全称量词和特称量词.docx

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全称量词和特称量词

3．1　全称量词与全称命题

3．2　存在量词与特称命题

明目标、知重点

　1.通过具体实例理解全称量词和存在量词的含义.2.会判断全称命题和特称命题的真假．

1．全称量词与全称命题

在命题的条件中，“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．含有全称量词的命题，叫作全称命题．

2．存在量词与特称命题

在命题中，“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．

含有存在量词的命题，叫作特称命题．

探究点一　全称量词与全称命题

思考1　下列语句是命题吗？

（1）与（3），

（2）与（4）之间有什么关系？

（1）x>3；

（2）2x＋1是整数；

（3）对所有的x∈R，x>3；

（4）对任意一个x∈Z,2x＋1是整数．

答　语句

（1）

（2）含有变量x，由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不是命题．语句（3）在

（1）的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句（4）在

（2）的基础上，用短语“对任意一个”对变量x进行限定，从而使（3）（4）成为可以判断真假的语句，因此语句（3）（4）是命题．

小结　短语“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”都是在指定范围内，表示整体或全部的含义，这样的词叫作全称量词．像这样含有全称量词的命题，叫作全称命题．

思考2　如何判定一个全称命题的真假？

答　要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p（x）成立；但要判定全称命题是假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得p（x0）不成立即可（即举反例）．

例1　判断下列全称命题的真假：

（1）所有的素数是奇数；

（2）任意x∈R，x2＋1≥1；

（3）对每一个无理数x，x2也是无理数．

解　

（1）2是素数，但2不是奇数．

所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题．

（2）任意x∈R，总有x2≥0，因而x2＋1≥1.

所以，全称命题“任意x∈R，x2＋1≥1”是真命题．

（3）

是无理数，但（

）2＝2是有理数．

所以，全称命题“对每一个无理数x，x2也是无理数”是假命题．

反思与感悟　判断全称命题的真假，要看命题是否对给定集合中的所有元素成立．

跟踪训练1　试判断下列全称命题的真假：

（1）任意x∈R，x2＋2>0；

（2）任意x∈N，x4≥1.

（3）对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.

解　

（1）由于任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0，所以命题“任意x∈R，x2＋2>0”是真命题．

（2）由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“任意x∈N，x4≥1”是假命题．

（3）由于任意α∈R，sin2α＋cos2α＝1成立．所以命题“对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1”是真命题．

探究点二　存在量词与特称命题

思考1　下列语句是命题吗？

（1）与（3），

（2）与（4）之间有什么关系？

（1）2x＋1＝3；

（2）x能被2和3整除；

（3）存在一个x0∈R，使2x0＋1＝3；

（4）至少有一个x0∈Z，使x0能被2和3整除．

答　

（1）

（2）不是命题，（3）（4）是命题．语句（3）在

（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量x的取值进行限定；语句（4）在

（2）的基础上，用“至少有一个”对变量x的取值进行限定，从而使（3）（4）变成了可以判断真假的语句，因此语句（3）（4）是命题．

小结　“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”都有表示个别或一部分的含义，这样的词叫作存在量词．像这样含有存在量词的命题，叫作特称命题．

思考2　怎样判断一个特称命题的真假？

答　要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x＝x0，使p（x0）成立即可，否则，这一特称命题是假命题．

例2　判断下列特称命题的真假：

（1）有一个实数x0，使x

＋2x0＋3＝0；

（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；

（3）有些整数只有两个正因数．

解　

（1）由于任意x∈R，x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2≥2，因此使x2＋2x＋3＝0的实数x不存在．所以，特称命题“有一个实数x0，使x

＋2x0＋3＝0”是假命题．

（2）由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同一条直线．所以，特称命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题．

（3）由于存在整数3只有两个正因数1和3，所以特称命题“有些整数只有两个正因数”是真命题．

反思与感悟　特称命题是含有存在量词的命题，判断一个特称命题为真，只需在指定集合中找到一个元素满足命题结论即可．

跟踪训练2　判断下列命题的真假：

（1）存在x0∈Z，x

<1；

（2）存在一个四边形不是平行四边形；

（3）有一个实数α，tanα无意义；

（4）存在x0∈R，cosx0＝

.

