必修二立体几何较难的题目汇总情况doc.docx
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必修二立体几何较难的题目汇总情况doc
实用标准文案
1.四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH的表面积与四
面体ABCD的表面积的比值是（
）
A）1
B）
1
C）
1
D）
1
27
16
9
8
如图，连接AF、AG并延长与BC、CD相交于M、N，由于F、G分别是三角形的重心，
所以M、N分别是BC、CD的中点，
且AF：
AM=AG：
AN=2：
3，所以FG：
MN=2：
3，
又MN：
BD=1：
2，所以FG：
BD=1：
3，
即两个四面体的相似比是1：
3，
所以两个四面体的表面积的比是1：
9；故选C．
如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l，m分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C
和点D，E，F．已知AC＝15cm，DE＝5cm，AB︰BC＝1︰3，求AB，BC，EF的长
设平面α‖β,A、C∈α,B、D∈β直线AB与CD交于S，若AS=18,BS=9,CD=34,
则CS=?
68/3或68
与空间四边形ABCD四个顶点距离相等的平面共有多少个?
七个
你可以把它想象成一个三棱锥
四个顶点各对应一个有四个，
两条相对棱对应一个共三组相对棱因此有三个
总共有七个
如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等边三角形，
已知BD=2AD=8，AB=2DC=。
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实用标准文案
（1）设M是PC上的一点，证明：
平面MBD⊥平面PAD；
（2）求四棱锥P-ABCD的体积
解：
（1）证明：
在中，由于，，，
所以
故
又平面平面，平面平面，
平面，
所以平面，
又平面，
故平面平面。
（2）过作交于O，
由于平面平面，
所以平面
因此为四棱锥的高，
又是边长为4的等边三角形
因此
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实用标准文案
在底面四边形
中，
，
，
所以四边形
是梯形，
在
中，斜边
边上的高为
，
此即为梯形
的高，
所以四边形的面积为
故。
（2008福建）（6）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D
所成角的正弦值为
6
2
6
D1
C1
A1
B1
A.
B.
5
3
15
D.
10
D
C
C.
A
B
5
5
.（15）如图，二面角
l的大小是60°，线段AB
.Bl，
A
AB与l所成的角为
30°.则AB与平面
3
.
所成的角的正弦值是
4
B
19．（本小题满分12分）
1
如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD。
2
（1）证明：
DC1⊥BC；
C1
B1
（2）求二面角A1－BD－C1的大小。
A1
【解析】
（1）在Rt
DAC中，AD
AC，
得：
ADC45，
D
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C
B
A
实用标准文案
同理：
A1DC145
CDC190，
得：
DC1DC。
又DC1⊥BD，DCBDD，
所以DC1
平面BCD。
而BC
平面BCD，所以DC1
BC。
（2）解法一：
（几何法）
由DC1
BC,CC1
BC
BC
面ACC1A1
BC
AC。
取A1B1的中点O，连接C1O，OD。
因为1
1
11，所以
1
1
1，
AC
BC
CO
AB
因为面A1B1C1
面A1BD，所以C1O
面A1BD，从而C1O
BD，
又DC1⊥BD，所以BD
面DC1O，因为OD
平面DC1O，所以BDOD。
由
BD
OD
，BD⊥DC1，所以
C1DO
1
1
为二面角A－BD－C的平面角。
设AA1
2a，AC
BC
a，则C1O
2a
2a，
2
，C1D
在直角△C1OD，C1O
OD，C1O
1C1D，
2
所以C1DO
30
。
因此二面角A1
BD
C1的大小为30。
D1
C1
A1
O
B1
D
C
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A
B
实用标准文案
（2007）2、（北京市西城区2012年4月高三抽样测试）下列四个正方体图形中，
A、B为正方
体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出
AB//平面MNP的图形的序号是（
）
A.①、③B.①、④C.②、③D.②、④
答案：
B
3、（吉林省吉林市2012届上期末）三棱锥P—ABC的高PO=8，AC=BC=3，∠ACB=30°，M、N分别在BC和PO上，且CM=x，PN=2CM，试问下面的四个图像中哪个图像大致描绘了三
棱锥N—AMC的体积V与x的变化关系（x（0,3））（）
答案：
A
ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点,M是PC的中点,在DM上取一点G,
过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证:
AP∥GH.
