必修二立体几何较难的题目汇总情况doc.docx
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必修二立体几何较难的题目汇总情况doc
实用标准文案
1.四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H,则四面体EFGH的表面积与四
面体ABCD的表面积的比值是(
)
A)1
B)
1
C)
1
D)
1
27
16
9
8
如图,连接AF、AG并延长与BC、CD相交于M、N,由于F、G分别是三角形的重心,
所以M、N分别是BC、CD的中点,
且AF:
AM=AG:
AN=2:
3,所以FG:
MN=2:
3,
又MN:
BD=1:
2,所以FG:
BD=1:
3,
即两个四面体的相似比是1:
3,
所以两个四面体的表面积的比是1:
9;故选C.
如图,平面α∥平面β∥平面γ,两条直线l,m分别与平面α,β,γ相交于点A,B,C
和点D,E,F.已知AC=15cm,DE=5cm,AB︰BC=1︰3,求AB,BC,EF的长
设平面α‖β,A、C∈α,B、D∈β直线AB与CD交于S,若AS=18,BS=9,CD=34,
则CS=?
68/3或68
与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有多少个?
七个
你可以把它想象成一个三棱锥
四个顶点各对应一个有四个,
两条相对棱对应一个共三组相对棱因此有三个
总共有七个
如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,AB∥DC,△PAD是等边三角形,
已知BD=2AD=8,AB=2DC=。
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实用标准文案
(1)设M是PC上的一点,证明:
平面MBD⊥平面PAD;
(2)求四棱锥P-ABCD的体积
解:
(1)证明:
在中,由于,,,
所以
故
又平面平面,平面平面,
平面,
所以平面,
又平面,
故平面平面。
(2)过作交于O,
由于平面平面,
所以平面
因此为四棱锥的高,
又是边长为4的等边三角形
因此
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实用标准文案
在底面四边形
中,
,
,
所以四边形
是梯形,
在
中,斜边
边上的高为
,
此即为梯形
的高,
所以四边形的面积为
故。
(2008福建)(6)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D
所成角的正弦值为
6
2
6
D1
C1
A1
B1
A.
B.
5
3
15
D.
10
D
C
C.
A
B
5
5
.(15)如图,二面角
l的大小是60°,线段AB
.Bl,
A
AB与l所成的角为
30°.则AB与平面
3
.
所成的角的正弦值是
4
B
19.(本小题满分12分)
1
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD。
2
(1)证明:
DC1⊥BC;
C1
B1
(2)求二面角A1-BD-C1的大小。
A1
【解析】
(1)在Rt
DAC中,AD
AC,
得:
ADC45,
D
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C
B
A
实用标准文案
同理:
A1DC145
CDC190,
得:
DC1DC。
又DC1⊥BD,DCBDD,
所以DC1
平面BCD。
而BC
平面BCD,所以DC1
BC。
(2)解法一:
(几何法)
由DC1
BC,CC1
BC
BC
面ACC1A1
BC
AC。
取A1B1的中点O,连接C1O,OD。
因为1
1
11,所以
1
1
1,
AC
BC
CO
AB
因为面A1B1C1
面A1BD,所以C1O
面A1BD,从而C1O
BD,
又DC1⊥BD,所以BD
面DC1O,因为OD
平面DC1O,所以BDOD。
由
BD
OD
,BD⊥DC1,所以
C1DO
1
1
为二面角A-BD-C的平面角。
设AA1
2a,AC
BC
a,则C1O
2a
2a,
2
,C1D
在直角△C1OD,C1O
OD,C1O
1C1D,
2
所以C1DO
30
。
因此二面角A1
BD
C1的大小为30。
D1
C1
A1
O
B1
D
C
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A
B
实用标准文案
(2007)2、(北京市西城区2012年4月高三抽样测试)下列四个正方体图形中,
A、B为正方
体的两个顶点,M、N、P分别为其所在棱的中点,能得出
AB//平面MNP的图形的序号是(
)
A.①、③B.①、④C.②、③D.②、④
答案:
B
3、(吉林省吉林市2012届上期末)三棱锥P—ABC的高PO=8,AC=BC=3,∠ACB=30°,M、N分别在BC和PO上,且CM=x,PN=2CM,试问下面的四个图像中哪个图像大致描绘了三
棱锥N—AMC的体积V与x的变化关系(x(0,3))()
答案:
A
ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,
过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:
AP∥GH.
