5．若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝时，{an}的前n项和最大．
答案 8
解析 因为数列{an}是等差数列，且a7＋a8＋a9＝3a8>0，所以a8>0.又a7＋a10＝a8＋a9<0，所以a9<0.
故当n＝8时，其前n项和最大．
6．一物体从1960m的高空降落，如果第1秒降落4.90m，以后每秒比前一秒多降落9.80m，那么经过秒落到地面．
答案 20
解析 设物体经过t秒降落到地面．
物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列．
所以4.90t＋t（t－1）×9.80＝1960，
即4.90t2＝1960，解得t＝20.
题型一 等差数列基本量的运算
1．（2018·全国Ⅰ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5等于（ ）
A．－12B．－10
C．10D．12
答案 B
解析 设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，
得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，将a1＝2代入上式，解得d＝－3，
故a5＝a1＋（5－1）d＝2＋4×（－3）＝－10.
故选B.
2．（2018·吉林模拟）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若6a3＋2a4－3a2＝5，则S7等于（ ）
A．28B．21C．14D．7
答案 D
解析 由6a3＋2a4－3a2＝5，得6（a1＋2d）＋2（a1＋3d）－3（a1＋d）＝5a1＋15d＝5（a1＋3d）＝5，即5a4＝5，所以a4＝1，所以S7＝＝＝7a4＝7.故选D.
思维升华
（1）等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个．
（2）确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
题型二 等差数列的判定与证明
例1在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．
（1）求证：
数列是等差数列，并求的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn.
解
（1）∵an是1与anan＋1的等差中项，
∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝，
∴an＋1－1＝－1＝，
∴＝＝1＋，
∵＝1，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴＝1＋（n－1）＝n，∴an＝.
（2）由
（1）得＝＝－，
∴Sn＝＋＋＋…＋＝1－＝.
思维升华等差数列的四个判定方法
（1）定义法：
证明对任意正整数n都有an＋1－an等于同一个常数．
（2）等差中项法：
证明对任意正整数n都有2an＋1＝an＋an＋2.
（3）通项公式法：
得出an＝pn＋q后，再根据定义判定数列{an}为等差数列．
（4）前n项和公式法：
得出Sn＝An2＋Bn后，再使用定义法证明数列{an}为等差数列．
跟踪训练1数列{an}满足an＋1＝，a1＝1.
（1）证明：
数列是等差数列；
（2）求数列的前n项和Sn，并证明：
＋＋…＋>.
（1）证明 ∵an＋1＝，
∴＝，化简得＝2＋，
即－＝2，
故数列是以1为首项，2为公差的等差数列．
（2）解 由
（1）知＝2n－1，
所以Sn＝＝n2，＝>＝－.
证明：
＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋
＝＋＋…＋
＝1－
＝.
题型三 等差数列性质的应用
命题点1 等差数列项的性质
例2（2018·上饶模拟）已知{an}为等差数列，a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9等于（ ）
A．9B．17
C．72D．81
答案 D
解析 由等差数列的性质可得，a1＋a9＝a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9＝＝9×＝81.故选D.
命题点2 等差数列前n项和的性质
例3
（1）（2019·漳州质检）已知等差数列{an}的前n项和为Sn.若S5＝7，S10＝21，则S15等于（ ）
A．35B．42C．49D．63
答案 B
解析 在等差数列{an}中，
S5，S10－S5，S15－S10成等差数列，
即7,14，S15－21成等差数列，
所以7＋（S15－21）＝2×14，
解得S15＝42.
（2）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2018，－＝6，则S2020＝.
答案 2020
解析 由等差数列的性质可得也为等差数列．
设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1.
故＝＋2019d＝－2018＋2019＝1，
∴S2020＝1×2020＝2020.
思维升华等差数列的性质
（1）项的性质：
在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q（m，n，p，q∈N*），则am＋an＝ap＋aq.
（2）和的性质：
在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n（a1＋a2n）＝…＝n（an＋an＋1）；
②S2n－1＝（2n－1）an.
跟踪训练2
（1）已知等差数列{an}，a2＝2，a3＋a5＋a7＝15，则数列{an}的公差d等于（ ）
A．0B．1C．－1D．2
答案 B
解析 ∵a3＋a5＋a7＝3a5＝15，
∴a5＝5，∴a5－a2＝3＝3d，
可得d＝1，故选B.
