 R  中任一点集，对于每一列覆盖 E 的开区间

2）E 不是开集，也不是闭集.

00

__

2 直线上开集、闭集的构造

第三章测度论

引入：

把区间的长度、平面图形的面积、空间立体图形的体积推广到点集的度量—测

度．

一、基本概念：

勒贝格外测度，L 测度，可测集，可测集类

n

∞∞

i=1

，所有这一切的 μ 组成一个下方有界的数集，它的下确量（由 E 完全确定）称为 E 的勒贝

格外测度，简称外测度或外测度，记为 m * E ，即：

⎧ ∞⎫

∞

E⊂UI i

i=1

n

n

m *T = m * （T ⋂ E） + m * （T ⋂ CE） 

（1）

则称 E 为 L 可测的，这时 E 的 L 外测度 m * E 就称为 E 的 L 测度，记为 mE ，条件

（1）

称为卡拉泰奥多里条件，也简称卡氏条件.L 可测集的全体记为 μ .

3 可测集类

1）零测度集类：

2）一切区间 I（开、闭、半开半闭）都是可测集合，且 mI = I

3）凡开集、闭集皆可测

4）凡博雷尔集都是可测的

二、基本理论

2

1 勒贝格外测度的性质

（1） m * E ≥0，当 E 为空集时 m * E =0（即 m *ϕ = 0 ）；（非负性）；

（2）设 A ⊂ B，则 m * A ≤ m * B ；（单调性）

∑ m * A

∞

（3） m * （UAi ） ≤

i=1

∞

i=1

i

；（次可数可加性）

6）可列可加性：

设 {Si }是一列互不相交的可测集，则U Si 也是可测的，且

m（USi ） = ∑ mSi

7）可列交的可测性：

设 {Si }是一列可测集合，则 ⋂ Si 也是可测集合；

2 勒贝格测度、可测集的性质及可测性

1）（定理 1）集合 E 可测←→对任意的 A ⊂ E，B ⊂ [CE，总有

m * （ A ⋃ B） = m * A + m * B

2）余集的可测性：

S 可测←→CS 可测

3）并集的可测性：

若 S1，S2 都可测，则 S1∪S2 也可测；

4）交集的可测性：

若 S1，S2 都可测，则 S1∩S2 也可测；

5）差集的可测性：

若 S1，S2 都可测，则 S1－S2 也可测；

∞

i=1

∞∞

i=1i=1

∞

i=1

S

8）递增的可测集列的极限的测度：

设 { i }是一列递增的可测集合：

s1 ⊂ s2 ⊂

… ⊂

s

n

…，

令 S=

∞

i=1 n→∞

n

n→∞

令 S = ⋂ Si = lim Sn ，则当它 mS1 ＜∞时， mS = lim mSn .

证：

只须证明卡氏条件成立，即对 ∀T ⊂ R  ，有

S

9）递减的可测集列的极限的测度：

设 { i }是一列递减的，可测集合：

S1 ⊃ S2 ⊃ … ⊃ Sn…

∞

i=1n→∞n→∞

三  基本题目

1、试述 L 外测度的定义.（答案见第三章§1 定义 1）

2、试给 L 测度的定义（答案见第三章§2 定义 1）

3、设点集 E ⊂ R n ， m * E = 0 ，证明 E 是可测集，并求 mE .

n

m *T = m * （T ⋂ E） + m * （T ⋂ CE）

∵ T = （T I E） U （T I CE）

∴ m *T ≤ m * （T ⋂ E） + m * （T ⋂ CE） （外测度的次可数可加性）①

3

另一方面：

∵ （T I E） ⊂ E ，∴ m * （T I E） ≤ m * E （单调性）

∵已知 m * E = 0 ， m * （T I E） ≥0，∴0≤ m * （T I E） ≤0，必有 m * （T I E） =0

又：

 T ⊃ （T I CE）

∴ m *T ≥ m * （T I CE） （单调性）

∴ m *T ≥ m * （T I CE） + m * （T I CE）

②

由①、②可知：

 m *T = m * （T I CE） + m * （T I CE） ，此即卡氏条件成立；

∴ E 是可测的， ∴ mE = m * E = 0 .

n

iiiin

i = 1,2,3,L , m,L

对于任意给定的 ε ＞0，不妨设 ε 1，作开区间

⎧εε⎫

⎩22⎭

I i = （

ε

i

）n ≤

ε

2i

 i = 1,2,3,L , n

因

∞

UI

i=1

i

∞

⊃ U ei = E ，由外测度的单调性及次可列可加性得：

i=1

i=1

∞ ∞ ∞

∞

i=1 2

1

1

2

又由 ε 的任意性及 m * E ≥0 得：

 m * E =0，得证.

