动力学I第一章习题解答.docx
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动力学I第一章习题解答
《动力学I》第一章运动学部分习题参考解答
1-3解:
运动方程:
y=ltanθ,其中θ=kt。
将运动方程对时间求导并将θ=300
代入得
v=y=lθlk4lkcos2θ=cos2
θ
=3a=y-2lk2sinθ83lk2
=cos3
θ
=9
1-6
证明:
质点做曲线运动,所以a=at+an,设质点的速度为v,由图可知:
cosθ=
vyanv
=
,所以:
a=anvavy
将vv
2
y=c,an=
ρ
=v3
代入上式可得acρ
证毕1-7
2
证明:
因为ρ=v
a,aasinθ=a⨯vn=n
v所以:
ρ=v
3
a⨯v
证毕
x
o
ao
x
1-10
解:
设初始时,绳索AB的长度为L,时刻t时的长度为s,则有关系式:
s=L-v0t,并且s=l+x
将上面两式对时间求导得:
222
vo
FFN
=2xx=-v0,2sss
vo
sv
=-0(a)由此解得:
x
x
=-v0s,将该式对时间求导得:
(a)式可写成:
xx
x+x2=-sv0=v0(b)x
222
2v0-xv0l
=x=-3(负号说明滑块A的加速度向上)将(a)式代入(b)式可得:
ax=
xx
取套筒A为研究对象,受力如图所示,根据质点矢量形式的运动微分方程有:
ma=F+FN+mg
将该式在x,y轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程:
=mg-Fcosθmx
=-Fsinθ+FNmy
其中:
cosθ=
xx+l
sinθ=
lx2+l2
22
v0l=-3,=0xy
x
22v0ll2
将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得:
F=m(g+3)+()
xx
1-11
解:
设B点是绳子AB与圆盘的切点,由于绳子相对圆盘无滑动,所以vB=ωR,由于绳子始终处于拉直状态,因此绳子上A、B两点的速度在A、B两点连线上的投影相等,即:
vB=vAcosθ(a)因为
cosθ=
x2-R2
(b)x
xx-R
2
2
将上式代入(a)式得到A点速度的大小为:
vA=ωR
(c)
,x2-R2=ωRx,将该式两边平方可得:
由于vA=-x(c)式可写成:
-x
2(x2-R2)=ω2R2x2x
将上式两边对时间求导可得:
(x2-R2)-2xx3=2ω2R2xx2xx
后,可求得:
将上式消去2x
=-x
ω2R4x
(x2-R2)2
(d)
由上式可知滑块A的加速度方向向左,其大小为aA=取套筒A为研究对象,受力如图所示,
根据质点矢量形式的运动微分方程有:
ω2R4x
(x-R)
2
22
ma=F+FN+mg
将该式在x,y轴上投影可得直角坐标形式的运动微分方程:
=-Fcosθmx
=Fsinθ+FN-mgmy
其中:
R
sinθ=,cosθ=
x
x2-R2ω2R4x
=-2=0,x,y
x(x-R2)2
将其代入直角坐标形式的运动微分方程可得
F=
mω2R4x2(x-R)
2
2
5,
FN=mg-
mω2R5x(x-R)
2
2
5
1-13
解:
动点:
套筒A;
动系:
OA杆;
定系:
机座;vvae运动分析:
v
绝对运动:
直线运动;r相对运动:
直线运动;牵连运动:
定轴转动。
根据速度合成定理
va=ve+vr
有:
vacosϕ=ve,因为AB杆平动,所以va=v,由此可得vcosϕ=v杆的角速度为ω=velvcos2ϕ
e,OCOA,OA=cosϕ,所以ω=l
当ϕ=450时,OC杆上C点速度的大小为vavcos2450av
C=ωa=l=2l
1-15
解:
动点:
销子Mvvr1e1
动系1:
圆盘动系2:
OA杆ve2动系:
机座;vr2运动分析:
绝对运动:
曲线运动
相对运动:
直线运动