（2）（2019·莆田质检）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为（ ）
A．6B．7C．8D．13
答案 B
解析 根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0，所以可以得到a7>0，a8<0，所以Sn取最大值时n的值为7，故选B.
1．若{an}为等差数列，且a7－2a4＝－1，a3＝0，则公差d等于（ ）
A．－2B．－C.D．2
答案 B
解析 由于a7－2a4＝a1＋6d－2（a1＋3d）＝－a1＝－1，
则a1＝1.又由a3＝a1＋2d＝1＋2d＝0，解得d＝－.故选B.
2．在等差数列{an}中，已知a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，则a4＋a5＋a6等于（ ）
A．38B．39C．41D．42
答案 D
解析 由a1＝2，a2＋a3＋a4＝24，
可得，3a1＋6d＝24，解得d＝3，
∴a4＋a5＋a6＝3a1＋12d＝42.故选D.
3．（2018·新乡模拟）已知等差数列{an}中，a1012＝3，S2017＝2017，则S2020等于（ ）
A．2020B．－2020
C．－4040D．4040
答案 D
解析 由等差数列前n项和公式结合等差数列的性质可得，
S2017＝×2017＝×2017＝2017a1009＝2017，
则a1009＝1，据此可得，
S2020＝×2020＝1010＝1010×4＝4040.
4．程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠．次第每人多十七，要将第八数来言．务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”意为：
996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止．分配时一定要等级分明，使孝顺子女的美德外传，则第八个孩子分得斤数为（ ）
A．65B．176C．183D．184
答案 D
解析 根据题意可得每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d＝17，n＝8，S8＝996.
由等差数列前n项和公式可得8a1＋×17＝996，
解得a1＝65.
由等差数列通项公式得a8＝65＋（8－1）×17＝184.
5．已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，满足a1＋5a3＝S8，给出下列结论：
①a10＝0；②S10最小；③S7＝S12；④S20＝0.
其中一定正确的结论是（ ）
A．①②B．①③④C．①③D．①②④
答案 C
解析 a1＋5（a1＋2d）＝8a1＋28d，
所以a1＝－9d，
a10＝a1＋9d＝0，正确；
由于d的符号未知，所以S10不一定最大，错误；
S7＝7a1＋21d＝－42d，S12＝12a1＋66d＝－42d，
所以S7＝S12，正确；
S20＝20a1＋190d＝10d，错误．
所以正确的是①③，故选C.
6．在等差数列{an}中，若<－1，且它的前n项和Sn有最小值，则当Sn>0时，n的最小值为（ ）
A．14B．15C．16D．17
答案 C
解析 ∵数列{an}是等差数列，它的前n项和Sn有最小值，
∴公差d>0，首项a1<0，{an}为递增数列．
∵<－1，
∴a8·a9<0，a8＋a9>0，
由等差数列的性质知，
2a8＝a1＋a15<0，a8＋a9＝a1＋a16>0.
∵Sn＝，
∴当Sn>0时，n的最小值为16.
7．（2018·北京）设{an}是等差数列，且a1＝3，a2＋a5＝36，则{an}的通项公式为．
答案 an＝6n－3（n∈N*）
解析 方法一 设公差为d.
∵a2＋a5＝36，∴（a1＋d）＋（a1＋4d）＝36，
∴2a1＋5d＝36.∵a1＝3，∴d＝6，
∴通项公式an＝a1＋（n－1）d＝6n－3（n∈N*）．
方法二 设公差为d，
∵a2＋a5＝a1＋a6＝36，a1＝3，
∴a6＝33，∴d＝＝6.
∵a1＝3，∴通项公式an＝6n－3（n∈N*）．
8．（2019·三明质检）在等差数列{an}中，若a7＝，则sin2a1＋cosa1＋sin2a13＋cosa13＝.
答案 0
解析 根据题意可得a1＋a13＝2a7＝π，
2a1＋2a13＝4a7＝2π，
所以有sin2a1＋cosa1＋sin2a13＋cosa13
＝sin2a1＋sin（2π－2a1）＋cosa1＋cos（π－a1）＝0.
