国家重点基础研究发展计划项目doc.docx

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国家重点基础研究发展计划项目

“数学机械化及其在信息技术中的应用”

基于混合计算的误差可控算法课题组（2011CB302402）

课题中期总结报告

1.研究工作的主要进展

2.与国内外同类研究工作相比的创新性

3.人才培养、合作交流、数据共享

4.经费使用情况

5.存在的问题和建议

6.课题负责人签字

一.研究工作的主要进展

（一）．两年计划任务完成情况

本课题以基于符号与数值混合计算的误差可控算法的研究为核心，发展高效可信的算法，提高计算机针对具体计算问题进行可信计算的能力，为科学研究和工程应用中遇到的问题提供可靠有效的工具。

在过去两年，本课题组在：

多项式方程组的求根与优化、大规模矩阵的计算、多项式全局最优问题求解和验证等方面取得了重要进展，获得了重要奖励，成果得到国际同行的高度评价，圆满完成研究计划，达到了预期目标。

课题启动以来，总计已经发表论文33篇，其中SCI收录23篇，EI收录5

篇，已被录用即将发表的有3篇,其中有5篇是被符号计算领域顶级杂志JournalofSymbolicComputation接收。

论文大多发表在国际高水平的杂志或者会议上，如:

ProceedingsoftheAmericanMathematicalSociety,JournalofSymbolicComputation,SIAMJournalofNumericalAnalysis，TheoreticalComputerScience，ComputerAidedGeometricDesign,JournalofComputationalandAppliedMathematics,TaiwaneseJournalofMathematics,ProceedingofISSAC等.

课题组成员获得了多项奖励，其中包括第七届中国青年女科学家奖,中科院数学院突出科研成果奖等。

（二）．研究工作的主要进展

1．大规模矩阵的计算

研究了大规模周期矩阵特征问题的数值求解的方法、理论和算法周期矩阵特征问题有广泛的应用背景，它刻画了线性离散时间系统的可

解性和稳定性性态，在排队网络、分歧的分析和计算、化工处理、样本数据系统、周期时间变化过滤子、季节现象等中均有重要应用。

我们首先将求解标准特征问题的Rayleigh-Ritz方法扩展到周期问题，建立了方法的一般框架。

接着，研究了方法的具有普遍意义的收敛性理论，将已有的关于标准特征问题的方法的一些重要结果推广到周期特征问题的求解。

结果表明，类似于标准问题的方法，当周期子空间足够好时，近似特征值能保证收敛，但近似特征向量却需附加条件才能收敛，它们可能收敛很不规则，甚至于不收敛。

为克服此缺陷，我们将求解标准问题的精化Rayleigh-Ritz方法推广到周期特征问题，用新的称之为精化的近似特征向量逼近所求的特征向量。

并且证明了，精化的近似周期特征向量当周期子空间足够好时能保证收敛。

和周期Arnoldi过程相结合，在周期Krylov子空间上实现周期Rayleigh-Ritz方法，能有效可靠地计算精化向量。

这些结果发表在JournalofComputationalandAppliedMathematics.

研究大规模矩阵重特征值的有效求解，确定特征值的重数和特征空间近十多年来，针对大规模矩阵方程、多右端项线性方程组和线性最小二

乘车问题，学术界多人提出了全局投影方法一般框架，并具体开发出全局

Arnoldi方法，全局GMRES方法，全局双正交Lanczos和全局LSQR方法，并开发了算法。

这些算法已被应用到模型降阶，信号处理等领域。

和熟知的

标准投影方法不同，全局方法所用的子空间中的元素不是向量，而是把块向量作为元素，块Krylov子空间在此变成了矩阵Krylov子空间，用全局Arnoldi过程可以构造该矩阵子空间的一组F正交基。