解　

（1）∵－1∈Z，且（－1）3＝－1<1，

∴“存在x0∈Z，x

<1”是真命题．

（2）真命题，如梯形．

（3）真命题，当α＝

时，tanα无意义．

（4）∵当x∈R时，cosx∈[－1,1]，

而

>1，∴不存在x0∈R，

使cosx0＝

，

∴原命题是假命题．

探究点三　全称命题、特称命题的应用

思考　不等式有解和不等式恒成立有何区别？

答　不等式有解是存在一个元素，使不等式成立，相当于一个特称命题；不等式恒成立则是给定集合中的所有元素都能使不等式成立，相当于一个全称命题．

例3　

（1）已知关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，求实数a的取值范围；

（2）令p（x）：

ax2＋2x＋1>0，若对任意x∈R，p（x）是真命题，求实数a的取值范围．

解　

（1）关于x的不等式x2＋（2a＋1）x＋a2＋2≤0的解集非空，∴Δ＝（2a＋1）2－4（a2＋2）≥0，即4a－7≥0，

解得a≥

，∴实数a的取值范围为

.

（2）∵对任意x∈R，p（x）是真命题．

∴对任意x∈R，ax2＋2x＋1>0恒成立，

当a＝0时，不等式为2x＋1>0不恒成立，

当a≠0时，若不等式恒成立，则

∴a>1.

反思与感悟　有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别．

跟踪训练3　

（1）对于任意实数x，不等式sinx＋cosx>m恒成立，求实数m的取值范围；

（2）存在实数x，不等式sinx＋cosx>m有解，求实数m的取值范围．

解　

（1）令y＝sinx＋cosx，x∈R，

∵y＝sinx＋cosx＝

sin

≥－

，

又∵任意x∈R，sinx＋cosx>m恒成立，

∴只要m<－

即可．

∴所求m的取值范围是（－∞，－

）．

（2）令y＝sinx＋cosx，x∈R，

∵y＝sinx＋cosx＝

sin

∈[－

，

]．

又∵存在x∈R，sinx＋cosx>m有解，

∴只要m<

即可，

∴所求m的取值范围是（－∞，

）．

1．下列命题中特称命题的个数是（　　）

①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x∈R，总有|sinx|≤1.

A．0B．1C．2D．3

答案　B

解析　命题①含有存在量词；命题②可以叙述为“所有的正方形都是菱形”，故为全称命题；命题③可以叙述为“一切能被6整除的数都能被3整除”，是全称命题；而命题④是全称命题．故有一个特称命题．

2．下列命题中，不是全称命题的是（　　）

A．任何一个实数乘以0都等于0

B．自然数都是正整数

C．每一个向量都有大小

D．一定存在没有最大值的二次函数

答案　D

解析　D选项是特称命题．

3．下列命题中的假命题是（　　）

A．存在x∈R，lgx＝0B．存在x∈R，tanx＝1

C．任意x∈R，x3>0D．任意x∈R,2x>0

答案　C

解析　对于A，当x＝1时，lgx＝0，正确；对于B，当x＝

时，tanx＝1，正确；对于C，当x＜0时，x3＜0，错误；对于D，任意x∈R,2x＞0，正确．

4．用量词符号“任意”“存在”表述下列命题：

（1）凸n边形的外角和等于2π.

（2）有一个有理数x0满足x

＝3.

（3）对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.

解　

（1）任意x∈{x|x是凸n边形}，x的外角和是2π.

（2）存在x0∈Q，x

＝3.

（3）任意α∈R，sin2α＋cos2α＝1.

[呈重点、现规律]

1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．

2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．

3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．

一、基础过关

1．下列命题：

①中国公民都有受教育的权利；

②每一个中学生都要接受爱国主义教育；

③有人既能写小说，也能搞发明创造；

④任何一个数除0，都等于0.

其中全称命题的个数是（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案　C

解析　命题①②④都是全称命题．

2．下列特称命题是假命题的是（　　）

A．存在x∈Q，使2x－x3＝0

B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0

C．有的素数是偶数

D．有的有理数没有倒数

答案　B

解析　对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝（x＋

）2＋

>0恒成立．

3．给出四个命题：

①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x>0；④对于任意实数x,2x＋1是奇数．下列说法正确的是（　　）

A．四个命题都是真命题

B．①②是全称命题

C．②③是特称命题

D．四个命题中有两个假命题

答案　C

解析　①④为全称命题；②③为特称命题；①②③为真命题；④为假命题．

4．下列全称命题中真命题的个数为（　　）

①负数没有对数；

②对任意的实数a，b，都有a2＋b2≥2ab；

③二次函数f（x）＝x2－ax－1与x轴恒有交点；

④任意x∈R，y∈R，都有x2＋|y|>0.

