9A文苏教版六年级数学小升初知识点整理.docx
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9A文苏教版六年级数学小升初知识点整理
知识整理
第一单元、数与代数
一、数的认识
1、数的意义
（1）自然数：
0、1、2、3、4……都是自然数。
可以表示物体的个数或次数。
自然数的个数是无限的，最小的自然数是0，没有最大的自然数。
（2）0：
一个物体也没有，用0表示。
0是最小的自然数。
0还有其他多种用法，在写数记数中，可以用0来占位；在测量活动中，用0表示起点；在相反意义量的记录中，用0作分界点。
（3）负数：
比0小的数是负数，比0大的数是正数。
0既不是正数，也不是负数。
（4）小数：
分母是10、100、1000……的十进分数可以写成小数。
（5）分数：
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
两个数相除的商可以用分数表示。
把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份的数叫做分数单位。
（6）百分数：
表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数。
百分数又叫做百分比或百分率。
百分数是一种特殊的分数。
二、数的联系
1、整数与小数：
整数和小数在计数方法上是一致的，都是用十进制计数法记录的。
整数可以根据小数的基本性质改写成小数。
2、小数与分数：
小数就是分母是10、100、1000……的十进分数，小数是特殊的分数。
3、分数与百分数：
百分数虽然在形式上与分数是类似的，但在意义上有明显的不同。
百分数只能表示一个数是另一个数的百分之几，所以也叫做百分比（百分率），而分数不仅可以表示一个数是另一个数的几分之几，也可以用来表示一个具体的数量。
4、正数与负数：
以0为分界点，比0大的数就是正数，比0小的数就是负数。
正数可以有正整数、正分数；负数可以有负整数、负分数。
0既不是正数，也不是负数。
三、数位顺序表
1、数位、位数和计数单位：
整数与小数都是按照十进制计数法写出的数，个、十、百……以及十分之一、百分之一……都是计数单位，各个计数单位所占的位置，叫做数位。
一个自然数数位的个数,叫做位数；小数位数是以小数点右边的数位多少来定的
2、多位数的读法、写法：
多位数从个位起，每四位分为一级，可分为个级、万级、亿级。
读数时，从最高位起，一级一级的读。
读万级或亿级的数时要按照个级的读法来读，并在后面加上级名。
每一级末尾的0都不读，其他数位上不论连续有几个0，只读一个0。
写数时，先确定最高位是哪一级的哪个数位，然后从高位起，一级一级往下写，哪一位一个单位也没有，就在哪个数位上写0来占位。
3、小数的读法、写法：
读小数时，整数部分按照整数读法来读（整数部分是0的读作“零”），小数点读作“点”，小数部分顺次读出每个数位上的数字。
写小数时，整数部分按照整数写法来写（整数部分是0的写作“0”），小数点写在个位的右下面，小数部分顺次写出每个数位上的数字。
六、数的大小比较
包括整数、小数、分数的大小比较，也包括他们相互之间的大小比较。
七、数的性质
1、整除
（1）整除与除尽
整除：
整数a除以整数b（b≠0）,除得的商是整数而没有余数,我们就说数a能被数b整除,或数b能整除a.。
除尽：
数a除以数b（b≠0）,除得的商是整数或是有限小数,这就叫做除尽.
整除是除尽的一种特殊情况,整除也可以说是除尽,但除尽不一定是整除.
（2）因数和倍数
如果数a能被数b整除（b≠0）,a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数.
倍数：
一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数.
因数：
一个数的因数的个数是有限的,其中最小的约数是1,最大的约数是它本身.
因数和倍数是相互依存的
（3）能被2.3.5整除的数的特征
能被2整除的数的特征：
个位上是0,2,4,6,8,:
能被3整除的数的特征：
个位上是0或5
能被5整除的数的特征：
各个位上的数字的和能被3整除
能同时被2、5整除的数的特征：
个位是0
能同时被2、3、5整除的数的特征：
个位是0,而且各个位上的数字的和能被3整除.
（4）偶数和奇数
一个自然数,不是奇数就是偶数
偶数：
能被2整除的数。
最小的偶数是0
奇数：
不能被2整除的数.最小的奇数是1.
（5）质数和合数
质数（素数）：
只有1和它本身两个因数。
最小的质数是2.
合数：
除了1和它本身还有别的因数。
最小的合数是4.