这组基和通常的正交基既相似点，但本质不同点更多，比如，从向量的角度看，F正交基可以是线性相关的。

然而，如何对大规模矩阵特征问题提出合理可行的全局方法却一直没有人讨论，没有任何结果。

我们对此做了有意义的尝试，成功地建立了全局Arnoldi方法的框架。

该方法的奇特之处是，每一个近似特征值（我们称为F-Ritz值）均有同样个数的，多于一个以上的近似特征向量（我们称为F-Ritz向量）。

但对一般的矩阵子空间，不同的F-Ritz向量具有大约相同的精度。

因此，我们只需要计算其中的一个即可。

我们证明，全局Arnoldi方法和标准Arnoldi方法在迭代步的意义下，有相同的收敛速度。

对于同样的迭代步数，全局方法比标准方法的代价大，因此没有优势。

然而，当我们关注重特征问题时，如果要确定特征值的重数并计算对应的特征空间，全局方法有特殊的吸引力，比标准方法有明显的优势，代价低，可靠性高。

对于重特征问题，我们建立了方法可行性的严格理论。

为了开发实用的全局算法，我们将著名的隐式重启技术非平凡地推广到全局Arnoldi方法，提出了一种合理的位移策略，做了一系列的工作。

大量的数值实验证实了算法的有效性和可靠性。

这些结果发表在TaiwaneseJournalofMathematics。

Rayleigh商迭代算法研究

Rayleigh商迭代是计算大规模矩阵的特征值和特征向量的重要算法之一，它也是许多更复杂更实用的重要算法，如QR算法的基础。

该算法在计算近似特征对的每步（外）迭代中要求解一个大规模的（病态）线性方程组，称之为内部方程组。

用直接解法准确求解通常太昂贵甚至不实际，因此一般只能用某种迭代法给计算一个精度相对较低的非精确（准确）解，这称之为内迭代，二者组成了内外迭代法。

当所涉及的线性方程组准确求解时,Rayleigh商迭代具有三阶收敛性。

然而，内部方程组的非精确（准确）求解使得内外迭代法的收敛性问题变得非常复杂和困难，非精确（准确）解的精度如何影响外迭代的收敛性和收敛速度？

自从上世纪90年代中期起，该课题已经成为矩阵计算的热点和焦点之一，许多学者致力于此，发表了很多文章，得到了一系列理论结果，并据此开发了相应的算法。

然而，建立这些结果的出发点和手段各异，结果的形式也很不相同，很难用统一的方式比较和表述。

对于上述非精确Rayleigh商迭代法，我们深入研究了当每步外迭代涉及的内部方程组用著名的最小残量法MINRES求解时方法的收敛性，得到了和迄今为止的所有文献根本上完全不同的结果，新建立的三阶、二阶收敛条件比现有的结果要宽松得多，同时首次得到了方法的线性收敛条件。

取得实质突破的根本性原因在于观察到MINRES的残量方向对外迭代的收敛性有关键的影响，而文献中从未注意到这一点，只注意到内迭代残量的大小而忽视其方向。

由此，我们建立了内外迭代新的密切内在联系，得到了若干精致的定量关系。

原来外迭代的三阶收敛要求使用MINRES的内迭代残量随外迭代一致收敛于零，即内部方程组的精度越来越高，新结果则只要求内部方程组的精度固定在低的或很适中的水平；原来的二阶收敛要求内迭代精度适中而固定，新结果的内迭代精度随外迭代的进行越来越低，最终几乎没有精度；

原来外迭代没有线性收敛的结果，我们弥补了这一空白，其条件是内迭代的精度随外迭代的进行不仅越来越差，而且比二阶收敛的条件更为宽松，精度变低的速度更快。

所有这些结果非平凡地被推广到用“调谐预处理”的MINRES方法求解内部方程组。

根据新的理论设计的算法可以大幅度提高算法的效率。

我们对来自于应用的实际问题实验了算法，验证了所有的理论。

结果发表在JournalofComputationalandAppliedMathematics。

大规模反Hamilton—Hamilton结构矩阵对特征值问题该问题来源于大量的实际应用，其典型特征是问题的特征值是正负成对

和共轭成对出现的。

由于舍入误差的影响，应用任何一种标准的算法求解计算出的近似特征值都会破坏这一根本的物理性质，并且精度差，计算量和存储量都可能很大。

因此，学术界长期以来的一个重要课题是，如何充分利用问题本身的性质设计保结构算法，使得近似解也具有同样的物理性质，并节省计算和存储量。

对于所述特征值问题，学术界已有多种保结构算法，其中之一是先将问题等价变换成一个等价的反Hamilton问题，然后提出了称之为各向同性的Arnoldi方法。

为了使算法实用，开发出了隐式重启的算法

（SHIRA），并提出了相应的准确位移。

方法本身是一种正交投影方法，因此存在着可能不收敛或收敛不规则或很慢的隐患。

为此，我们将精化投影方法的原理应用于该方法，提出了保结构的各向异性精化Arnoldi方法，开发出对应的隐式重启算法（SHIRRA），并提出了一种新的理论上更好的精化位移。

