让学生在数学学习中获得数学的基本思想.docx
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让学生在数学学习中获得数学的基本思想
让学生在数学学习中获得数学的基本思想
本刊特稿
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数学有用,数学很有用.我国着名的
数学家华罗庚曾说:
"宇宙之大,粒子之
微,火箭之速,化工之巧,地球之变,生物
之谜,日用之繁,无处不用数学".世人共
睹,数学不仅是自然科学和技术科学的基
础,而且在人文科学与社会科学中发挥着
越来越大的作用.人类社会生活的各个
一
方面都离不开数学.数学有如此威力,主
要是其独特的思维和方法在发挥作用.
一
学生"获得数学基本思想"的重要
意义
建国60多年,小学数学教育始终十分
重视开发学生的智慧,培养学生的思维能
力.1950年7月颁布的《小学算术课程暂
行标准（草案）》中规定:
"训练儿童善于运
用思考,推理,分析,综合和钻研问题的方
法和习惯";1963年9月颁布的《全日制小
学算术教学大纲（草案）》把使学生"具有
初步逻辑推理能力"作为小学算术教学的
目的之一;1978年2月颁布的《全日制十
年制学校小学数学教学大纲（试行草
案）》,1986年12月颁布的《全日制小学数
学教学大纲》,1992年6月颁布的《九年义
务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》
都把使学生"具有初步的逻辑思维能力"
作为重要的教学目的之一;2000年3月颁
布的《九年义务教育全日制小学数学教学
大纲（试用修订版）》明确规定"培养初步
的思维能力";2001年7月颁布的《全日制
义务教育数学课程标准（实验稿）》明确设
定"数学思考"方面的目标,今天的《义务
教育数学课程标准（2011年版）》（以下简
称《标准（2011年版）》）明确提出:
"通过义
务教育阶段的数学学习,学生能获得适应
社会生活和进一步发展所必需的数学的
基础知识,基本技能,基本思想,基本活动
梁秋莲（河南省基础教育教学研究室）
经验"的四基目标.从20世纪50年代到
进入21世纪,小学数学课程对培养学生思
维能力的目标由"训练儿童善于……运用
方法和习惯"一"培养初步的逻辑思维能
力"一拓展为"培养初步的思维能力"一提
升为"获得数学的基本思想".呈现由少
到多,由偏到全,由低到高的变革轨迹.
今天的数学教育,特别关注每个学生终身
可持续发展的基础,越来越重视数学思想
方法的教育.
1.确立数学基本思想目标适应时代发
展的需要.
人类跨进21世纪,开始步入信息化,
数字化,学习化时代.在当今世界,数学
的影响越来越广泛,越来越深远,从航天
技术到家庭理财,从大型工程设计实施到
工商管理,都离不开数学的思想,方法和
应用技术.当前各领域的高新技术几乎
都是通过数学模型和数学思想方法借助
计算机的控制来实现的.
新世纪,新时代,是信息变化快,科学
技术更新快,知识发展快的社会,要求人
们随时准备吸收新思想,认识事物的来龙
去脉,适应变革.人们深切体会到,越来
越需要进行数学式思维!
今天的社会要
求人们具有更高的数学素养.《标准（2011
年版）》明确指出:
"数学素养是现代社会
每一个公民应具备的基本素质".上世纪
5O,6O年代,要求每一个公民会写,会算
……
今天提出的数学素养,不仅仅指数学
的基础知识,基本技能,还强调数学的基
本思想,基本活动经验.学生在学习中获
得数学的基本思想方法,具有较高的数学
素养,才适应时代发展的需要.
2.实现数学基本思想目标是全面实施
素质教育的需要.