1：
既不是质数也不是合数
一个自然数根据因数的个数，可以分为1、质数和合数。
（6）最大公约数和最小公倍数
公约数,最大公约数:
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个叫做这几个数的最大公约数.
公倍数,最小公倍数:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数.
互质数:
公约数只有1的两个数叫做互质数.
互质数的几种特殊情况：
①两个数都是质数,这两个数一定互质.
②相邻的两个数互质.
③1和任何数都互质.
求最大公约数和最小公倍数
①如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公约数;较大数就是这两个数的最小公倍数.
②如果两个数互质,它们的最大公因数就是1;最小公倍数就是它们的积.
③一般情况：
可以根据最大公因数和最小公倍数的意义去找，也可以利用短除法去找。
2、小数的基本性质：
小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。
根据小数的基本性质，可以化简小数、根据需要把整数或小数改写成指定的几位小数。
3、分数的基本性质：
分数的分子和分母都乘或除以一个相同的数（0除外），分数的大小不变。
根据分数的基本性质，可以化简分数和通分。
二、数的运算
一、整数、小数、分数四则运算的意义
乘法的意义：
一个数乘整数是求几个相同加数和的简便运算；一个数与小数相乘可以看成是求这个数的十分之几、百分之几……是多少；一个数与分数相乘可以看成是求这个数的几分之几是多少。
（重点讲解）
从他们的意义中可以知道：
减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。
可以运用运算间的这种关系进行验算。
二、运算形式
口算、笔算、估算、用计算器计算，同时进一步明确口算、笔算、估算的基本要求，这是计算能力的保底要求。
第87页第1题明确了应该掌握的口算：
两位数加、减两位数（和不超过100）及相应的小数加、减法；两位数乘、除以一位数（积不超过100）及相应的小数乘、除法；简单的分数四则运算。
第2题明确了应该掌握的笔算：
三位数的加、减法及相应的小数加减法；三位数乘、除以两位数及相应的小数乘除法；比较简单的分数四则计算。
第3题是应能进行的估算：
估计三位数加、减法的结果大约是几百（或比几百多一些，比几百少一些）；估计两位数乘两位数的积大约是几千（几千几百）。
另外，如果三位数除以两位数的商是两位数，说出商是几十多。
三、四则混合运算的顺序
同级运算：
在一个只有加减或乘除的算式里，按照从左到右的顺序进行计算。
二级运算：
在一个既有加减又有乘除的算式中，按照先乘除后加减的顺序进行计算。
在有括号的算式中，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。
四、运算法则
加减法的法则：
计算整数加减法把相同数位对齐，计算小数加减法要把小数点对齐，计算分数加减法要先通分化成同分母分数，其实质都是要把相同计算单位的数相加减。
乘除法的法则：
小数乘除法通常转化成整数乘除法进行计算，然后考虑积或商的小数点定位；分数除法通常转化成分数乘法进行计算。
五、运算定律和性质
加法交换律：
A+B=B+A
加法结合律：
（A+B）+C=A+（B+C）
乘法交换律：
A×B=B×A
乘法结合律：
A×B×C=A×（B×C）
乘法分配律：
（A+B）×C=A×C+B×C
减法性质：
A-B-C=A-（B+C）
除法性质：
A÷B÷C=A÷（B×C）
A×C-B×C=（A-B）×C
（A+B）÷C=A÷C+B÷C
六、探索运算规律
计算的过程，不仅仅是运用计算法则机械演算的过程，也是观察分析、不断探索和总结各种运算规律的过程。
一般，探索运算规律分成这几个阶段：
计算给定的题组或试算简单的几道题→观察算式和计算结果有何特点→比较找出不同算式的共同之处，形成规律的猜测→自主举例进一步验证规律→周密思考中确认规律。
运算规律：
积的变化规律：
一个因数不变，另一个因数乘几，得到的积等于原来的积乘几。
商不变规律：
被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
（商不变规律与小数的基本性质、分数的基本性质的内在关系）
三、式与方程
一、用字母表示数
1、用字母表示数的意义
①用字母不仅可以表示未知数，还可以表示已知量；不仅可以表示特定的数，还可以表示一定范围内变化着的数。
②含有字母的式子可以看作数量间的关系，也可以看做运算的结果。
2、用字母表示数的规则
①数字与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作“·”，或者省略不写，数字要写在字母的前面。
②当1与任何字母相乘时，1省略不写。
③在一个问题中，不同的量用不同的字母来表示，而不能用同一个字母表示。
