高考数学二轮复习 专题5 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图表面积与体积 文.docx

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高考数学二轮复习专题5立体几何第1讲空间几何体的三视图表面积与体积文

2019-2020年高考数学二轮复习专题5立体几何第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积文

空间几何体的三视图

1.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是（　B　）

解析:

由题意知,选项A,C中所给的几何体的正视图、俯视图不符合要求,选项D中所给几何体的侧视图不符合要求.故选B.

2.（xx福建卷）某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是（　A　）

（A）圆柱（B）圆锥（C）四面体（D）三棱柱

解析:

圆柱的正视图是矩形或圆,不可能是三角形,则该几何体不可能是圆柱.故选A.

3.（xx湖北卷）在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中,一个四面体的顶点坐标分别是（0,0,2）,（2,2,0）,（1,2,1）,（2,2,2）.给出编号为①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为（　D　）

（A）①和②（B）③和①

（C）④和③（D）④和②

解析:

在空间直角坐标系Oxyz中作出棱长为2的正方体,在该正方体中作出四面体,如图所示,由图可知,该四面体的正视图为④,俯视图为②.故选D.

4.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为（　D　）

（A）1（B）2（C）3（D）4

解析:

由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图中三棱锥ABCD,利用长方体模型可知,此三棱锥的四个面,全部是直角三角形.故选D.

空间几何体的表面积与体积

5.（xx新课标全国卷Ⅰ）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:

“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:

积及为米几何?

”其意思为“在屋内墙角处堆放米（如图,米堆为一个圆锥的四分之一）,米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?

”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有（　B　）

（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛

解析:

设圆锥底面半径为r,

因为米堆底部弧长为8尺,

所以r=8,r=≈（尺）,

所以米堆的体积为

V=××π×（）2×5≈（立方尺）,

又1斛米的体积约为1.62立方尺,

所以该米堆有÷1.62≈22（斛）,选B.

6.（xx新课标全国卷Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（　D　）

（A）（B）（C）（D）

解析:

由三视图可知,该几何体是一个正方体截去了一个三棱锥,即截去了正方体的一个角.设正方体的棱长为1,则正方体的体积为1,截去的三棱锥的体积为V1=××1×1×1=,故剩余部分的体积为V2=,

所求比值为=.

7.（xx河北沧州质检）已知一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为,则其俯视图的面积为（　B　）

（A）π+2（B）2π+4（C）2π+6（D）π+4

解析:

三视图所对应的空间几何体为一半圆锥拼接一三棱锥,

因为V=××πa2×4+××2a×a×4

=a2（π+2）

=,

所以a2=4,

所以俯视图的面积为πa2+·2a·a=2π+4,故选B.

8.（xx大庆市二检）如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为（　A　）

（A）32+4π（B）24+4π

（C）12+（D）24+

解析:

该几何体为长方体与球的组合体,其中长方体的棱长分别为2,2,3,球的半径为1,故其表面积为2×2×2+2×3×4+4×π×12=32+4π,故选A.

多面体与球的切接问题

9.（xx东北三校联合二模）一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图为等腰直角三角形,正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则此三棱锥外接球的表面积为（　B　）

（A）16π（B）9π（C）4π（D）π

解析:

由三视图可知立体图形如图所示.

由三视图知顶点A在底面BCD上的射影E为BD中点,AE⊥底面BCD,BC⊥CD,BC=CD=2,BD=2,AE=2,

设O为外接球球心,AO=R,OE=2-R,

则AB==,

在Rt△BOE中R2=（2-R）2+（）2,得R=,

因为S=4πR2,

所以此三棱锥外接球的表面积为9π.

10.（xx甘肃兰州第二次监测）已知长方体ABCDA1B1C1D1的各个顶点都在球O的球面上,若球O的表面积为16π,且AB∶AD∶AA1=∶1∶2,则球心O到平面ABCD的距离为（　B　）

（A）1（B）（C）（D）2

解析:

设外接球O的半径为R,则4πR2=16π,

所以R=2,

由题意知长方体的对角线为球的直径,

又AB∶AD∶AA1=∶1∶2,

设AD=x,AB=x,AA1=2x,

则x2+（x）2+（2x）2=42,

解得x=,

球心O到平面ABCD的距离为AA1=x=,选B.

11.（xx江西上饶三模）从点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成60°角,且分别与球O相切于A,B,C三点,若OP=,则球的体积为（　C　）

（A）（B）（C）（D）

解析:

设OP交平面ABC于O′,

由题得△ABC和△PAB为正三角形,

所以O′A=AB=AP,

因为AO′⊥PO,OA⊥PA,

所以=,=,=,

所以OA==×=1,

即球的半径为1,

所以其体积为π×13=π.选C.

12.（xx东北三校第一次联合模拟）三棱柱ABCA1B1C1各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,∠ACB=120°,CA=CB=2,AA1=4,则这个球的表面积为　　　　. 

解析:

在△ABC中,∠ACB=120°,

CA=CB=2,

由余弦定理可得AB=6,

由正弦定理可得△ABC外接圆半径r=2,

设此圆圆心为O′,球心为O,

在Rt△OAO′中,球半径R==4,

故球的表面积为S=4πR2=64π.

答案:

64π

一、选择题

1.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是（　D　）

解析:

根据几何体的三视图知识求解.

由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部是一个矩形,矩形中间无实线和虚线,因此俯视图不可能是选项D.

2.（xx河南模拟）如图,某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形,且其体积为,则该几何体的俯视图可以是（　D　）

解析:

根据正视图与侧视图的形状和几何体的体积是,

知底面积是,

所以底面是一个半径为1的四分之一圆,故选D.

