完整版复数题型归纳史上最全.docx
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完整版复数题型归纳史上最全
北师大版数学选修2-2第五章数系的扩充与复数的引入
自我总结卷
、选择题:
考试题
3
a・4b.
【答案】A
1、若（x21）（x23x2）i是纯虚数，则实数x的值是
A1B1C1D以上都不对
1.
已知复数
Z1m2i,Z23
4i,若为实数,
Z2
则实数
m的值为（）
【答案】D
A2
B.2
c、
3
2
D.色
2
2.
i表示虚数单位，则ii
2i3i2008的值是（
）
答案
A
A.0
B.1
C.i
D
.i
2、
已知Z
则1z50
z100的值为（A
）
A、i
B、1
C、2i
D、
3
2
、复数（2
（1
2i）4等于（
'Si）5等于（
）
答案:
B
A
.1
■3iB
•
1
3iC.1,'3iD
.1.3i
2、
复数（1
i）10的值是
i
（
）
【答案】A
A
.-1
B.
1
C.32D.-
-32
2、
已知x
-1,则
1996
x
1
1996的值为（）
【答案】A
x
x
A
1
B1
C
iDi
2、
f（n）i
nn-
i,（n
N
）的值域中，元素的个数是（
B）
A
、2
B
、
3
C、4D、
无数个
3、在复平面内，若复数满足|z1||zi|，则所对应的点的集合构成的图形
直线yx
3、|z34i|2，则|z|的最大值为（B）
A3B7C9D5
=2,则点Z在以（0,1）和（0，-1）为端点的线段上,
3.若zC且|z|1,则|z22i|的最小值是（C）
解析|z+i|+1z-i|
|z+1+i|表示点Z到（一1，-1）的距离.由图知最小值为1.
答案
应的点（x,y）的轨迹是（）.
A.圆B•椭圆C•双曲线D.抛物线
1
解析tz=x+yi（x,y€R,x>@），满足Iz—1|=x，二（x-1）2+y=x，故寸=2x-1.答案D
3、已知方程|z2||z2|a表示等轴双曲线，则实数a的值为（A）
A、2.2B、厶2C、D、.2
4•已知复数z1i，则Z在复平面内对应的点在第几象限（）【答案】C
A.—
B.
二C.三
D.四
4.在复平面内，复数
2
1
i对应的点位于（）
i
【答案】D
A.第一象限
B.
第二象限
C.第三象限
D.
第四象限
4.在复平面内，复数
i
1
-（1-、3i）2对应的点位于（
i
）【答案】B
A.第一象限
B.
第二象限C•第三象限
D.第四象限
4.已知i为虚数单位，则丄所对应的点位于复平面内点（）【答案】A
1i
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
5、（mi）3
R，贝U实数m的值为（B
）
A、
2.3B
、
C、
.3
D
、
J
3
2
5、若xC
，则方程|x|
1
3ix的解是（C
）
A、丄
—iB、
X1
4必1
C、
4
3i
D
1■■3.
、i
2
2
22
5、复数z
1cosisin,（
2
）的模是（
:
B
）
A2cos
-B
2cos
-C
2sin—
D
2tan—
2
2
2
2
6.2i
12i
空丄的值是（
12i
:
）
【答案】C
A.i
B.
2i
C.0
D.
4
5
6.复数z
1-的虚部是（
）
【答案】B
A.2
B.
2
C
.2i
D.2i
2
（2L等于（）i
D
A.-1
B.
1
3
C.1
3
D.3
6.已知复数乙
3
bi,;
512i,若勺
是实数，则实数
b的值为（）【答案】A
Z2
A.6
B.
-6
C.0
D.
1
6
7.对于两个复数
1
2
一3.1
i,
22
中，有下列四个结论：
①1；②—1；
③1:
④
3
3
1，其中正确的结论的个数为（
）
【答案】B
A.1
B.
2C
.3
D.4
其中真命题为
+2i的复数z等于
3+2i—1—2i_1
—1+2i—1—2i_5
答案1-8i
55
、填空题:
1•若复数z2t3t2（t24）i（tR）为纯虚数，则t的值为
【答案】-
2
2•已知i为虚数单位，复数zL，则|z|二.【答案】』
1i2
3•若i为虚数单位，则复数，丄=.【答案】12i
1i
4.已知-m1ni，其中m,n是实数，i是虚数单位，则mni【答案】2i
1i
5.若（a2i）ibi，其中a,bR，i是虚数单位，复数abi
【答案】12i
a3i
6.若复数（aR，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为
12i
【答案】6
7、设1—i，贝U集合A={x|xkk（kZ）}中元素的个数是2_。
22—
8、已知复数z12i,z2
13i，则复数
iz2=i
N5
10
6
L
9、计算：
1—i
1i
答案：
1.32.
i
22
2
22
、解答题：
【复数的分类问题】
1、实数m取什么值时，
复数zm（m
1）（m1）i是
（I）实数（U）纯虚数
（川）虚数【答案】
（1）m=1（2
）m=0
2、已知复数z（2m2
3m2）（mm2）i，（mR）根据下列条件，求
:
m值
（I）z是实数；（
n）z是虚数；
（IH）z是纯虚数；
（眄
z0.
【答案】
（1）当m+m-2=0，即m—2或m=1时，z为实数；
（2）当m+m-2工0，即卩m^—2且m^1时，z为虚数;
即m=1时，z为纯虚数;
2
m=1或m=2,
2，即m=-2时，z=0.
2或m1
3、m取何值时，复数z
m2m6
m3
（m2
2m15）i
（i）是实数;
4、设复数zlg
耐一】阳一15二0
w=-J
』=4>1
叨+3工0
L.