数值实验表明，新算法的效率明显高于SHIRA.结果已经被Taiwanese

JournalofMathematics录用。

大规模低秩对称半正定Gram和Moment矩阵的恢复问题。

大规模结构矩阵的恢复问题广泛地出现在控制、信号处理、系统识别等

许多领域中。

此类问题可以凸松弛为矩阵核范数极小化问题。

我们提出了一种新的求解大规模低秩对称半正定Gram矩阵核范数极小化问题的一阶算法

----改进的不动点迭代算法（FPC-BB），并给出了算法的收敛性分析。

在此方法基础上，我们又提出一种加速的不动点迭代算法（AFPC-BB）。

它既保持了FPC-BB算法的简单易实现的特点，又将原算法线性的收敛速度提高为二次收敛。

上述算法可以用于快速计算高次非负多元多项式的有理平方和表示，以及对有理函数下界的精确验证。

数值实验显示我们的算法对于大规模低秩Gram矩阵的近似或精确恢复问题较以往主流算法提速明显，且实现方便，占用内存少，更适合大规模矩阵的处理。

近期研究发现，该算法还可以用于多项式系统的部分实根的快速求解。

论文被国际符号和代数计算年会ISSAC2011接受。

ISSAC审稿专家指出我们为一个困难而重要（difficult

andimportant）、广泛被研究（widelyinvestigated）的问题提出了革新

性的想法带来意义重大的进展（significantprogresswithaninnovative

idea）。

基于上述半正定低秩矩阵恢复方法,我们将多项式系统实根求解的问题转化为矩量矩阵核范数极小化问题,并利用AFPC-BB算法求解.同时,我们给出了算法完整的收敛性分析和在Maple和Matlab中的实现（MMCRSolver）.对于较大规模的多项式系统,如果只存在一个或少数几个实根,MMCRSolver能够快速的将它们求解出来.与此同时,如果多项式系统有无穷多个实根,

MMCRSolver仍能求出其中部分孤立实点或是在代数流形上的实点.论文发表于国际符号和代数计算年会ISSAC2012。

2.多项式方程（组）的求解和有关计算一类二变元多项式因式分解符号数值混合算法

对一类二元多项式（其Newton多项式看成一个齐次多项式时的因子无非平凡的公因子），首次将数值方法引入因子组合步骤，并且通过改进Sasaki等关于扩展的Hensel提升技术，得到一个快速高效的有理因式分解算法。

同时该算法能够在提升过程中保持多项式的稀疏性，因此对次数高、项数少的此类二元多项式有着极高的效率。

尽管该算法不是确定性的算法，其成功率依赖于二元到一元的Hilbert不可约定理，但是实验证明，对这一类多项式，该算法的效率远远高于Maple自带的因式分解命令factor。

线性空间与格的交和代数数极小多项重构算法该问题是“采用近似计算获得准确值”的延续和一般化。

在“采用近似

计算获得准确值”的研究中，一个给定实数向量的整数关系起着至关重要的

作用，而整数关系刚好是Znx中的元素。

给定任意格L的一组基和线性空

间E的一组基，为求LE的一组基，我们引入另外一个计算问题Decomp：

给定一组向量n，从的拓扑闭包中分离出一个格，使得该格

b1,

bmR

SimZbi

与该闭包中的一个线性空间正交并且与该线性空间的直和等于该闭包（可以证明这样的分解是唯一的）。

我们首先证明了在实数计算模型下，Decomp问题与线性空间与格问题是计算等价的，即若存在算法能解决其中一个问题，则利用此算法便解决另一个。

同时，我们给出了一个计算Decomp问题的多项式时间算法，从而在实数计算模型下完整地解决线性空间与格的交问题。

为解决从代数数的近似值获得其准确的极小多项式的问题，我们推广了PSLQ算法，得到了可以探测多个向量的同步整数关系的算法SIRD，同时分析了恢复准确的极小多项式所需的误差控制条件，给出了一个不依赖于LLL算法的解决这一问题的新途径。

