高中数学《杨辉三角与二项式系数的性质》导学案.docx

高中数学《杨辉三角与二项式系数的性质》导学案.docx

《高中数学《杨辉三角与二项式系数的性质》导学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学《杨辉三角与二项式系数的性质》导学案.docx（17页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中数学《杨辉三角与二项式系数的性质》导学案

1．3.2　“杨辉三角”与二项式系数的性质

知识点　“杨辉三角”与二项式系数的性质

（a＋b）n的展开式的二项式系数，当n取正整数时可以表示成如下形式：

1．杨辉三角的特点

（1）在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．

（2）在相邻的两行中，除1外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.

2．二项式系数的性质

在解决有关二项式系数的问题时，要注意以下几点：

（1）要区分二项式系数与二项式项的系数的区别，二项式系数是指C，C，…，C是组合数，而二项式项的系数是指该项除字母以外的常数部分，与二项式系数有关，但不一定等于二项式系数．

（2）在求二项式系数时常用赋值法．如－1,0,1等，赋值法体现了函数思想f（x）＝（ax＋b）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，f

（1）＝a0＋a1＋a2＋…＋an.在解题时要注意审题，恰当赋值．

1．判一判（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．（　　）

（2）二项式展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.（　　）

（3）二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．（　　）

答案　

（1）×　

（2）×　（3）×

2．做一做

（1）11的展开式中二项式系数最大的项是第________项．

（2）若（a＋b）n的展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n＝________.

（3）已知（a－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________.

答案　

（1）6和7　

（2）8　（3）1

解析　

（1）由n＝11为奇数，则展开式中第项和第＋1项，即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大．

（2）由二项式系数的性质可知，第5项为二项展开式的中间项，即二项展开式有9项，故n＝8.

（3）展开式的通项为Tr＋1＝（－1）rC·a5－r·xr，令r＝2，则a2＝（－1）2C·a3＝80，所以a＝2.则（2－x）5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋…＋a5＝1.

探究　　杨辉三角的有关问题

例1　如图所示，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：

1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为Sn，求S19.

[解]　由题图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C.

∴S19＝（C＋C）＋（C＋C）＋（C＋C）＋…＋（C＋C）＋C

＝（C＋C＋C＋…＋C）＋（C＋C＋C＋…＋C）

＝＋C＝274.

拓展提升

解决与杨辉三角有关的问题的一般思路

（1）如图数表满足：

①第n行首尾两数均为n；②图中的递推关系类似杨辉三角，则第n（n≥2）行的第2个数是________；

（2）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．

答案　

（1）　

（2）2n－1　32

解析　

（1）由图中数字规律可知，第n行的第2个数是[1＋2＋3＋…＋（n－1）]＋1＝＋1.

（2）观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n次全行的数都为1的是第2n－1行；∵n＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，递推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.

探究　　二项展开式的系数和问题

例2　在（2x－3y）10的展开式中，求：

（1）各项的二项式系数的和；

（2）奇数项的二项式系数的和与偶数项的二项式系数的和；

（3）各项系数之和；

（4）奇数项系数的和与偶数项系数的和．

[解]　在（2x－3y）10的展开式中：

（1）各项的二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210＝1024.

（2）奇数项的二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝29＝512，

偶数项的二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝29＝512.

（3）设（2x－3y）10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10（*），各项系数之和即为a0＋a1＋a2＋…＋a10，由于（*）是恒等式，故可用“赋值法”求解．令（*）中x＝y＝1，得各项系数之和为（2－3）10＝（－1）10＝1.

（4）奇数项系数的和为a0＋a2＋a4＋…＋a10，偶数项系数的和为a1＋a3＋a5＋…＋a9.

由（3）知a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1.①

令（*）中x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510.②

①＋②得2（a0＋a2＋…＋a10）＝1＋510，故奇数项系数的和为（1＋510）；

①－②得2（a1＋a3＋…＋a9）＝1－510,故偶数项系数的和为（1－510）．

拓展提升

求展开式的各项系数之和常用赋值法．

“赋值法”是求二项式系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同的值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x＝0可得常数项，令x＝1可得所有项系数之和，令x＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差，而当二项展开式中含负值项时，令x＝－1则可得各项系数绝对值之和．

　设（2－x）100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100·x100，求下列各式的值．

（1）a0；

（2）a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100；

（3）a1＋a3＋a5＋…＋a99；

（4）（a0＋a2＋…＋a100）2－（a1＋a3＋…＋a99）2；

（5）|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.

解　

（1）令x＝0，则展开式为a0＝2100.

（2）令x＝1，

可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝（2－）100，（*）

所以a1＋a2＋…＋a100＝（2－）100－2100.