数学给予人们的不只是知识,更重要
的是智慧和能力.数学具有高度的抽象
性和逻辑的严密性.抽象不是数学所独
有的,但数学的抽象与其他学科不同.摒
弃研究对象的具体现象和内容的一切,只
保留其数量关系和空间形式,这种抽象的
绝对程度是数学独有的.由于它具有高
度的抽象性,所以又带来了自身逻辑的严
密性.在数学的学习中,时时需要参与观
察,操作,猜测,验证,讨论等活动,需要经
历抽象概括获取数学结论的过程.并且,
学生在获取数学结论的过程中感受数学
结论的精确,体验推理,验证（论证）的必
要性.数学培养学生的抽象概括能力,数
学给学生以严密思维的熏陶.每天的数
学课带给学生以抽象,带给学生发现真
理,理解真理的实践机会,让学生有条理
地,简约地进行思考……事实上,数学所
具有的抽象性,严密性,系统性,应用的广
泛性等特性,决定了数学以学科自身的品
质,开启学生思维,陶冶学生情感,培养学
生的实践能力和创新精神,促进学生素质
全面发展.
数学学习中,学生要凭借各种数学活
动,用数学的方法,数学的眼光观察现实
世界,分析探究数学现象和问题,经历数
学化的过程,实现数学的再创造.一次次
的"再创造",将培养学生用数学的眼光,
数学思维观察分析世界的习惯,培养学生
对空间和数量关系的敏感性;一次次探索
数学知识的活动,将培养学生本质地看问
题的意识,使学生逐步形成严谨,求实的
科学态度;一次次的探索活动,将培养学
生寻找事物的共同特征和规律的意识和
习惯.同时,通过数学教学活动可以让学
生产生浓厚的数学学习兴趣,对数学有好
小学数学教育2012.3i固
—————————本
BEN
刊
KAN
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特
TEG
稿AO——一
奇心与求知欲;可以让学生在不断体验成
功的数学活动中,锻炼意志,树立学习信
心;可以让学生在不断探索中,形成实事
求是的科学精神,养成独立思考,敢于质
疑,认真细致等良好的习惯……教学实践
告诉我们,在数学教学中可以创造很多机
会和条件,促进上述"目标"的实现!
数学教育是为所有学生的未来发展
打基础的.今天的数学课堂,更应是素质
教育的课堂,要让学生在获取数学基础知
识和基本技能的活动中,逐步体验,领悟
数学的基本思想方法,逐步具备基本的思
维能力,科学态度,理性精神,创新意识等
基本素质,为学生未来的生活,工作,学习
和发展打好基础.
3."数学的基本思想"是学生学习数学
的需要.
数学知识是数学思维活动的产物,数
学也是体现理性思维的最好载体.把数
学看成是用数学的思想与方法,不断把与
实际问题有关的材料进行整理和组织起
来的活动,而不是一些静止的结论.那
么,学生在活动中获得的数学结论,体验
数学结论形成的过程,领悟其中蕴含的数
学思想方法,以及积累的数学活动经验,
都是学生应当拥有的数学学习内容.《标
准（2011年版）》明确指出:
数学课程内容
"不仅包括数学的结果,也包括数学结果
的形成过程和蕴含的数学思想方法".有
人讲:
数学思维是动的数学,数学结论本
身是静的数学.从学生的学习角度看,数
学学习应该看成是数学思维过程和数学
思维结果二者的结合.今天的数学课堂
上,十分重视创造条件和机会,让学生通
过自己动手,动脑,动口的活动,亲历数学
知识的再创造或再发现的过程.这个过
程,让学生了解数学知识是怎样得出来
的,真正弄懂所学知识.这个过程,是学
生通过自己的思维学习数学的过程.让
学生尝试,体验数学式的思考,感受探索
数学知识的乐趣,数学知识的掌握和思维
能力的培养融于同一过程之中.
数学知识的掌握与思维能力的培养
是相辅相成的,不依赖思维,不能学好数
学;正确的数学教学,必然有助于思维能
力的提高.小学数学教学中,有意识地,
恰当地渗透一些基本的数学思想方法,可
以加深学生对数学知识的理解,可以提高
学生的思维能力,实践能力,解决问题的
能力和学习能力,还有利于培养学生的探
索兴趣和创新意识.