平面α过正方形ABCD-A1B1C1D1的三个顶点B,D,A1,α与底面A1B1C1D1的交线为L,则L与B1D1的位置关系？
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实用标准文案
如图，正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP=DQ。
求证：
PQ∥面BCE
4下列各图是正方体或正四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则四个点不
共面的一个图是（）．
空间三条直线，其中一条和其他两条都相交，那这三条直线中的两条能确定的平面个数是多少
1、若三条直线只有一个交点，则可以确定一个或三个平面；
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实用标准文案
2、若这三条直线有两个不同的交点，则可以确定一个或三个平面。
3、若这三条直线有三个不同的交点，则可确定以一个平面。
答案：
一个或三个
线面平行的判定定理证明
线面平行的判定定理是：
若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行。
线面平行的定义是：
若直线与平面没有公共点，则称此直线与该平面平行。
证明：
设直线a‖直线b，a不在平面α内，b在平面α内。
用反证法证明a‖α。
假设直线a与平面α不平行，则由于a不在平面α内，有a与α相交，设a∩α=A。
则点A不在直线b上，否则a∩b=A与a‖b矛盾。
过点A在平面α内作直线c‖b，由a‖b得a‖c。
而A∈a，且A∈c，即a∩c=A，这与a‖c相矛盾。
于是假设错误，故原命题正确。
（反证法）
例题2从正方体的棱和各个面上的对角线中选出
k条，使得其中任意两条线段所
在直线都是异面直线，求k的最大值．
解答考察如图所示的正方体上的四条线段AC，BC
D1
C1
，
1
D1B1，A1D，它们所在直线两两都是异面直线．又若有
A1
5条或5条以上两两异面的直线，则它们的端点相异
B1
且个数不少于10，与正方体只有8个顶点矛盾．故K
的最大值是4．
D
C
AB
练习1在正方体的8个顶点、12条棱的中点、6个面的中心及正方体的中心共计27个点中，问共线的三点组的个数是多少
解答两端点都为顶点的共线三点组共有
8
7
28个；两端点都为面的中心共线
2
三点组共有61
12
318个，且
3个；两端点都为各棱中点的共线三点组共有
2
2
没有别的类型的共线三点组，所以总共有28
31849个．
P使得
APD1P最短，
例题3
在单位正方体ABCDA1B1C1D1的面对角线
A1B上存在一点
-
+
求AP+D1P的最小值．
解答将等腰直角三角形AA1B沿A1B折起至AA1B，使三角形AA1B与四边形A1BCD1
共面，联结AD1，则AD1的长即为AP+D1P的最小值，所以，
AD11212211cos135022
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实用标准文案
练习3已知单位正方体
ABCDA1B1C1D1
的对棱
BB1
D1
EBED1
-
、
上有两个动点、F，
=F=
（0
1）．设EF与AB所成的角为
，与BC所成的角为
，求
的最小
2
值．
解答当
1时，
．不难证明
f（）是单调减函数．因此
2
2
的最小值为．
2
例十七、（2000年全国联赛一试）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面
体的棱长为a，则这个球的体积是．
分析：
由正四面体的图象的对称性可知，内切球的球心必为正四面体的中心，球与各棱相切，其切点必为各棱中点，考查三组对棱中点的连线交于一点，即为内
切球的球心，所以每组对棱间的距离即为内切球的直径，于是有：
2r
2a
2
3
P
∴V
4
2a
2
a3
3
4
24
练习：
同样可用体积法求出棱长为a的正四面体的外
接球和内切球的半径．分析可知，正四面体的内切球
R
O
C
与外接球球心相同，将球心与正四面体的个顶点相连，
r
A
E
D
可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥，于是可知内切球的半径即为正四面体
B
高度的四分之一，外接球半径即为高度的四分之三．故只要求出正四面体的高度即可．
2
又：
ha23a
2a2
6a，所以，R
6a,r
6a．
3
3
3
4
12
例二十三、（1991年全国联赛一试）设正三棱锥P—ABC的高为PO，M为PO的中点，过AM作与棱BC平行的平面，将三棱锥截为上、下两个部分，试求此两部分
的体积比．
分析：
取BC的中点D，连接PD交AM于G，设
所作的平行于BC的平面交平面PBC于EF，由
直线与平面平行的性质定理得：
EF∥BC，连接
AE，AF，则平面AEF为合乎要求的截面．
P
F
MG
HEC
作OH∥PG，交AG于点H，则：
OH=PG．
A
O
D
精彩文档B
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BC
PD
PGGD
1
GD
1
GD
1
AD
5；
EF
PG
PG
PG
OH
AO
2
故：
VAPEF
SPEF
EF
2
4；于是：
VAPEF
4．
VAPBC