（3）令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝（2＋）100.与

（2）中（*）式联立相减得a1＋a3＋…＋a99＝.

（4）原式＝[（a0＋a2＋…＋a100）＋（a1＋a3＋…＋a99）]·[（a0＋a2＋…＋a100）－（a1＋a3＋…＋a99）]

＝（a0＋a1＋a2＋…＋a100）·（a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100）

＝[（2－）（2＋）]100＝1100＝1.

（5）因为Tr＋1＝（－1）rC2100－r·（）rxr，

所以a2k－1<0（k∈N*）．

所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|

＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100

＝（2＋）100.

探究　　求二项展开式中的最大项问题

例3　已知在的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中系数最大的项．

[解]　令x＝1，

则展开式中各项系数和为（1＋3）n＝22n.

又展开式中二项式系数和为2n.

∴＝2n＝32，n＝5.

（1）∵n＝5，展开式共6项，

∴二项式系数最大的项为第三、四两项，

拓展提升

1.二项式系数的最大项的求法

求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对（a＋b）n中的n进行讨论．

（1）当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．

（2）当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．

2．展开式中系数的最大项的求法

求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求（a＋bx）n（a，b∈R）的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第r＋1项最大，应用解得r，即得出系数的最大项．

　已知二项式n.

（1）若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；

（2）若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．

解　

（1）由题意，得C＋C＝2C，

∴n2－21n＋98＝0，

∴n＝7或n＝14.

当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，T4的系数为C×4×23＝，T5的系数为C×3×24＝70.

故展开式中二项式系数最大项的系数分别为，70.

当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，

∵T8的系数为C×7×27＝3432.

故展开式中二项式系数最大项的系数为3432.

（2）由题意知C＋C＋C＝79，

解得n＝12或n＝－13（舍去）．

设展开式中第r＋1项的系数最大，

由于12＝12·（1＋4x）12，

则∴9.4≤r≤10.4.

又r∈{0,1,2，…，12}，∴r＝10，

∴系数最大的项为T11，且T11＝12·C·（4x）10＝16896x10.

1．（2－）8展开式中不含x4项的系数的和为（　　）

A．－1B．0C．1D．2

答案　B

解析　

∴展开式中x4项的系数为C＝1.

又∵（2－）8展开式中各项系数和为（2－1）8＝1，

∴展开式中不含x4项的系数的和为0.

2．在n（n∈N*）的展开式中，所有的二项式系数之和为32，则所有系数之和为（　　）

A．32B．－32C．0D．1

答案　D

解析　由题意得2n＝32，得n＝5.令x＝1，得展开式所有项的系数之和为（2－1）5＝1.故选D.

3．若（1－2x）2019＝a0＋a1x＋…＋a2019x2019（x∈R），则＋＋…＋的值为（　　）

A．2B．0C．－2D．－1

答案　D

解析　（1－2x）2019＝a0＋a1x＋…＋a2019x2019，令x＝，则2019＝a0＋＋＋…＋＝0，

其中a0＝1，所以＋＋…＋＝－1.

4．如图所示的数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，他们是由正整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为（n≥2），每个数是它下一行左右相邻两数的和，如：

＝＋，＝＋，＝＋，…，则第n（n≥3）行第3个数字是________．

答案　（n∈N*，n≥3）

解析　杨辉三角形中的每一个数都换成分数，就得到一个如题图所示的分数三角形，即为莱布尼茨三角形．

∵杨辉三角形中第n（n≥3）行第3个数字是nC，则“莱布尼茨调和三角形”第n（n≥3）行第3个数字是＝.

5．在二项式（2x－3y）9的展开式中，求：

（1）二项式系数之和；

（2）各项系数之和；

（3）所有奇数项系数之和；

（4）系数绝对值的和．

解　设（2x－3y）9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.

（1）二项式系数之和为C＋C＋C＋…＋C＝29.

（2）各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9，

令x＝1，y＝1，

∴a0＋a1＋a2＋…＋a9＝（2－3）9＝－1.

（3）由

（2）知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，

令x＝1，y＝－1，可得：

a0－a1＋a2－…－a9＝59，

将两式相加除以2可得：

a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝，即为所有奇数项系数之和．

（4）解法一：

|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9，

令x＝1，y＝－1，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝a0－a1＋a2－…－a9＝59.

解法二：

|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|即为（2x＋3y）9展开式中各项系数和，令x＝1，y＝1得：

|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a9|＝59.

A级：

基础巩固练

一、选择题

1．在（x＋y）n的展开式中，第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是（　　）

A．第6项B．第5项

C．第5,6项D．第6,7项

答案　A

解析　由题意，得第4项