二,数学基本思想目标的内涵
数学课程目标,就是对学生义务教育
阶段数学学习达成标准的"预期".《标准
（2011年版）》中的总体目标,概述为三
条.首先,强调了义务教育阶段数学教育
的基本目标,既要让学生获得适应社会生
活和进一步发展所必需的数学的基本知
识,基本技能,还要让学生获得必需的数
学的基本思想,基本活动经验.其次,义
务教育阶段的数学学习着眼于为学生未
来的生活,工作和学习打好基础,让学生
"体会数学知识之间,数学与其他学科之
间,数学与生活之间的联系,运用数学的
思维方式进行思考,增强发现和提出问题
的能力,分析和解决问题的能力".再次,
义务教育阶段的数学学习定位于促进学
生的整体发展,让学生"了解数学的价值,
提高学习数学的兴趣,增强学好数学的信
心,养成良好的学习习惯,具有初步的创
新意识和科学态度".凸现出提高学生的
数学素养,适应时代发展的需要,适应数
学发展的需要,适应学生发展的需要.今
天的数学教育,更为关注向学生提供具有
现实背景的数学,让学生从现实背景中
"看到"数学,应用数学去思考和解决问
题.让学生在数学的学习活动中获得和
应用数学的结论,体会数学与现实世界和
人类进步的密切联系,体验领悟数学的基
本思想方法:
观察,比较,抽象,推理,实
验,猜想,证明……学会"数学地思考",使
学生终生受益.
1.数学的基本思想.
数学是人类创造活动的产物,是人类
文化和智慧成就中最伟大的一部分.数
学作为一种文化,其教育价值在于对人们
的观念,理性精神和思维方式的形成与发
展有着独特的作用.数学是研究数量关
系和空间形式的科学.数学产生与发展
所依赖的思想,本质上有抽象,推理,模
型.
（1）抽象.
抽象,是从某一种角度把所研究事物
的本质属性或特征抽取出来的思维方
法.数学的抽象与其他学科不同.其他
自然学科把抽象的共识与某个确定的领
域对应起来研究,如物理是研究物质运动
的一般规律,化学是研究物质组成,结构,
性质及其变化的规律,等等.数学的抽
象,摒弃其具体现象和内容的一切,只保
留其数量关系和空间形式.数学中的概
念,符号,关系,定理,方法等都是数学抽
象或再抽象的思维结果.数学学习中,学
生要一次次研究客观对象的数量与数量
关系,图形与图形关系,一次次经历抽象
的过程,获得数学的结论和提高认识.恰
恰是这一次次的经历抽象过程,逐步培养
和发展学生的抽象思维能力.
（2）推理.
推理,是理论概括的重要形式,是人
们认识客观规律的必要手段.人类的许
多知识都是依据已有的认识借助推理而
得到发展的.由一个或几个已知判断推
出另一个新的判断的思维形式就是推
理.数学推理是由已知的数学命题得出
新命题的基本思维形式,通常是指严格意
义下的推理.严格推理每前进一步都有
所依据,由此探求数学中的各种因果关
系,表现出数学思维的严谨性.推理一般
包括合情推理和演绎推理两种.小学数
学的学习离不开推理,而且随知识的积
累,年级的升高,运用已知获得新知识的
成分逐步增长.例如,通过对40+56=56+
40,25+75=75+25,200+100=100+200,……
直接观察,进行归纳推理获得加法交换
律;从÷=而6=西9,争==20归纳推
理出分数的基本性质.再如,在分数,比
的教学中,引导学生与除法的有关部分类
比:
从除法中的"除数不能是零"推出分数
中的"分母不能是零",推出比中的"比的
后项不能是零";从除法中的商不变的性
质推出分数的基本性质,推出比的基本性
质……又如,解决实际问题时,思考由什
么信息条件解决什么问题,要解决的问题
必须知道哪些信息条件,就是推理.在数
学学习中,学生常经历归纳的过程获得数
学结论,常经历类比的过程化生为熟发现
结论,沟通知识间的联系,还要经历演绎
推理的过程简化计算,经历推理的过程探
索解决问题的思路……学生在数学学习
中,逐步体验领悟推理的方法,积累推理
的经验,逐步发展推理能力,形成推理意
识.《标准（2011年版）》首次将"推理能力"
圃l小学数学教育2012.3
单独作为课程内容的核心概念之一提出,
明确了培养学生推理能力是数学教育的
主要内容和目标之一.让学生在数学的
学习中学会思考,学会推理,将使学生受
益终生.