注：

本题可当作定理.

5、设 Q 为有理数集合，求 m * Q ， mQ .

解：

∵Q 为一可数集合，∴ m * Q =0.

对于 ∀T ，∵ T = （T I Q） U （T I cQ）

∴ m *T ≤ m * （T I Q） + m * （T I cQ） （外测度的次可列可加性）①

另一方面，∵ （T I Q） ⊂ Q ，∴ m * （T I cQ） ≤ m * Q = 0 （单调性），

4

m * （T I Q） ≥ 0 ，∴ m * （T I Q） = 0 。

又∵ T ⊃ （T I cQ） ，∴ m *T ≥ m * （T I cQ） （单调性）

∴ m *T ≥ m * （T I Q） + m * （T I cQ）

②

3 连续函数的定义（用邻域定义）：

设 f （x） ， x ∈ E ⊂ R  ，对于 x0 ∈ E ，若：

由①、②知：

 m *T = m * （T I Q） + m * （T I cQ） 即卡氏条件成立，

∴ Q 为可测集，∴ mQ = m * Q = 0 .

第四章可测函数

一、基本概念：

可测函数.，重要的可测函数：

简单函数，连续函数；依测度收钦，

命题几乎处处成立

n

实数 a ，点集 E[f＞ a ]= { 都是可测集，则称 f （x） 为定义在 E 上的可

测函数.

2 简单函数定义：

设 f （x）, x ∈ E ，把 E 分为有限个互不相交的可测集

n

Ei （i = 1,2,3,L , n） ， E = U Ei ，使 f （x） = Ci （常数）， x ∈ Ei 时，则称 f （x） 为定义

i=1

在 E 上的简单函数.

例如在区间[0，1]上的狄利克雷函数便是一简单函数

n

1） y0 = f （x0 ） 有限；

2）对于 y0 的任一邻域V = V （ y0 ） 都存在 x0 的某邻域U = U （x0 ） ，使得

f （U I E） ⊂ V ；则称 f （x） 在 x0 点连续，若 f （x） 在 E 中每一点都连续，则称

f （x） 在 E 上连续.

4、命题几乎处处成立：

设命题 π 是一个与点集 E 有关的命题，若存在 E 的子集

M ⊂ E，mM=0，使 π 在 E\M 上恒成立，即 E\E[ π 成立]为零测度集，则称 π 在 E 上几乎处

处成立，简记为 π a ⋅ e.于 E 成立.

依测度收敛的定义：

设 {f n }是 E ⊂ R   上一列 a.e. 有限的可测函数列，若有 E 上

5

q

n→∞

a.e. 有限的可测函数 f （x） 满足下列关系：

对任意的 δ ＞0，有 lim mE[f n - f ≥ δ ]= 0 ,

则称函数列 {f n }依测度收敛于 f ，记为：

 f n （x） ⇒ f （x） .

5

注意：

依测度收敛与收敛的不同，两者不能彼此包含.

二、基本理论

1 可测函数的充要条件

定理 1、设 f （x） 是定义在可测集 E 上的实函数，下列任一条件都是 f （x） 在 E 上可测

的充要条件：

1）对任何有限实数 a ，E[ f ≥ a ]都可测；

2）对任何有限实数 a ，E[ f ＜ a ]都可测；

3）对任何有限实数 a ，E[ f ≤ a ]都可测；

4）对任何有限实数 a ，b（a＜b），E [a≤f＜b ]都可测（充分性要假定 f （x） 是有限函数）

2 可测函数的运算

1）设 f （x）, g（x） 都在 E 上可测，则下列函数（假定它们在 E 上有意义）都在 E 上可

测：

① f （x） + g（x） ；② f （x） ⋅ g（x） ；③

1

f （x）

，④ f （x） .

{n }，在 E 上 a.e. 收敛于 f .

2）可测函数列的确界函数仍可测，设 {f n （x）}是在 E 上可测函数列，则下确界函数

μ（x） = inf {f n （x）}和上确界函数 λ（x） = sup{f n （x）}都在 E 上可测

n

3）可测函数列的上、下极限函数以及极限函数都是可测函数.