3.（xx河南六市第二次联考）某几何体的三视图（单位:

cm）如图所示,其中侧视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的体积是（　B　）

（A）2cm3（B）cm3（C）3cm3（D）3cm3

解析:

由三视图可知几何体如图所示,

其侧面PCB与底面垂直,且△PCB为边长为2的正三角形,

底面为直角梯形,上底为1,下底为2,高为2,

所以四棱锥的体积为V=××（1+2）×2××2=.

4.（xx赤峰模拟）已知三棱锥的直观图及其俯视图与侧视图如图,俯视图是边长为2的正三角形,侧视图是一直角边为2的直角三角形,则该三棱锥的正视图面积为（　B　）

（A）（B）2（C）4（D）

解析:

三棱锥的正视图如图所示,

所以该三棱锥的正视图面积=×2×2=2.

故选B.

5.（xx太原市高三模拟）已知某几何体的三视图如图所示,其中俯视图是扇形,则该几何体的体积为（　B　）

（A）4π（B）2π（C）（D）

解析:

由正视图可知该几何体的高为H=3,其俯视图如图,

OA=OB=2,AC=,AC⊥OB,

所以∠AOB=,弧AB的长为,

所以扇形面积为S=×2×=,

所以几何体的体积为V=3×=2π.

选B.

6.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（　B　）

（A）6+（B）7+（C）8+（D）7+2

解析:

由三视图可知该几何体是底面为直角梯形（梯形上底长为1,下底长为2,高为1）,高为1的直棱柱,故其表面积为

1×1×2+×（1+2）×1×2+1×2+1×=7+.

故选B.

7.（xx黑龙江高三模拟）一个四面体的顶点都在球面上,它们的正视图、侧视图、俯视图都如图所示.图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是（　B　）

（A）π（B）3π（C）4π（D）6π

解析:

由三视图可知,该四面体是正方体的一个内接正四面体,且正方体的棱长为1,所以内接正方体的对角线长为,即球的直径为,所以球的表面积为S=4π×（）2=3π,故选B.

8.（xx辽宁沈阳高三一模）已知直三棱柱ABCA1B1C1中,所有棱的长都为3,顶点都在同一球面上,则该球的表面积为（　B　）

（A）9π（B）21π（C）33π（D）45π

解析:

如图,因为所有棱的长都为3,

所以OO1=,

OA即为其外接球的半径R,

又AO1=××3=,

所以R2=O+A=（）2+（）2=,

所以S球=4πR2=21π.

故选B.

9.（xx河南六市联考）一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是（　D　）

（A）1（B）2（C）3（D）4

解析:

由三视图可知,该几何体的直观图如图所示,

四边形ABCD为直角梯形,上底为2,下底为4,高为2,

且OA,AB,AD两两垂直,OA=2,

所以该几何体的体积为

V=××2=4.

选D.

10.（xx郑州第一次质量预测）某三棱锥的三视图如图所示,且三个三角形均为直角三角形,则xy的最大值为（　C　）

（A）32（B）32（C）64（D）64

解析:

设三棱锥的高为h,则根据三视图可得

所以x2+y2=128,

因为x>0,y>0,

所以x2+y2≥2xy,所以xy≤64,

当且仅当x=y=8时取“=”号,

故xy的最大值为64.选C.

11.（xx广西南宁二模）已知如图是一个空间几何体的三视图,则该几何体的外接球的表面积为（　B　）

（A）24π（B）6π（C）4π（D）2π

解析:

依题意知,该几何体是一个如图所示的三棱锥ABCD,

其中AB⊥平面BCD,AB=,

BC=CD=,BD=2,

将该三棱锥补成一个正方体,

则有（2R）2=（）2+（）2+（）2=6,

所以R=,

所以外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=6π.

选B.

12.（xx唐山市一模）某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为（　C　）

（A）4（B）21+

（C）3+12（D）+12

解析:

根据三视图可知该几何体是正六边形截得的正方体下方的几何体,

因为正方体的棱长为2,

所以根据分割的正方体的2个几何体的对称性得,

S1=×6×22=12,

正六边形的面积为6××（）2=3,

所以该几何体的表面积为12+3.选C.

二、填空题

13.（xx广西南宁二模）设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1,S2,体积分别为V1,V2,若它们的侧面积相等且=,则的值是　　　　. 

解析:

设两个圆柱的底面半径分别为r1,r2,高分别为h1,h2,

则由题意知,==·=,①

又2πr1·h1=2πr2·h2,

所以=,②

把②代入①可得,=,

所以=（）2=（）2=.

答案:

14.（xx辽宁沈阳高三一模）已知某多面体的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形,则此多面体最长的一条棱长为　　　　. 

解析:

由三视图知,该几何体是一个四棱锥,

如图所示,其底面是直角梯形,AD=4,AB=4,OA=4,BC=1,

则OD==,

CD==5,

OB==,

OC===,

故多面体最长的一条棱长为.

答案:

15.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为　　　　. 

解析:

由三视图知,几何体由一个四棱锥与四棱柱组成,

则体积V=×2×2×1+1×1×2=.

答案:

16.（xx大连市高三一模）如图,半球内有一内接正四棱锥SABCD,该四棱锥的体积为,则该半球的体积为　　　　. 

解析:

设球的半径为R,则底面ABCD的面积为2R2,

因为半球内有一内接正四棱锥SABCD,

该四棱锥的体积为,

所以×2R2×R=,所以R3=2,

所以该半球的体积为V=×πR3=π.

答案:

π