SPBC
BC
25
VAEFBC
21
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实用标准文案
8、如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有
（A）0条（B）1条（C）多于1的有限条（D）无穷多条
解：
在a、b、c上取三条线段AB、CC、AD，作一个平行六面体ABCD—ABCD，
在c上取线段AD上一点P，过a、P作一个平面，与DD交于Q、与CC交于R，则QR∥a，于是PR不与a平行，但PR与a共面．故PR与a相交．由于可以取无穷多个点P．故选D．
c
P
QD’C’b
DCR
aA‘B‘
ABS
3.设四棱锥PABCD的底面不是平行四边形,用平面去截此四棱锥,使得
截面四边形是平行四边形,则这样的平面（）
（A）不存在（B）只有1个（C）恰有4个（D）有无数多个
例一、（1991年全国联赛一试）由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的
个数为
（A）4；（B）8；（C）12；（D）24．
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分析：
一个正方体一共有8个顶点，根据正方体的结构特征可知，构成正三角形
的边必须是正方体的面对角线．考虑正方体的12条面对角线，从中任取一条可
与其他面对角线构成两个等边三角形，即每一条边要在构成的等边三角形中出现
两次，故所有边共出现2C12124次，而每一个三角形由三边构成，故一共可构成
的等边三角形个数为248个．
3
例1在桌面上放着四个两两相切、半径均为r的球，试确定其顶端离桌面的
高度；并求夹在这四个球所组成图形空隙中与四个球均相切的小球的半径．
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（2012
重庆）9.设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1
，
2和a，且长为a的棱
与长为
2的棱异面，则a的取值范围是（A
）
A.（0,
2）B.
（0,3）C.
（1,2）
D.
（1,
3）
（2010全国）（6）
直三棱柱ABC
A1B1C1中，若
BAC
90，ABAC
AA1，
则异面直线BA1与AC1所成的角等于（C）
（A）30°（B）45°（C）60°（D）90°
6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱ABCA1B1C1的性质、异面直线所成
的角、异面直线所成的角的求法.
【解析】延长CA到D，使得ADAC，则ADAC为平行四边形，DAB就是异
111
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面直线
BA1与AC1所成的角，又三角形A1DB为等边三角形，
DA1B600
过正方体ABCDA1B1C1D1
的顶点
A
作直线a，使a与棱AB
ADAA1所在直线所成
-
的角都相等，这样的直线
a可以作（D
）
A）1条
B）2条
C
）3条D
）4条
（2010重庆）（9）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点
（D）
（A）只有1个
（B）恰有3个
（C）恰有4个
（D）有无穷多个
11．如图，M是正方体
ABCD
A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题
①过M点有且只有一条直线与直线AB、②过M点有且只有一条直线与直线AB、③过M点有且只有一个平面与直线AB、④过M点有且只有一个平面与直线AB、其中真命题是：
B1C1都相交；
B1C1都垂直；
B1C1都相交；
B1C1都平行.
AD
BC
M
A1D1
B1C1
A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③
3、如图：
在正方体ABCDA1B1C1D1中，EF分别是棱BC与C1D1的中点.
求证：
EF//平面BDD1B1（方法两种）
D1E
C1
A1B1
DC
F
AB
4、如图，P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点.
求证：
PC//平面BDQ（隐含中点的运用）
P
Q
AD
BC
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实用标准文案
（20）（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=2BC，∠ABC=120°。
E为线段AB
的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A’DE，使平面A’DE⊥平面BCD，F为线段A’C的中点。
求证：
BF∥平面A’DE（方法两种）
18.（本小题满分12分）
如图，直三棱柱ABC-ABC'''，
AB=AC=AA'，点M,N分别为AB'和证明：
MN//平面AACC''；
BAC=90，
BC''的中点
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