牵连运动:
定轴转动
根据速度合成定理有x
va1=ve1+vr1,va2=ve2+vr2
由于动点M的绝对速度与动系的选取无关,即va2=va1,由上两式可得:
ve1+vr1=ve2+vr2(a)
将(a)式在向在x轴投影,可得:
-ve1sin300=-ve2sin300+vr2cos300
由此解得:
0v0bsin300
vr2=tan30(e2-ve1)=OMtan30(ω2-ω1)=cos2300(3-9)=-0.4m/s4
ve2=OMω2=0.2
vv2
M=a2=ve2+v2
r2=0.529m/s
1-17
解:
动点:
圆盘上的C点;
动系:
OA杆;
定系:
机座;
运动分析:
绝对运动:
圆周运动;相对运动:
直线运动(平行于O1A杆);牵连运动:
定轴转动。
根据速度合成定理有va=ve+vr(a)
将(a)式在垂直于O1A杆的轴上投影以及在O1C轴上投影得:
vacos300=vecos300,vasin300=vesin300ve=va=Rω,va=vr=Rω,ωveRω
1=O=2R=0.5ω
1A
根据加速度合成定理有
atn
a=ae+ae+ar+aC(b)
将(b)式在垂直于O1A杆的轴上投影得-a0t0n
asin30=aecos30+aesin300-aC其中:
a2n2aC
a=Rω,ae=2Rω1,aC=2ω1vr由上式解得:
atα2
1=e
2R=12ω
1-19
解:
由于ABM弯杆平移,所以有
vA=vM,.aA=aM
取:
动点:
套筒M;
动系:
OC摇杆;
定系:
机座;
运动分析:
绝对运动:
圆周运动;vr相对运动:
直线运动;ve牵连运动:
定轴转动。
va5
根据速度合成定理
va=ve+vr
可求得:
vM=vA=va=
2ve=2bω=22m/s,vr=ve=bω=2m/s,
ωvA2ate
1=
OA=21.5=43
3
rad/s1
n
根据加速度合成定理
aeat+an=at+ane
e
+an
aa
r+aC
aa
将上式沿aaaC方向投影可得:
r
C
atantt
a
acos450-asin450=-ae+aC
由于an
a=ω21l=8m/s2,ate=αb=1m/s2,aC=2ωv2r=8m/s,根据上式可得:
at
ata22a
=7+42
cos45
,α(7+42)1=l=3≈12rad/s2
1-20
解:
取小环为动点,OAB杆为动系运动分析
B
绝对运动:
直线运动;相对运动:
直线运动;
牵连运动:
定轴转动。
由运动分析可知点的绝对速度、相对速度和牵连速度的方向如图所示,其中:
vrω
e=OMω=
cos60
=2rω根据速度合成定理:
va=ve+vr
可以得到:
vrωsin600a=tanθve=cos260
=2rω,vr=ve
cos600=4rω加速度如图所示,其中:
2
aBe=OMω2=
rω
cos60
=2rω2,O
a2
C=2ωvr=8rω
根据加速度合成定理:
aa=ae+ar+aC
将上式在x'轴上投影,可得:
aacosθ=-aecosθ+aC由此求得:
aa=14rω2
1-21
解:
求汽车B相对汽车A的速度是指以汽车A为参考系观察汽车B的速度。
取:
动点:
汽车B;
动系:
汽车A(Ox’y’);定系:
路面。
运动分析
绝对运动:
圆周运动;相对运动:
圆周运动;
牵连运动:
定轴转动(汽车A绕O做定轴转动)求相对速度,根据速度合成定理
y’
va
vr
eω
O
x’
va=ve+vr
将上式沿绝对速度方向投影可得:
va=-ve+vr
y’
因此vr=ve+va
v
其中:
va=vB,ve=ωRB,ω=A,
RA
由此可得:
vr=
arn
RB380vA+vB=m/sRA9
ω
x’
求相对加速度,由于相对运动为圆周运动,
相对速度的大小为常值,因此有:
vr2
ar=a==1.78m/s2
RB
nr
1-23质量为m销钉M由水平槽带动,使其在半径为r的固定圆槽内运动。