平面α过正方形ABCD-A1B1C1D1的三个顶点B,D,A1,α与底面A1B1C1D1的交线为L,则L与B1D1的位置关系?
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实用标准文案
如图,正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE,BD上各有一点P,Q,且AP=DQ。
求证:
PQ∥面BCE
4下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则四个点不
共面的一个图是().
空间三条直线,其中一条和其他两条都相交,那这三条直线中的两条能确定的平面个数是多少
1、若三条直线只有一个交点,则可以确定一个或三个平面;
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实用标准文案
2、若这三条直线有两个不同的交点,则可以确定一个或三个平面。
3、若这三条直线有三个不同的交点,则可确定以一个平面。
答案:
一个或三个
线面平行的判定定理证明
线面平行的判定定理是:
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行。
线面平行的定义是:
若直线与平面没有公共点,则称此直线与该平面平行。
证明:
设直线a‖直线b,a不在平面α内,b在平面α内。
用反证法证明a‖α。
假设直线a与平面α不平行,则由于a不在平面α内,有a与α相交,设a∩α=A。
则点A不在直线b上,否则a∩b=A与a‖b矛盾。
过点A在平面α内作直线c‖b,由a‖b得a‖c。
而A∈a,且A∈c,即a∩c=A,这与a‖c相矛盾。
于是假设错误,故原命题正确。
(反证法)
例题2从正方体的棱和各个面上的对角线中选出
k条,使得其中任意两条线段所
在直线都是异面直线,求k的最大值.
解答考察如图所示的正方体上的四条线段AC,BC
D1
C1
,
1
D1B1,A1D,它们所在直线两两都是异面直线.又若有
A1
5条或5条以上两两异面的直线,则它们的端点相异
B1
且个数不少于10,与正方体只有8个顶点矛盾.故K
的最大值是4.
D
C
AB
练习1在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共计27个点中,问共线的三点组的个数是多少
解答两端点都为顶点的共线三点组共有
8
7
28个;两端点都为面的中心共线
2
三点组共有61
12
318个,且
3个;两端点都为各棱中点的共线三点组共有
2
2
没有别的类型的共线三点组,所以总共有28
31849个.
P使得
APD1P最短,
例题3
在单位正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线
A1B上存在一点
-
+
求AP+D1P的最小值.
解答将等腰直角三角形AA1B沿A1B折起至AA1B,使三角形AA1B与四边形A1BCD1
共面,联结AD1,则AD1的长即为AP+D1P的最小值,所以,
AD11212211cos135022
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实用标准文案
练习3已知单位正方体
ABCDA1B1C1D1
的对棱
BB1
D1
EBED1
-
、
上有两个动点、F,
=F=
(0
1).设EF与AB所成的角为
,与BC所成的角为
,求
的最小
2
值.
解答当
1时,
.不难证明
f()是单调减函数.因此
2
2
的最小值为.
2
例十七、(2000年全国联赛一试)一个球与正四面体的六条棱都相切,若正四面
体的棱长为a,则这个球的体积是.
分析:
由正四面体的图象的对称性可知,内切球的球心必为正四面体的中心,球与各棱相切,其切点必为各棱中点,考查三组对棱中点的连线交于一点,即为内
切球的球心,所以每组对棱间的距离即为内切球的直径,于是有:
2r
2a
2
3
P
∴V
4
2a
2
a3
3
4
24
练习:
同样可用体积法求出棱长为a的正四面体的外
接球和内切球的半径.分析可知,正四面体的内切球
R
O
C
与外接球球心相同,将球心与正四面体的个顶点相连,
r
A
E
D
可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥,于是可知内切球的半径即为正四面体
B
高度的四分之一,外接球半径即为高度的四分之三.故只要求出正四面体的高度即可.
2
又:
ha23a
2a2
6a,所以,R
6a,r
6a.
3
3
3
4
12
例二十三、(1991年全国联赛一试)设正三棱锥P—ABC的高为PO,M为PO的中点,过AM作与棱BC平行的平面,将三棱锥截为上、下两个部分,试求此两部分
的体积比.
分析:
取BC的中点D,连接PD交AM于G,设
所作的平行于BC的平面交平面PBC于EF,由
直线与平面平行的性质定理得:
EF∥BC,连接
AE,AF,则平面AEF为合乎要求的截面.