④用含有字母的式子表示问题的答案时，除法结果一般要写成分数形式；如果式子中有加、减、乘、除运算时，要先进行适当的运算，再用括号把含有字母的式子括起来，并在括号后面写上单位名称。
⑤具体问题中，字母表示的数总是有一定范围的。
3、用字母表示常见的数量关系
如路程、速度和时间的关系（s、v、t）和总价、单价和数量的关系（a、b、c）等
4、用字母表示运算定律和运算性质
加法交换律、结合律；乘法交换律、结合律和分配律等
5、用字母表示几何图形的周长、面积、体积计算公式。
二、简易方程
1、方程和等式
等式：
表示相等关系的式子叫做等式。
方程：
含有未知数的等式叫做方程。
他们的关系如下：
2、解方程。
解方程：
求方程中未知数的值的过程叫做解方程。
解方程的依据：
等式的性质。
①等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。
②等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得结果仍然是等式。
3、列方程法解决问题的一般步骤
①弄清题意，确定未知数并用R表示（也可以用其他字母表示）。
②找出题中的数量之间的相等关系。
③列方程，解方程。
④检查或验算，写出答案。
四、比与比例
一、比与比例
比
比例
意义
两个数的比表示两个数相除。
表示两个比相等的式子叫做比例。
基本性质
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
二、比、分数与除法
比
前项
：
（比号）
后项
比值
除法
被除数
÷（除号）
除数
商
分数
分子
——（分数线）
分母
分数值
三、求比值和化简比
一般方法
结果
求比值
根据比值的意义，用比的前项除以后项。
是一个数值，可以是整数，也可以是小数或分数。
化简比
根据比的基本性质，把比的前项和后项同时乘或同时除以相同的数（0除外）。
是一个最简单的整数比，即前项、后项是公因数只有1的两个数。
四、正比例和反比例
相同点
不同点
特征
关系式
正比例关系
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。
两种量中相对应的两个数的比的比值（也就是商）一定。
R/R=k（一定）
反比例关系
两种量中相对应的两个数的积一定。
R×R=k（一定）
五、比例尺
一幅图的比例尺是指图上距离与实际距离的比。
即
图上距离：
实际距离=比例尺
比例尺的种类：
数字比例尺和线段比例尺
六、按比例分配
把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配的方法叫做按比例分配。
方法：
①求出每一份表示多少，再根据分配的份数求出相应的结果。
②根据两个量之间的关系，求出每一个量的结果。
（乘法或除法都可）
第二单元、空间与图形
一、图形的认识、测量
（一）量的计量
1、长度单位是用来测量物体的长度的。
常用的长度单位有：
千米、米、分米、厘米、毫米。
2、长度单位：
（10）
1千米=1000米
1米=10分米
1分米=10厘米
1厘米=10毫米
1米=100厘米
3、面积单位是用来测量物体的表面或平面图形的大小的。
常用的面积单位有：
平方千米、公顷、平方米、平方分米、平方厘米。
4、测量和计算土地面积，通常用公顷作单位。
边长100米的正方形土地，面积是1公顷。
5、测量和计算大面积的土地，通常用平方千米作单位。
边长1000米的正方形土地，面积是1平方千米。
6、面积单位：
（100）
1平方千米=100公顷
1公顷=10000平方米
1平方米=100平方分米
1平方分米=100平方厘米
7、体积单位是用来测量物体所占空间的大小的。
常用的体积单位有：
立方米、立方分米（升）、立方厘米（毫升）。
8、体积单位：
（1000）
1立方米=1000立方分米
1立方分米=1000立方厘米
1升=1000毫升
9、常用的质量单位有：
吨、千克、克。
10、质量单位：
1吨=1000千克
1千克=1000克
11、常用的时间单位有：
世纪、年、季度、月、旬、日、时、分、秒。
12、时间单位：
（60）
1世纪=100年
1年=12个月
1年=4个季度
1个季度=3个月
1个月=3旬
大月=31天
小月=30天
平年二月=28天
闰年二月=29天
1天=24小时
1小时=60分
1分=60秒
13、高级单位的名数改写成低级单位的名数应该乘以进率；
低级单位的名数改写成高级单位的名数应该除以进率。
14、常用计量单位用字母表示：
千米：
km
米：
m
分米：
dm
厘米：
cm
毫米：
mm
吨：
t
千克：
kg
克：
g
升：
l
毫升：
ml
（二）、平面图形【认识、周长、面积】
1、用直尺把两点连接起来，就得到一条线段；把线段的一端无限延长，可以得到一条射线；把线段的两端无限延长，可以得到一条直线。
线段、射线都是直线上的一部分。
线段有两个端点，长度是有限的；射线只有一个端点，直线没有端点，射线和直线都是无限长的。
2、从一点引出两条射线，就组成了一个角。
角的大小与两边叉开的大小有关，与边的长短无关。
角的大小的计量单位是（埃?