（3）模型.
模型,辞海中的解释:
在自然辩证法
上,与"原型"相对.研究对象的替代物.
原型,即客观存在的研究对象;模型,则是
具有原型相似特征的替代物,是系统或过
程的简化,抽象和类比的表示.模型思维
强调事物的整体性和本质的同一性.模
型思想在数学思想方法中有非常重要的
地位,许多数学家把数学看成是"关于模
型的科学".数学模型是用数学语言概括
地或近似地表述出研究对象的特征,数量
关系和空间形式的一种数学结构.从广
义的角度看,一切数学的概念,原理和数
学的理论体系,都视为数学模型.就其狭
义而言,是指能描述或反映特定问题或具
体事物关系的数学结构.数学模型方法,
是把研究,考察的实际问题或理论问题抽
象为数学问题,建立相应的数学模型,通
过对数学模型研究得出原问题的解决方
法.数学家用数学模型法解决了许多数
学理论问题,促进数学向前发展.更有意
义的是,数学模型方法把数学的思想方法
功能转化成科学研究的实际力量.数学
模型方法在自然科学,社会科学,经济领
域,在天文学,生物学,医学,物理学,军事
学,语言学等一切科学领域和人类活动的
各个方面,都有比较广泛的应用.数学模
型方法,是阐述客观现象和解决实际问题
的重要工具,是各门科学数学化的重要手
段,是预测各种现象和控制各种过程的有
效方法……是处理各种实际问题和数学
理论问题的一般方法.
数学模型是数学基础知识与数学应
用之间的桥梁.《标准（2011年版）》课程内
容部分明确提出:
注重发展学生的"模型
思维",并具体解释为"模型思想的建立是
帮助学生体会和理解数学与外部世界联
系的基本途径.建立和求解模型过程包
括:
从现实生活或具体情境中抽象出数学
问题,用数学符号建立方程,不等式,函数
等表示问题中的数量关系和变化规律,求
出结果,并讨论结果的意义.这些内容的
学习有助于学生初步形成模型思想,提高
奄特穗………………………一…………………
霹≤NKA￡GAO鬃
学习数学的兴趣和应用意识".在数学学
习中,建立数概念,认识运算,探索规律
……
学生主动获取知识,需要经历探索建
立数学模型过程.例如,利用若干个相同
的1cm.的正方形测量一个长方形的面积
引发猜测,到测量和探究几个不同长方形
中含有lcm正方形的个数与长方形的长
和宽的关系,再到归纳出长方形的面积计
算公式建立模型S=ab,学生经历了一个模
型化的过程,实现数学的"再创造".又
如,用方程解决实际问题,学生就要经历
运用数学知识分析数量关系,建立数学模
型和运用模型解决问题的过程.在这个
过程中,学生能深切体会到数学与现实世
界的联系,体会数学的应用价值,产生对
数学学习的兴趣.而今,数学教学注重以
"问题情境——建立模型——解释与应
用"的模式展开,让学生经历建立和处理
数学模型的过程,运用数学知识解决实际
问题;让学生从实际情境中发现数学,"再
创造"数学,获得新的数学知识.这样的
数学活动,既利于学生理解,掌握数学的
知识与技能,感悟数学思想;又利于培养
发展学生发现和提出问题的能力,分析和
解决问题的能力,同时增强学生的应用意
识和创新意识.
2.关于数学思考.
义务教育阶段的数学教育是一种公
民教育,是为学生的进一步学习和发展打
基础的.数学课程的总目标分为知识技
能,数学思考,问题解决,情感态度四个方
面具体阐述.并且,特别强调:
总目标的
这四个方面,不是相互独立和割裂的,而
是一个密切联系,相互交融的有机整体
……
这些目标的整体实现,是学生受到良
好数学教育的标志,它对学生的全面,持
续,和谐发展有着重要的意义.数学思
考,问题解决,情感态度的发展离不开知
识技能的学习,知识技能的学习必须有利
于其他三方面'目标的实现.教学中,我们
需要关注各方面目标,更要认识到,数学
思考,问题解决,情感态度方面的发展,是
学生终身可持续发展的基础.