P
F
MG
HEC
作OH∥PG,交AG于点H,则:
OH=PG.
A
O
D
精彩文档B
实用标准文案
BC
PD
PGGD
1
GD
1
GD
1
AD
5;
EF
PG
PG
PG
OH
AO
2
故:
VAPEF
SPEF
EF
2
4;于是:
VAPEF
4.
VAPBC
SPBC
BC
25
VAEFBC
21
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实用标准文案
8、如果空间三条直线a,b,c两两成异面直线,那么与a,b,c都相交的直线有
(A)0条(B)1条(C)多于1的有限条(D)无穷多条
解:
在a、b、c上取三条线段AB、CC、AD,作一个平行六面体ABCD—ABCD,
在c上取线段AD上一点P,过a、P作一个平面,与DD交于Q、与CC交于R,则QR∥a,于是PR不与a平行,但PR与a共面.故PR与a相交.由于可以取无穷多个点P.故选D.
c
P
QD’C’b
DCR
aA‘B‘
ABS
3.设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得
截面四边形是平行四边形,则这样的平面()
(A)不存在(B)只有1个(C)恰有4个(D)有无数多个
例一、(1991年全国联赛一试)由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的
个数为
(A)4;(B)8;(C)12;(D)24.
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实用标准文案
分析:
一个正方体一共有8个顶点,根据正方体的结构特征可知,构成正三角形
的边必须是正方体的面对角线.考虑正方体的12条面对角线,从中任取一条可
与其他面对角线构成两个等边三角形,即每一条边要在构成的等边三角形中出现
两次,故所有边共出现2C12124次,而每一个三角形由三边构成,故一共可构成
的等边三角形个数为248个.
3
例1在桌面上放着四个两两相切、半径均为r的球,试确定其顶端离桌面的
高度;并求夹在这四个球所组成图形空隙中与四个球均相切的小球的半径.
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实用标准文案
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(2012
重庆)9.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1
,
2和a,且长为a的棱
与长为
2的棱异面,则a的取值范围是(A
)
A.(0,
2)B.
(0,3)C.
(1,2)
D.
(1,
3)
(2010全国)(6)
直三棱柱ABC
A1B1C1中,若
BAC
90,ABAC
AA1,
则异面直线BA1与AC1所成的角等于(C)
(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°
6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱ABCA1B1C1的性质、异面直线所成
的角、异面直线所成的角的求法.
【解析】延长CA到D,使得ADAC,则ADAC为平行四边形,DAB就是异
111
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实用标准文案
面直线
BA1与AC1所成的角,又三角形A1DB为等边三角形,
DA1B600
过正方体ABCDA1B1C1D1
的顶点
A
作直线a,使a与棱AB
ADAA1所在直线所成
-
的角都相等,这样的直线
a可以作(D
)
A)1条
B)2条
C
)3条D
)4条
(2010重庆)(9)到两互相垂直的异面直线的距离相等的点
(D)
(A)只有1个
(B)恰有3个
(C)恰有4个
(D)有无穷多个
11.如图,M是正方体
ABCD
A1B1C1D1的棱DD1的中点,给出下列命题
①过M点有且只有一条直线与直线AB、②过M点有且只有一条直线与直线AB、③过M点有且只有一个平面与直线AB、④过M点有且只有一个平面与直线AB、其中真命题是:
B1C1都相交;
B1C1都垂直;
B1C1都相交;
B1C1都平行.
AD
BC
M
A1D1
B1C1
A.②③④B.①③④C.①②④D.①②③
3、如图:
在正方体ABCDA1B1C1D1中,EF分别是棱BC与C1D1的中点.
求证:
EF//平面BDD1B1(方法两种)
D1E
C1
A1B1
DC
F
AB
4、如图,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.
求证:
PC//平面BDQ(隐含中点的运用)
P
Q
AD
BC
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实用标准文案
(20)(本题满分14分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=120°。
E为线段AB
的中点,将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE,使平面A’DE⊥平面BCD,F为线段A’C的中点。
求证:
BF∥平面A’DE(方法两种)
18.(本小题满分12分)
如图,直三棱柱ABC-ABC''',
AB=AC=AA',点M,N分别为AB'和证明:
MN//平面AACC'';
BAC=90,
BC''的中点
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