设水平槽以匀速v向上运动,不计摩擦。
求图示瞬时,圆槽作用在销钉M上的约束力。
v
v
解:
销钉M上作用有水平槽的约束力F和圆槽的约束力FO(如图所示)。
由于销钉M的运动是给定的,所以先求销钉的加速度,在利用质点运动微分方程求约束力。
取销钉为动点,水平槽为动系。
由运动分析可知销钉的速度图如图所示。
根据速度合成定理有va=ve+vr
由此可求出:
va=
vev=。
再根据加速度合成定理有:
aa=ae+arcosθcosθ
由于绝对运动是圆周运动,牵连运动是匀速直线平移,所以ae=0,并且上式可写成:
tnaa+aa=ar
va2v2v2sinθtn=因为a=,所以根据上式可求出aa=aatanθ=。
23rrcosθrcosθn
a
根据矢量形式的质点运动微分方程有:
tnm(aa+aa)=F+FO+mg
tn将该式分别在x轴上投影:
m(aasinθ+aacosθ)=FOcosθ
mv2
(tan2θ+1)由此求出:
FO=2rcosθ
1-24图示所示吊车下挂一重物M,绳索长为l,初始时吊车与重物静止。
若吊车从静止以均加速度a沿水平滑道平移。
试求重物M相对吊车的速度与摆角θ的关系式。
解:
由于要求重物相对吊车的速度,所以取吊车为动系,重物M为动点。
根据质点相对运动
微分方程有
mar=F+mg+Fe
将上式在切向量方向投影有
=-mgsinθ+Fcosθmat=mlθe
dθdθdθdθ==θ因为Fe=mae=ma,θ=,所以上式可写成dtdθdtdθ
dθmlθ=-mgsinθ+macosθdθ
整理上式可得
dθ=-gsinθdθ+acosθdθlθ
将上式积分:
l2θ=gcosθ+asinθ+c2
,上式可写成其中c为积分常数(由初始条件确定),因为相对速度vr=lθ
vr2=gcosθ+asinθ+c2l
初始时θ=0,系统静止,va=ve=0,根据速度合成定理可知vr=0,由此确定c=-g。
重物相对速度与摆角的关系式为:
vr2=2l[g(cosθ-1)+asinθ]
1-26水平板以匀角速度ω绕铅垂轴O转动,小球M可在板内一光滑槽中运动(如图7-8),初始时小球相对静止且到转轴O的距离为RO,求小球到转轴的距离为R>RO时的相对速度。
eC
解:
取小球为动点,板为动系,小球在水平面的受力如图所示(铅垂方向的力未画出)。
根据质点相对运动微分方程有:
vr
mar=∑F+Fe+FC
将上式在vr上投影有mar=m
因为Fe=mRω2,tdvr=FecosθdtdvrdvrdRdR==vrcosθ,所以上式可写成,dtdRdtdt
dvmvrcosθr=mRω2cosθdR
dv121222整理该式可得vrr=Rω,将该式积分有vr=ωR+cdR22
122初始时R=RO,vr=0,由此确定积分常数c=-ωRO,因此得到相对速度为2
2vr=ωR2-RO
1-27重为P的小环M套在弯成xy=c2形状的金属丝上,该金属丝绕铅垂轴x以匀角速度ω转动,如图所示。
试求小环M的相对平衡位置以及金属丝作用在小环上的约束力。
Fyy
x
解:
取小环为动点,金属丝为动系,根据题意,相对平衡位置为ar=0,因为金属丝为曲线,所以vr=0,因此在本题中相对平衡位置就是相对静止位置。
小环受力如图所示。
其中F,Fe,P分别为约束力、牵连惯性力和小环的重力。
根据质点相对运动微分方程有:
F+Fe+P=0其中:
Fe=Pyω2,将上式分别在x,y轴上投影有g
P-Fsinθ=0
Fe-Fcosθ=0(a)dyc2c2dy=-2,因此以为tanθ=-,y=,dxxxdx
c2
tanθ=2(b)x
由(a)式可得
tanθ=P(c)Fe
将FP
e=gyω2代入(c),联立求解(b)、(c)并利用xy=c2,可得:
42
x=⎛⎫323
cω⎪⎛
⎝g⎪⎭,y=cg⎫
⎝ω2⎪⎪⎭
再由方程(a)中的第一式可得
4
4442
F=P=Px+cx⎛cω⎫⎪3
sinθc4=P+c4=P1+⎝g⎪
⎭