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3、角的分类：
小于90度的角是锐角；等于90度的角是直角；大于90度小于180度的角是钝角；等于180度的角是平角；等于360度的角是周角。
4、相交成直角的两条直线互相垂直；在同一平面不相交的两条直线互相平行。
5、三角形是由三条线段围成的图形。
围成三角形的每条线段叫做三角形的边，每两条线段的交点叫做三角形的顶点。
6、三角形按角分，可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
按边分，可以分为等边三角形、等腰三角形和任意三角形。
7、三角形的内角和等于180度。
8、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。
9、在一个三角形中，最多只有一个直角或最多只有一个钝角。
10、四边形是由四条边围成的图形。
常见的特殊四边形有：
平行四边形、长方形、正方形、梯形。
11、圆是一种曲线图形。
圆上的任意一点到圆心的距离都相等，这个距离就是圆的半径的长。
通过圆心并且两端都在圆的线段叫做圆的直径。
12、有一些图形，把它沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形。
这条直线叫做对称轴。
13、围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。
14、物体的表面或围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。
15、平面图形的面积计算公式推导：
【1】平行四边形面积公式的推导过程？
（1）把平行四边形通过剪切、平移可以转化成一个长方形。
（2）长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，长方形的面积等于平行四边形的面积。
（3）因为：
长方形面积=长×宽，所以：
平行四边形面积=底×高。
即：
S=ah。
【2】三角形面积公式的推导过程？
（1）用两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形。
（2）平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，三角形面积等于和它等底等高的平行四边形面积的一半
（3）因为：
平行四边形面积=底×高，所以：
三角形面积=底×高÷2。
即：
S=ah÷2。
【3】梯形面积公式的推导过程？
（1）用两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。
（2）平行四边形的底等于梯形的上底和下底的和，平行四边形的高等于梯形的高，梯形面积等于平行四边形面积的一半。
（3）因为：
平行四边形面积=底×高，所以：
梯形面积=（上底＋下底）×高÷2。
即：
S=（a+b）h÷2。
【4】画图说明圆面积公式的推导过程？
（1）把圆分成若干等份，剪开后，拼成了一个近似的长方形。
（2）长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。
（3）因为：
长方形面积=长×宽，所以：
圆面积=πr×r=πr2。
即：
S=πr2。
16、平面图形的周长和面积计算公式：
长方形周长=（长+宽）×2
长方形面积=长×宽
正方形周长=边长×4
正方形面积=边长×边长
平行四边形面积=底×高
三角形面积=底×高÷2
梯形面积=（上底＋下底）×高÷2
C=πd
C=2πr
r=d÷2
r=C÷2π
d=2r
d=÷π
S=πr2
S=π（）2
S=π（）2
17、常用数据：
常用π值
常用平方数
2π=6.28
3π=9.42
4π=12.56
5π=15.70
6π=18.84
7π=21.98
8π=25.12
9π=28.26
10π=31.4
12π=37.68
15π=47.1
16π=50.24
18π=56.52
20π=62.8
25π=78.5
32π=100.48
2.25π=7.065
6.25π=19.625
112=121
122=144
152=225
252=625
（三）、立体图形【认识表面积、体积】
1、长方体、正方体都有6个面，12条棱，8个顶点。
正方体是特殊的长方体。
2、圆柱的特征：
一个侧面、两个底面、无数条高。