3、可测函数与简单函数的关系

任何一个可测函数都可表示成一简单函数列的极限函数.

4、连续函数与可测函数的关系

（定理 2）连续函数一定是可测函数，但反之，不真.

5 叶果洛夫定理（见书 P87）

定理告诉我们：

满足定理假设的 a.e.收敛的可测函数列，即使不一致收敛，也是“基

本上”一致收敛的.

6 可测函数的构造

定理 1（鲁津）（见书 P88）定理说明：

一般的可测函数是“基本上连续”的函数.

7、依测度收敛与收敛的关系.

定理 1（黎斯）设在 E 上 {f n }测度收敛于 f ，则存在子列 f

i

三 基本题目

1、证明：

 f （x） 在 E 上为可测函数的充要条件是对任一有理数 r，集 E[f ＞r]是可测的.

6

证:

 必要性：

∵ f （x） 在 E 上可测,由定义对任意有限实数 a, 点集 E[f ＞a]是可测的，

特别地当 a 为任一有理数 r 时，E[f ＞r]也可测.

充分性：

已知对任一有理数 r 可测，下面只须证明对任一无理数 a ，点集 E[f＞ a ]

可测.

r

取一递增的有理数列 {n }：

 rn < a, n = 1,2,3,L , 且 lim rn = a ，

n→∞

∞

n=1

rn] ，已知

E[f＜ rn]可测， n = 1,2,3,L

∞

n

可测

（可测个可测集的交集仍可测）,

即 E[f ≥ a]可测, 由可测函数的等价条件知点集 E[f ＞

a ] 也可测.

所以，对任意有限实数 a ，点集 E[f > a]都可测，由定义知 f （x） 在 E 上可测.充分

性成立.

综合两方面的证明知，命题得证.

2、试述可测函数的定义，答案见§1 定义 1.

第五章 积分论

引入：

为克服 R-积分的不足，引入 L-积分.

一、基本概念：

黎曼积分（R 积分），勒贝格积分（L 积分），函数的下方图形.

1 黎曼积分的（确界式）定义

黎曼积分、简记为 R 积分，即数学分析中的定积分.回顾 R 积分的确界式定义见书

P100 定义 1.

2 勒贝格积分的定义

（1）设

f （x） 是 E 上的有界函数，mE＜∞

1）对 E 的任一可测分化 D = {Ei }， Ei （i = 1,2,3,L , n） 为互不相交的可测集

bi inf  f （x）

2）令 Bi = sup f （x）

x∈Ei

作乘积 Bi mEi

x∈Ei

bi mEi

∑ B mE

求和：

n

i=1

i

i

= S （D, f ） ——大和

∑ b mE

n

i=1

i

i

= s（D, f ） ——小和

3）求 L 上、下积分

D

7

⎰ E f （x）dx = sup S （D, f ） ——L 下积分

D

4）若 ⎰ E f （x）dx =

⎰

E

f （x）dx ，则称 f （x） 在 E 上 L 可积，且称此共同值为 f （x） 在

E 上的 L 积分，记为：

 ⎰ E f （x）dx .

2） 一般可积函数的勒贝格积分的定义

把 L 积分从 mE 有限,f（x）在 E 上有界,推广到 mE 没有限制, f（x）在 E 上是否有界不要求

的情形,推广步骤分为:

第一步非负函数情形  见书 P115

第二步一般函数（不限于非负）的情形 见书 P116

推广后的 L 积分的性质见书 P117

3 函数的下方图形

二、基本理论

1 L 可积的充要条件

1）设 f （x） 在可测集 E（mE < ∞） 上有界， f （x） 在 E 上 L 可积 ⇔ 对 ∀ε > 0 ，存在

∑ωmE

E 的可测分划 D，使 S （D, f ） - S （D, f ） =

n

i=1

i

i

< ε ，这里 ωi = Bi - bi .

2）设 f（x）在可测集 E（mE＜∞）上有界,则 f（x）在 E 上 L 可积 ↔ f（x）在 E 上可测.