二当唧二彌\忑是实数
n）是纯虚数.
（
【答案】⑴
2m15
0
2m
2时，z是纯虚数
m22m2m23m2i，当m取何实数时?
（I）z是纯虚数；
（n）z对应的点位于复平面的第二象限。
解得，m3
lgm22m）由,
m
z对应的点位于复平面的第二象限。
【求复数类型】
1、设复数z满足z
线yx上，求z.
10,
2i
z（i是虚数单位）在复平面上对应的点在直
【答案】设zxyi
（x、y
y210
而（12i）z（1
2i）（x
yi）
（x
2y）（2xy）i
二x2y2xy
又•••12iz在复平面上对应的点在直线yx上,
2、
3、
4、
★★5、
求虚数z，
解：
设za
又由
2
y
3y
9z—zbi（a,b
9
z—
z
9b
a2
10
3得:
33
io
2
z（3i）
3.
bi
0），
9
abi
（a
9a
a2I
（b
a2
9b、.
F，
2
b0,故a
（a3）2b2
把复数z的共轭复数记作z，
解：
设zabi（a,bR），则z
化简得：
（a2b）（2ab）i
i，
3
5
所以z
z2；2i
设a,b为共轭复数，且
解：
设ax
4x23（x
x
解得
y
（a
yi,b
2
y）i
b2
3②,
9①;
由①②得
3
2
2，即
33
33
i
2
已知（1
2i）z
43i,
b）2
3abi
由已知得（1
所以a2b
412i，
2i）（abi）43i
4,2ab3,
求a,b的值
解得a
【教师用书】
yi,（x,yR）。
带入原方程得
12i，由复数相等的条件得"I
3（x2
4,
y2）12.
1-或
3
.对应四组解略。
已知乙为复数，（13i）
z为纯虚数,
求复数
（教师用书章末小结题）
解法1：
设z
xyi,（x,y
R），则
（13i）z=（x3y）（3xy）i为纯虚数，所以
x3y
0,因为|
y2510;又x3y。
解得x
15,y5;x
15,y
5所以
155i
（7i）。
（还可以直接
计算）
解法2：
设=x+yi（x,y€R）,
z
2
7z2i（xyi）2
i
依题意得（1+3i）（2+i）=
=（-1+7i）
为实数，且||=5-/2,
7xy
0
••22
xy
50’
“rx
1亠
x
1
解之得
或
y
7
y
7
•=1+7i
或=
-1
—7i。
解法3：
（提示：
设复数Z,直接按照已知计算，先纯虚数得a3b,再模长得竺卫）
5
6已知复数满足|z4||z4i|,且z14Z为实数，求。
z1
解：
zxyi,（x,yR），因为|z4||z4i|,带入得xy，所以zxxi,xR
7、求同时满足下列两个条件的所有复数;
（2）的实部与虚部都是整数
1010
（1）zR，且1z6zz
解：
设zxyi,（x,yR）
则z10
z
xyi
10
x
yi
10（x
yi）
x（1
10
10
）y（122）i
xy
x
yi
2x
2
y
22
xy
因为
10
R,
所以
y（1
10、
0。
所以y
0或x2
y210。
z
2
2）
z
x
y
当y
0时，z
x
，又1
z
10
6,
所以
xR,
而z
102106，所
z
z
以在实数范围内无解。
2210zz—1
当xy10时，则zzzz2x。
由12x6x3
zz2
因为x,y为正整数，所以x的值为1，或2，或3。
当x1时,y3;当x2时，y..6（舍）；当x3时,y1。
则z13i或,z3i。
【根的问题】
【向量计算】
D点的坐标为
行四边形ABCD,求此平行四边形的对角线BD的长。
解：
由题知平行四边形三顶点坐标为A（0,1）,B（1,0）,C（4,2）
X得x3,
1.y3
uuuuur
D（x,y）。
因为BACD，得（1,1）（x4,y2），得
uuu,—
即D（3,3）所以BD（2,3）,则|BD|.13。
2、（本小题满分12分）在复平面上，正方形分别为12i，35i。
求另外两个顶点C,解：
设D（x,y）
uuur
ADxyi（12i）x1（y
ABCD勺两个顶点
D对应的复数。
A，
B对应的复数
2）i（x1,y2）
UUUTUUU
ADAB（x1）27（y2）0
uuur
AD
AB
J（x
1）2（y
2）2V53
x
6.
x
8
或
Zd
6或Zd84i
y
0
y
4
由zBBC
zunr厶AD
Zc
Zb
ZdZa
ZcZdZaZ
ZD
6
或
Zd
8
4i
zc
4
7i
z
10
3i
UUUUUITUUU
3、在复平面内，O是原点，OA,OC,AB表示的复数分别为2i,32i,15i,
UUIU
那么BC表示的复数为4-4L
正方形的第四个顶点对应的复数为（
）.
C彳
A.3+i
B.3—i
/n
/V
C.1—3i
D.—1+3i
/
fTf
解析OC=O刖OB=1+2i—2+i=
—1+3i，所以C对应的复数为一
1+3i.
0*
答案D
4.如图在复平面上，一个正方形的三个顶点对应的复数分别是
2i,0，那么这个
12i，
【杂乱】
1、计算［（1
i1012i
2、已知复数
（4
m2）i，（m
R），z22cos（3sin
）i，（,R）
，并且z
Z2，求
的取值范围
解：
由z-1
Z2得4
m2cos
2m
3sin
，消去m可得:
4sin2
329
3sin4（sin8）16，由于1sin1
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