9．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝.
答案
解析 在等差数列中，S19＝19a10，T19＝19b10，
因此＝＝＝.
10．（2018·湘潭模拟）已知数列{－}是公差为2的等差数列，且a1＝1，a3＝9，则an＝.
答案 （n2－3n＋3）2
解析 数列{－}是公差为2的等差数列，
且a1＝1，a3＝9，
∴－＝（－1）＋2（n－1），
－＝（－1）＋2，
∴3－＝（－1）＋2，∴a2＝1.
∴－＝2n－2，
∴＝2（n－1）－2＋2（n－2）－2＋…＋2－2＋1
＝2×－2（n－1）＋1＝n2－3n＋3.
∴an＝（n2－3n＋3）2，n＝1时也成立．
∴an＝（n2－3n＋3）2.
11．已知数列{an}满足（an＋1－1）（an－1）＝3（an－an＋1），a1＝2，令bn＝.
（1）证明：
数列{bn}是等差数列；
（2）求数列{an}的通项公式．
（1）证明 ∵－
＝＝，
∴bn＋1－bn＝，
∴{bn}是等差数列．
（2）解 由
（1）及b1＝＝＝1.
知bn＝n＋，
∴an－1＝，∴an＝.
12．（2018·全国Ⅱ）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.
（1）求{an}的通项公式；
（2）求Sn，并求Sn的最小值．
解
（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.
由a1＝－7得d＝2.
所以{an}的通项公式为an＝a1＋（n－1）d＝2n－9（n∈N*）．
（2）由
（1）得Sn＝·n＝n2－8n＝（n－4）2－16.
所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.
13．（2018·佛山质检）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，bn＝
且b1＋b3＝17，b2＋b4＝68，则S10等于（ ）
A．90B．100
C．110D．120
答案 A
解析 设{an}公差为d，
＝
＝
＝2d＝＝4，
∴d＝2，b1＋b3＝
＋
＝
＋
＝17，
＝1，a1＝0，
∴S10＝10a1＋d＝×2＝90，故选A.
14．设等差数列{an}的公差为，前8项和为6π，记tan＝k，则数列的前7项和是（ ）
A.B.
C.D.
答案 C
解析 等差数列{an}的公差d为，前8项和为6π，
可得8a1＋×8×7×＝6π，解得a1＝π，
tanantanan＋1＝－1
＝－1，
则数列{tanantanan＋1}的前7项和为（tana8－tana7＋tana7－tana6＋…＋tana2－tana1）－7
＝（tana8－tana1）－7＝－7
＝－7
＝－7
＝－7＝.故选C.
15．已知数列{an}与均为等差数列（n∈N*），且a1＝2，则a20＝.
答案 40
解析 设an＝2＋（n－1）d，
所以＝
＝，
由于为等差数列，
所以其通项是一个关于n的一次函数，
所以（d－2）2＝0，∴d＝2.
所以a20＝2＋（20－1）×2＝40.
16．记m＝，若是等差数列，则称m为数列{an}的“dn等差均值”；若是等比数列，则称m为数列{an}的“dn等比均值”．已知数列{an}的“2n－1等差均值”为2，数列{bn}的“3n－1等比均值”为3.记cn＝＋klog3bn，数列的前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有Sn≤S6，求实数k的取值范围．
解 由题意得2＝，
所以a1＋3a2＋…＋（2n－1）an＝2n，
所以a1＋3a2＋…＋（2n－3）an－1
＝2n－2（n≥2，n∈N*），
两式相减得an＝（n≥2，n∈N*）．
当n＝1时，a1＝2，符合上式，
所以an＝（n∈N*）．
又由题意得3＝，
所以b1＋3b2＋…＋3n－1bn＝3n，
所以b1＋3b2＋…＋3n－2bn－1＝3n－3（n≥2，n∈N*），
两式相减得bn＝32－n（n≥2，n∈N*）．
当n＝1时，b1＝3，符合上式，
所以bn＝32－n（n∈N*）．
所以cn＝（2－k）n＋2k－1.
因为对任意的正整数n都有Sn≤S6，
所以解得≤k≤.
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