尽管所需的位复杂度与已有方法同阶，但从实验数据来看，我们给出的算法在实际计算中所要求的数值精度更低。

相关成果已被InternationalJournalofComputerMathematics接受。

孤立重根处的局部对偶空间基底的计算和近似重根的精化算法提出了一种快速计算非线性系统在孤立重根处的局部对偶空间基底的

新算法。

该算法适用于最普遍的宽度为1的重根，即系统在重根处的Jacobian

矩阵的列亏秩为1的情形。

新算法的自由度只是变量的个数减1，且矩阵大小与重根的重数无关，所以在存储空间和计算速度上都大大优于之前的算法；文章被国际符号计算杂志JSC接收，审稿意见指出文章中的算法十分简单并且可能是相同输出条件下在计算时间和存储空间上是效率最高的（themost

efficient）。

特别地，新算法与规则化的Newton迭代相结合，对于宽度为1的近似重根，构造出了基于近似重根局部结构的近似根的精化算法，并且证明了新的近似重根的精化算法的二次收敛性。

新算法中矩阵规模与系统在重根处的

Jacobian矩阵一致，是Newton法在近似重根处的推广。

文章发表在SIAM数值分析杂志SIAMJournalonNumericalAnalysis。

我们还对已有的延拓方法精化重根的算法做了进一步的改进，新的算法能处理的多项式系统的规模更大，并且效率更高，并且与区间计算相结合，给出了奇异根的扰动范围的可信验证。

文章被国际理论计算机杂志TheoreticComputerScience接受。

审稿意见认为我们的方法吸引人（interesting）数值实验结果令人信服

（convincing）。

零维多项式系统实根的线性单变元表达我们将求解双变元代数系统的局部一般位置方法推广到了一般的零维系

统.不同于有理单变元表达,我们将零维多项式系统实根的每一个坐标表示为几个单变元实根的线性组合。

这样一来，系统实根的隔离精度就可以得到很好的控制。

文章被JSC杂志接收，审稿人认为作者的方法十分吸引人（quite

interesting）且是新的（new）。

对于零维的三角列系统，我们也设计了基于线性单变元表达的快速算法。

新的几何定理可读机器证明方法提出了一种新的几何定理可读机器证明方法——质点法。

该方法基于

“几何点”（而非几何不变量或坐标点）建立了对无序几何中可构造命题类有效的、完全的算法。

由于可以对“几何点”直接进行运算，质点法的算法和编程比面积法简明。

通过400多个例子的运行结果表明，质点法不仅效率高，程序自动生成的证明条理简明清晰、语义简洁易懂、几何意义明确、储存信息丰富。

基于质点还能表现向量、有向面积及勾股差等几何量的性质，且质点间数量关系还可用几何意义明确的复数形式或三角形式灵活表示，这为发展、扩展或融合其他已有的可读证明方法提供了新的工具。

相关成果发表在LNAI。

求解和验证多项式全局最优值的方法

给定有理数域上的多元多项式f,假定其具有有限下界,考虑计算f在实数域上的全局下确界。

更一般的,考虑计算多元多项式f在由一组多项式等式限制条件定义的可行域上的下确界。

假设可行域是光滑等维的,并且由等式限制条件中的多项式定义的理想是根理想，我们构造了一组多项式集合及其相应的截断代数簇.其中每一组多项式集合都与某一线性子空间上投射函数的关键点轨迹相关.我们证明在一般坐标系下,多项式f在可行域上正定当且仅当在构造的每一个截断代数簇上,该多项式等价于多项式平方和.因此对于f的下界我们有基于半正定规划（SDP）的代数验证.为降低问题的规模,我们还研究如何减少添加的多项式限制条件的个数.通过引入新的变量,我们的方法还可以用于求解带不等式约束条件的多项式优化问题.与同类方法相比较,我们的新方法对可行域的假设条件更弱且不要求下确界可以达到.另外,我们的方法中添加的多项式限制条件更少且其次数更低,因此相应的SDP问题规模更小.特别地，我们利用问题稀疏性解决多项式全局优化问题中下确界为渐近值时发生的数值问题.