3、圆锥的特征：
一个侧面、一个底面、一个顶点、一条高。
4、表面积：
立体图形所有面的面积的和，叫做这个立体图形的表面积。
5、体积：
物体所占空间的大小叫做物体的体积。
容器所能容纳其它物体的体积叫做容器的容积。
6、圆柱和圆锥三种关系：
（1）等底等高：
体积1︰3
（2）等底等体积：
高1︰3
（3）等高等体积：
底面积1︰3
7、等底等高的圆柱和圆锥：
（1）圆锥体积是圆柱的1/3，
（2）圆柱体积是圆锥的3倍，
（3）圆锥体积比圆柱少2/3，（4）圆柱体积比圆锥多2倍。
8、等底等高的圆柱和圆锥：
锥1、差2、柱3、和4。
9、立体图形公式推导：
【1】圆柱的侧面展开后得到一个什么图形？
这个图形的各部分与圆柱有何关系？
（圆柱侧面积公式的推导过程）
（十二册数学书21-22页）
（1）圆柱的侧面展开后一般得到一个长方形。
（2）长方形的长相当于圆柱的底面周长，长方形的宽相当于圆柱的高。
（3）因为：
长方形面积=长×宽，所以：
圆柱侧面积=底面周长×高。
（4）圆柱的侧面展开后还可能得到一个正方形。
正方形的边长=圆柱的底面周长=圆柱的高。
【2】我们在学习圆柱体积的计算公式时，是把圆柱转化成以前学过的一种立体图形（近似的）进行推导的，请你说出这种立体图形的名称以及它与圆柱体有关部分之间的关系？
图（十二册数学书25页）
（1）把圆柱分成若干等份，切开后拼成了一个近似的长方体。
（2）长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。
（3）因为：
长方体体积=底面积×高，所以：
圆柱体积=底面积×高。
即：
V=Sh。
【3】请画图说明圆锥体积公式的推导过程？
（1）找来等底等高的空圆锥和空圆柱各一只。
（2）将圆锥装满沙子，倒入圆柱中，发现三次正好装满，将圆柱里的沙子倒入圆锥中，发现三次正好倒完。
（3）通过实验发现：
圆锥的体积等于和它等底等高的圆柱体积的三分之一；圆柱的体积等于和它等底等高的圆锥体积的三倍。
即：
V=1/3Sh。
10、立体图形的棱长总和、表面积、体积计算公式：
长方体棱长总和=（长＋宽＋高）×4
长方体表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2
长方体体积=长×宽×高
正方体棱长总和=棱长×12
正方体表面积=棱长×棱长×6
正方体体积=棱长×棱长×棱长
圆柱侧面积=底面周长×高
圆柱表面积=侧面积＋底面积×2
圆柱体积=底面积×高
圆锥体积：
V=1/3Sh
二、图形与变换
1、变换图形位置的方法有平移、旋转等，在变换位置时，每个图形的相应顶点、线段、曲线应同步平移，旋转相同的角度。
2、不改变图形的形状，只改变它的大小时，通常要使每个图形的要素，如长方形的长与宽，三角形的底与高等同时按相同比例放大或缩小。
3、对称图形是对称轴两边的图形经对折后能够完全重合，而不是完全相同。
（三）图形与位置
1、当我们处在实际生活及情景中，面对教短距离时，通常用上、下、前、
后来描述具体位置。
2、当我们面对地图、方位图时，通常用东、西、南、北，南偏东、北偏东……来描述方向。
再结合所示比例尺计算出具体距离，把方向与距离结合起来确定位置。
第三单元、统计与可能性
（一）统计
1、我们通常都是通过打勾、画圆、划“正”字的方法进行数据的收集和整理。
2、常见的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图三种。
3、条形统计图的特点：
从图中能清楚地看出各种数量的多少，便于比较。
4、折线统计图的特点：
不但能看出各种数量的多少，而且还能够清楚地表示出数量增减变化的情况。
5、扇形统计图的特点：
表示各部分和总数之间，以及部分与部分之间的关系。
6、中位数、众数、平均数
名称
意义
计算方法
中位数
一组数中间的一个数或中间两个数的平均数。
中间的一个数或中间两个数的和÷2
众数
一组数中出现次数最多的数。
出现次数最多的数
平均数
反映一组数的总体水平的数据。
平均数=总数÷份数
（二）可能性
事件状态
生活情景
数学情景
一定会发生
太阳从东方升起
从5个红球中摸出一个红球
一定不会发生
鸭子会讲话
从5个红球中摸出一个白球
可能发生
今天会下雨
从5个红球，1个白球中摸出一个白球
2、在可能性相同的情况下，比赛游戏规则是公平的。
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