A．1B．2C．3D．4

答案　C

解析　①②③为真命题．

5．下列全称命题为真命题的是（　　）

A．所有的素数是奇数

B．任意x∈R，x2＋3≥3

C．任意x∈R,2x－1＝0

D．所有的平行向量都相等

答案　B

6．下列命题中，真命题是________．

①存在x0∈

，sinx0＋cosx0≥2；

②任意x∈（3，＋∞），x2>2x＋1；

③存在m∈R，使函数f（x）＝x2＋mx（x∈R）是偶函数；

④任意x∈

，tanx>sinx.

答案　②③

解析　对于①，

任意x∈

，sinx＋cosx＝

sin

≤

，

∴此命题为假命题；

对于②，当x∈（3，＋∞）时，x2－2x－1＝（x－1）2－2>0，

∴此命题为真命题；

对于③，当m＝0时，f（x）＝x2为偶函数，

∴此命题为真命题；

对于④，当x∈

时，tanx<0

∴此命题为假命题．

7．判断下列命题是否为全称命题或特称命题，并判断其真假．

（1）存在一条直线，其斜率不存在；

（2）对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解；

（3）存在实数x0，使得

＝2.

解　

（1）是特称命题，是真命题．

（2）是全称命题，是假命题．

（3）是特称命题，是假命题．

二、能力提升

8．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案　（－∞，3]

解析　对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.

9．给出下列四个命题：

①a⊥b⇔a·b＝0；②矩形都不是梯形；

③存在x，y∈R，x2＋y2≤1；

④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1.

其中全称命题是________．

答案　①②④

解析　①②省略了量词“所有的”，④含有量词“任意”．

10．四个命题：

①任意x∈R，x2－3x＋2>0恒成立；②存在x∈Q，x2＝2；③存在x∈R，x2＋1＝0；④任意x∈R,4x2>2x－1＋3x2.其中真命题的个数为________．

答案　0

解析　x2－3x＋2>0，Δ＝（－3）2－4×2>0，

∵当x>2或x<1时，x2－3x＋2>0才成立，

∴①为假命题．

当且仅当x＝±

时，x2＝2，

∴不存在x∈Q，使得x2＝2，

∴②为假命题，

对任意x∈R，x2＋1≠0，

∴③为假命题，

4x2－（2x－1＋3x2）＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，

即当x＝1时，4x2＝2x－1＋3x2成立，

∴④为假命题．

∴①②③④均为假命题．

11．判断下列命题的真假：

（1）对任意x∈R，|x|>0；

（2）对任意a∈R，函数y＝logax是单调函数；

（3）对任意x∈R，x2>－1；

（4）存在a∈{向量}，使a·b＝0.

解　

（1）由于0∈R，当x＝0时，|x|>0不成立，因此命题“对任意x∈R，|x|>0”是假命题．

（2）由于1∈R，当a＝1时，y＝logax无意义，因此命题“对任意a∈R，函数y＝logax是单调函数”是假命题．

（3）由于对任意x∈R，都有x2≥0，因而有x2>－1.

因此命题“对任意x∈R，x2>－1”是真命题．

（4）由于0∈{向量}，当a＝0时，能使a·b＝0，因此命题“存在a∈{向量}，使a·b＝0”是真命题．

12．已知函数f（x）＝x2－2x＋5.

（1）是否存在实数m，使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立？

并说明理由；

（2）若存在实数x，使不等式m－f（x）>0成立，求实数m的取值范围．

解　

（1）不等式m＋f（x）>0可化为m>－f（x），即m>－x2＋2x－5＝－（x－1）2－4.要使m>－（x－1）2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f（x）>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.

（2）不等式m－f（x）>0可化为m>f（x）．

若存在实数x使不等式m>f（x）成立，

只需m>f（x）min.

又f（x）＝（x－1）2＋4，

所以f（x）min＝4，所以m>4.

故所求实数m的取值范围是（4，＋∞）．

三、探究与拓展

13．若任意x∈R，函数f（x）＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．

解　①当m＝0时，f（x）＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；

②当m≠0时，二次函数f（x）＝mx2＋x－m－a的图像和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m（m＋a）≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．

又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝（4a）2－16≤0，解得－1≤a≤1.

综上所述，当m＝0时，a∈R；

当m≠0时，a∈[－1,1]．