（1）关于数学思考目标.
"数学思考"是指,在面临各种问题情
境（特别是非数学问题）时,能用数学的眼
光,从数学的角度观察和思考问题,发现
其中的数学问题并运用数学知识和方法
解决问题.《标准（2011年版）》明确数学思
考目标的基本内容是:
①建立数感,符号
意识和空间观念,初步形成几何直观和运
算能力,发展形象思维与抽象思维.②体
会统计方法的意义,发展数据分析观念,
感受随机现象在参与观察,实验,猜
想,证明,综合实践等数学活动中,发展合
情推理和演绎推理能力,清晰地表达自己
的想法.④学会独立思考,体会数学的基
本思想和思维方式.并细化在各学段的
各学习领域之内.数学思考目标内涵丰
富,直接指向学生在与数学相关的一般思
维水平方面的发展.一是注重培养学生
能数学地观察,思考问题的观念与意识,
建立数感,符号意识,空间观念,初步形成
几何直观能力,发展数据分析观念;二是
注重发展学生的思维能力,既发展学生的
形象思维又发展学生的抽象思维,发展合
情推理和演绎推理能力;三是鼓励学生清
晰地表达自己的想法,发展交流能力;四
是关注学生对数学的基本思想和思维方
式的体会,让学生学会独立思考,形成良
好的思考习惯.数学思考目标,体现了数
学课程重视提高学生的数学素养,着眼于
培养学生终身学习和发展的能力.
以往,人们对数学的描绘就是用纸,
笔进行运算与证明,很难体会到试验,合
情推理等一系列科学活动的重要性.计
算机的出现,完全改变了这种状况.实
验,尝试错误,模型模拟已成为数学家或
工程技术人员研究数学,应用数学最常见
的策略.同时,信息社会需要每个人学会
收集信息,加【处理信息数据,做出判断,
进行决策.所以,在义务教育阶段的数学
思考应发展抽象思维,形象思维,数据分
析观念及合情推理,演绎推理能力.我们
需要从实施素质教育角度,力求实现数学
思考目标.在数学课堂上,要为学生提供
具有现实背景的数学,包括生活中的数
学,学生感兴趣的数学和利于学生学习与
成长的数学.把数学与现实世界紧密联
系在一起,让学生在现实生活中学习数
学,再把所学数学知识和方法应用到现实
中去.创设观察,实验,猜想,证明,综合
实践,交流讨论等数学活动,让学生亲历
将一些实际问题抽象为数与代数问题的
过程,让学生亲历用数,符号记录和交流
信息,建立数学模型解决问题的过程,让
小学数学教育2012.3i固
……………～………——………—
T
静
EG
祷AO……～———
学生亲历收集整理数据,分析数据做出判
断的过程……这一次次的"亲历……过
程",让学生学会独立思考,学会从现实情
境中"看到"数学,学会用数学去思考和解
决问题,获得思维能力的提高和发展.
（2）数学思维的基本形式.
数学思维的活动形式与一般的科学
思维活动形式相同,从思维活动总体规律
的角度观察,分为逻辑思维,形象思维和
直觉思维（又称灵感思维）三种类型.
逻辑思维是以概念为思维的基本单
元,以抽象为基本的思维方法,以语言,符
号为基本的表达工具,有严格的思维规则
的思维方式.其关注的是正确性,确定
性.这种思维形式是在现有知识,经验内
的思维活动,有一定的局限性.单凭逻辑
思维,会限制思维的开放性,开拓性,不便
产生新思想,新发现,新发明,新创造.数
学逻辑思维以数学概念为思维材料,以数
学语言,符号为思维载体,每进一步都有
充分的依据.逻辑思维以抽象性为主要
特征.其基本形式是概念,判断和推理.