我们结合广义临界值和多项式平方和理论，给出带限制条件的求解多项式最优值的方法，且该方法不要求多项式必须达到最优值，与同类方法比较，

我们的方法计算更为简单，且不需要较强的假设条件。

文章被JSC杂志接受。

审稿意见指出我们的方法是该领域一个新的（new）、有用（useful）的贡献。

3.密码学中一些函数的研究有限域上线性化多项式及相关问题研究

有限域上的线性化多项式是一类非常重要的多项式，在研究有限域的理论、算法和应用等相关方面的问题时有重要应用。

最早对这类特殊多项式的研究可以追溯到1933年Ore的一篇经典文献，近几年在这类多项式的表示方面又出现了一些新的结果。

我们通过利用有限域上的复合代数这一工具，从新的角度对有限域上线性化多项式构成环的结构及其子环结构进行了系统研究，并对与之相关的有限域上的Moore矩阵和Dickson矩阵的性质做了深入考查。

指出了Brawley等人在1973年的一篇文献中主要结果的证明是错误的，并给出了其正确证明。

我们还研究了线性化多项式的伴随多项式，并将相关概念和结果推广到一般双线性代数上的复合代数和一般循环群代数上。

进一步，我们还引入了有限域扩张的线性化参数基（LCB）的概念，相关的深入研究将是我们下一个阶段一项重要工作。

密码学中的特殊布尔函数和广义布尔函数布尔函数和广义布尔函数是现代密码学和组合学的重要研究对象，对它

们的研究在编码、密码和通信等领域有重要意义。

我们利用关于有限域上线

性化多项式和典型群的一些结果系统研究了二次布尔函数，给出了Walsh谱绝对值给定的二次布尔函数的构造和计数。

另一方面，我们研究了特征4的Galois环上的特殊Trace型在其Teichmuller集上限制所导出的广义布尔函数，并构造了几类特殊的广义bent函数，它们都具有最高为二次的分支函数。

此外，我们还研究了形式与PS类bent函数类似的一些布尔函数，在一些情形证明了其非bent性。

密码性质良好的布尔函数的构造布尔函数在现代密码学中有着重要应用。

作为密码体制核心组件的布尔

函数，其密码性质的好坏直接关系到密码体制的安全性。

为了抵抗已有的密

码攻击方法，布尔函数需要是平衡的，具有高的代数次数，高的非线性度，高的相关免疫度，高的代数免疫度等密码学性质。

然而，布尔函数的各种密码学性质之间的复杂关系导致构造密码学性质良好的布尔函数是一个非常具有挑战性的课题。

源于Dillion的PartialSpread型Bent函数的构造，我们综合分析并提出了一类具有高的代数次数和非线性度的布尔函数，并证明了其中的一个子类是代数免疫度最优的。

由于前面提到的函数不是平衡的，不能满足密码学实际应用，我们对它们进行了平衡化处理，提出了一类平衡函数，证明了这类函数具有平衡函数的最优代数次数和高的非线性度。

同样，它们也有一子类是可证明代数免疫度最优的。

密码学中T函数的分析与构造

作为一种非线性序列生成方式，单圈T函数的构造与判定及其密码学性质的研究与分析在序列密码、伪随机数发生器等方面具有重要的研究意义。

Anashin和Shamir等学者先后使用不同的数学工具对单圈T-函数进行了深入研究。

我们将2-adic整数环上的加法、减法和乘法公式应用于T函数，尤其是单圈T函数的研究。

清晰地刻画了定义在剩余类环上的单圈T函数的分位函数的代数标准型，从而为单圈T函数的判定与构造问题提供了一套较为完善的解决方法。

之后,系统地研究了一类具有良好密码学性质的单圈T函数

——广义多项式函数，给出了其为单圈T函数的充要条件。

对具体形式的单圈广义多项式函数，还给出了对其系数更为精细的刻画.我们对单圈广义多项式函数生成序列的分布性质做了初步讨论,实验结果显示单圈广义多项式函数的生成序列的随机性质较其他常见的单圈T函数的更优.

基于Golomb随机性假设，我们从多个角度研究了单圈T-函数分位序列的随机性质，否定了他人关于此类序列的自相关函数谱值的一个猜想，进一步研究了其自相关函数的性质。

深入研究了Klimov-Shamir伪随机数发生器生成序列的游程、自相关性质等伪随机性质，找到了其分位函数中存在的弱点,给出了恢复其内部参数和内部状态的算法。

4.（偏）微分方程（组）及优化相关的研究与应用关于“激波曲线条数至多可数的”问题的研究

偏微分方程大家Hopf和Oleinik1950年代“证明”激波曲线条数至多可数。

李邦河在1980年给出反例，证明他们的结论是错误的。

西方某权威学者在1970年代重复了Hopf和Oleinik的错误，在由他推荐发表的