2 L 积分的运算性质

设 f（x）、 g（x）可测集 E（mE＜∞）上有界且 L 可积,则 f（x） ± g（x） 、 f（x） ∙ g（x） 、 f（x） /g（x）

（但 inf g（x） > 0 ）及 f （x） 在 E 上都是可积的.

x∈E

3 L 积分与 R 积分的关系

设 f（x）在[a,b]上 R 可积,则 f（x）在[a,b]上 L 可积,且有相同的积分值, 即

b

a

f （x）dx =

⎰ a,b]

f （x）dx

4 L 积分的性质

（1） 若 f（x）在 E 上 L 可积,则 f（x） 在 E 的任何子集上也可积

（2）对积分区域的可加性:

若 f（x）在 E=A ⋃ B 上有定义,A ⋂ B= Φ ,且在 A,B 上分

别可积,则

⎰E

（3） 线性运算性质

f （x）dx = ⎰A f （x）dx + ⎰B f （x）dx

⎰E

g（x）dx

1）  设 f（x）  、  g（x）  在 E 上 L 可积,则

⎰E [ f （x） + g（x）]dx = ⎰E

f （x）dx +

8

2） 设 f（x）在 E 上 L 可积,C 为常数,则

⎰E Cf （x）dx =C ⎰E

f （x）dx

（4） 不等式性质:

 设 f（x） g（x） 在 E 上 L 可积,且 f（x） ≤g（x）,则

⎰E

f （x）dx ≤ ⎰E g（x）dx

特别地 当 b≤f（x）≤B 是有 bmE ≤

⎰E

f （x）dx ≤BmE

（5）绝对值可积性:

 设 f（x）在 E 上 L 可积,则 f （x） 在 E 上 L 可积,且

⎰EE f （x）dx

（6） 设 f（x）在 E 上 L 可积,f（x）≥0,且

⎰E

f （x）dx =0,则 f（x）=0, a . e．与 E;

（7） 绝对连续性:

 设 f（x）在 E 上 L 可积,则对于任何可测集 A ⊂ E,有

⎰

lim

mA→0 A

f （x）dx =0

5 积分的极限定理

1 ） 勒贝格控制收敛定理（定理 1）设

f }

（1） { n 是可测集 E 上的可测函数列;

（2）

（3）

f

f

n

n

（x） ≤F（x） a e 与 E,n=1,2……,且 F（x） 在 E 上可积分

（x） ⇒ f（x）

则 f（x） 在 E 上可积分,且 lim

n→∞ E

n

（x）dx = ⎰E f （x）dx = ⎰E lim

f

n

（x）dx 即极限运

算与积分的运算可交换顺序

2） 列维定理 （定理 2） 见书 P126

3） L 逐项积分:

E

∞

n

∞

E

f

n

（x）

4）L 积分的可数可加性 设 f（x） 在 E 上积分确定,E=

∞

U Ei , Ei 为互不相交的可测集,

i=1

f （x）dx = ∑ ⎰

则

⎰E

∞

i=1 Ei

f （x）dx

5） 法都引理 见书 P128

6 勒贝格积分的几何意义

设 f（x）为可测集 E ⊂

R

n

上的非负可测函数,则

⎰E

f （x）dx =mG（E,f）,其中 G（E,f）为 f（x）

在 E 上的下方图形.

三 基本题目

9

1, 设 f（x）在可测集 E（mE＜∞）上有界,试给出 f（x） 在 E 上 L 积分的定义

答案见§2定义 1

⎰

2 设 D（x）= 1 x为有理数

0 x为无理数

x∈[0,1]， 1）证明 D（x）在[0,1]上 L 可积，

2）求

[

⎰ 0,1]

D（x）dx

1） 证∵D（x）为[0,1]上简单函数∴D（x）在[0,1]上可测

又 D（x） ≤ 1

即 D（x）在[0,1]上有界  而[0,1]为可测集

∴D（x）在[0,1]上 L 可积

2） 解:

 ∵ D（x）在[0,1]上 L 可积

令 E 为[0,1]上的有理数集合，则[0,1]\E 为[0,1]上的无理数集合,有 L 积分

的性质得

⎰ 0,1]

D（x）dx = ⎰E D（x）dx + ⎰ 0,1]\E

D（x）dx

∵ E 为[0,1]上的有理数 m 全体组成的集合,它是全体有理数集合 Q 的子集

合 又 mQ=0

∴ mE=0

有差集的可测性知:

m（[0,1]\E）=m[0,1]－mE=1－0=1

∴

⎰ 0,1]

D（x）dx = ⎰E D（x）dx + ⎰ 0,1]\E

D（x）dx = ⎰1dx + ⎰ 01dx

=1 ∙ mE+0=1 ∙ 0+0=0+0=0

3 试述非负有界函数的勒贝格积分的几何意义.

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