形象思维是借助具体可感的形象,通
过联想,想象,类比,夸张等而展开的思维
方式.爱因斯坦指出:
"想象力比知识更
重要.因为知识是有限的,想象力概括着
世界的一切.推动世界进步,是知识进化
的源泉."许多发明家都是借助形象思维,
把头脑中毫无关系的信息联系起来,而产
生奇思妙想的.形象思维是数学学习和
研究中不可缺少的手段.数字,实物,图
表,几何形体,数学模型等都是常用的形
象思维材料.例如,借助形象思维材料描
述概括点,直线,射线等概念;运用线段
图,矩形图分析数量关系;把某个数学问
题转化成图形来解决……形象思维的主
要特征是思维材料的形象性,基本形式是
表象,直感和想象.
直觉思维（又称灵感思维）是以人的
直觉为接通媒介,并能获得有社会价值的
思维活动.对直觉思维的解释很多,英国
剑桥大学病理学家贝弗里奇认为"直觉是
指对情况的一种突如其来的颖悟或理
解";数学家F?
布鲁赫认为"直觉是把那些
已经了解很充分的对事物的认识拼起来,
形成一个完整的认识";我国着名的科学
家钱学森认为"直觉是一种人们没有意识
到的对信息的加工活动,是在潜意识中酝
酿问题然后在显意识中突然想通,于是一
下子得到了问题的答案,而对加工的具体
过程,我们没有意识到"……直觉思维是
一
种以高度省略,浓缩,简化的方式洞察
问题实质的思维.直觉思维具有不可预
期的突发性,不可重复的瞬间性,不可多
得的智慧性.它的主要特征是能在一瞬
间迅速解决问题,其基本形式是直觉与灵
感.数学直觉是一种直接反映数学对象
结构关系的心智活动形式.
不同领域的科学家,艺术家,发明家
有共同的经验:
只靠逻辑思维,形象思维
对某些难关不能突破.要突破,要创造,
需要一定的灵感.爱迪生有句名言:
"所
谓天才,是百分之一的灵感,加上百分之
九十九的努力."他进一步解释说:
"如果
拥有百分之一的灵感,可以引发更高一级
的智慧,经过努力,就能结出硕果,如果没
有灵感.再努力也是白搭."他还补充说:
"发明创造的根本即百分之一的灵感才是
最重要的."事实上,卓有成效的科学家,
发明家,他们分析问题,解决问题的思维
方法绝不局限于逻辑思维,而是运用综合
性的创新思维（或称创造性思维）.创新
思维是发散思维与集中思维的统一,是形
象思维与逻辑思维的结合,是直觉思维与
分析思维的互补,是潜意识思维与显意识
思维的交融.
20世纪80年代,东,西方两位着名科
学家钱学森和西蒙提出了以人脑这个"小
宇宙"为研究对象,建议单独形成一门科
学.这门科学在我国叫思维科学.在美国
则叫认知科学.钱学森指出:
"抽象思维
科学比较简单.一步一步地推理下去,就
如从一个点到下一个点……可以说是线
型的.……形象思维是面型的,多了一
维.……灵感思维涉及潜意识……是立
体型的."由此可见,钱学森所指的"思
维",包括抽象思维（逻辑思维）,形象思维
和直觉思维（灵感思维）.《标准（2011年
版）》把获得数学的基本思想设定为四基
之一,明确规定:
"建立数感,符号意识和
空间观念,初步形成几何直观和运算能
力,发展形象思维与抽象思维""体会统计
方法的意义?
发展数据分析观念,感受随
机现象""参与观察,实验,猜想,证明,综
合实践等数学活动中,发展合情推理和演
绎推理能力,清晰地表达自己的想法""学
会独立思考,体会数学的基本思想和思维
方式"等数学思考目标,实质上是把三种
思维方式有机地融合在一起了.今天的
数学教育,全面发挥培养思维能力的功
能,才能适应时代发展的需要,数学发展
的需要和人才发展的需要.
3./J,学数学中的数学思想方法.
数学思想与数学方法既有区别又有
密切联系.数学思想的理论性和抽象性
程度高一些,数学方法的实践性要强
些.实现数学思想,往往要靠一定的数学
方法;
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