中考数学一轮复习学案第24讲 圆的有关性质.docx

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中考数学一轮复习学案第24讲圆的有关性质

第24讲　圆的有关性质

【考纲要求】

1．理解圆的有关概念和性质，了解圆心角、弧、弦之间的关系．

2．了解圆心角与圆周角及其所对弧的关系，掌握垂径定理及推论.

【命题趋势】

中考主要考查圆的有关概念和性质，与垂径定理有关的计算，与圆有关的角的性质及其应用．题型以选择题、填空题为主.

【考点探究】

考点一、垂径定理及推论

【例1】在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（　　）

A．6分米B．8分米

C．10分米D．12分米

分析：

如图，油面AB上升1分米得到油面CD，依题意得AB＝6，CD＝8，过O点作

AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE＝AB＝3，CF＝CD＝4，设OE＝x，则OF＝x－1，在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，在Rt△OCF中，OC2＝CF2＋OF2，由OA＝OC，列方程求x即可求得半径OA，得出直径MN.

解析：

如图，依题意得AB＝6，CD＝8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，

由垂径定理，得AE＝AB＝3，CF＝CD＝4，

设OE＝x，则OF＝x－1，

在Rt△OAE中，OA2＝AE2＋OE2，

在Rt△OCF中，OC2＝CF2＋OF2，

∵OA＝OC，∴32＋x2＝42＋（x－1）2，解得x＝4，∴半径OA＝＝5，∴直径MN＝2OA＝10（分米）．故选C.

答案：

C

方法总结有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的．

触类旁通1如图所示，若⊙O的半径为13cm，点P是弦AB上一动点，且到圆心的最短距离为5cm，则弦AB的长为__________cm.

考点二、圆心（周）角、弧、弦之间的关系

【例2】如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.

（1）求证：

DB平分∠ADC；

（2）若BE＝3，ED＝6，求AB的长．

解：

（1）证明：

∵AB＝BC，

∴

.∴∠ADB＝∠BDC，

∴DB平分∠ADC.

（2）由

（1）知

，∴∠BAE＝∠ADB.

∵∠ABE＝∠ABD，∴△ABE∽△DBA.∴＝.

∵BE＝3，ED＝6，∴BD＝9.

∴AB2＝BE·BD＝3×9＝27.∴AB＝3.

方法总结圆心角、弧、弦之间的关系定理，提供了从圆心角到弧到弦的转化方式，为我们证明角相等、线段相等和弧相等提供了新思路，解题时要根据具体条件灵活选择应用．

触类旁通2如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上，若∠C＝40°，则∠ABD的度数为（　　）

A．40°B．50°

C．80°D．90°

考点三、圆周角定理及推论

【例3】如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD＝（　　）

A．116°B．32°

C．58°D．64°

解析：

根据圆周角定理求得，∠AOD＝2∠ABD＝116°（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），∠BOD＝2∠BCD（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半）；根据平角是180°知∠BOD＝180°－∠AOD.还有一种解法，即利用直径所对的圆周角等于90°，可得∠ADB＝90°，则∠DAB＝90°－∠ABD＝32°，∵∠DAB＝∠DCB，∴∠DCB＝32°.

答案：

B

方法总结求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角或圆心角与弧之间的关系．

触类旁通3如图，点A，B，C，D都在⊙O上，

的度数等于84°，CA是∠OCD的平分线，则∠ABD＋∠CAO＝__________.

【经典考题】

A．CM＝DMB．

C．∠ACD＝∠ADCD．OM＝MD

3．（2013湖州）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，∠C＝50°，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，则∠BAD的度数是（　　）

（第3题图）

A．45°B．85°C．90°D．95°

4．（2013衢州）工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为__________mm.

7．（2013长沙）如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC＝∠APC＝60°.

（1）求证：

△ABC是等边三角形；

（2）求圆心O到BC的距离OD.

【模拟预测】

1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝10，CD＝8，那么线段OE的长为（　　）

A．5B．4

C．3D．2

2．如图，直径为10的⊙A经过点C（0,5）和点O（0,0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为（　　）

A．B．

C．D．

3．一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（　　）

A．16　　　　　B．10

C．8D．6

4．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位，OF＝6个单位，则圆的直径为（　　）

（第4题图）

A．12个单位B．10个单位

C．4个单位D．15个单位

5．已知如图，在圆内接四边形ABCD中，∠B＝30°，则∠D＝__________.

（第5题图）

6．如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，如果∠A＝63°，那么∠DBE＝__________.

（第6题图）

7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC＝5，DC＝3，AB＝4，则⊙O的直径等于________．

（第7题图）

8．如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC＝AF，延长DF与BA的延长线交于点E.求证：

（1）△ABD为等腰三角形；

（2）AC·AF＝DF·FE.

参考答案

【考点探究】

触类旁通1．24　连接OA，当OP⊥AB时，OP最短，此时OP＝5cm，且AB＝2AP.在Rt△AOP中，AP＝＝＝12，所以AB＝24cm.

触类旁通2．B　由题意，得∠A＝∠C＝40°，由直径所对的圆周角是直角，得∠ADB＝90°，根据直角三角形两锐角互余或三角形内角和定理得∠A＋∠ABD＝90°，从而得∠ABD＝50°.

触类旁通3．48°　因为

的度数等于84°，所以∠COD＝84°.因为OC＝OD，所以∠OCD＝48°.因为CA是∠OCD的平分线，所以∠ACD＝∠ACO＝24°，因为OA＝OC，所以∠OAC＝∠ACO＝24°，因为∠ABD＝∠ACD＝24°，所以∠ABD＋∠CAO＝48°.

【经典考题】

1．A　∵OA⊥OB，∴∠AOB＝90°，∴∠ACB＝45°.故选A.

2．D　∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，

∴M为CD的中点，即CM＝DM，选项A成立；

B为

的中点，即CB＝DB，选项B成立；

在△ACM和△ADM中，

∵AM＝AM，∠AMC＝∠AMD＝90°，CM＝DM，

∴△ACM≌△ADM（SAS），

∴∠ACD＝∠ADC，选项C成立；

而OM与MD不一定相等，选项D不成立．

故选D.

3．B　∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，∴∠ABD＝45°.∵∠C＝50°，∴∠D＝50°，∴∠BAD的度数是180°－45°－50°＝85°.

4．8　如图所示，在⊙O中，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB＝2AD.

∵钢珠的直径是10mm，

∴钢珠的半径是5mm.

∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，

∴OD＝3mm.

在Rt△AOD中，

∵AD＝＝＝4（mm）．

∴AB＝2AD＝2×4＝8（mm）．

故答案为8.

5．2　∵AB是⊙O的弦，OC⊥AB于C，AB＝2，

∴BC＝AB＝.∵OC＝1，

∴在Rt△OBC中，

OB＝＝＝2.

故答案为2.

6．150　因为∠AOC＝60°，则它所对的弧度为60°，所以∠ABC所对的弧度为300°.因为∠ABC是圆周角，所以∠ABC＝150°.

7．

（1）证明：

在△ABC中，∵∠BAC＝∠APC＝60°，

∠APC＝∠ABC，∴∠ABC＝60°，

∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－60°－60°＝60°，∴△ABC是等边三角形．

（2）解：

如图，连接OB，则OB＝8，∠OBD＝30°.

又∵OD⊥BC于D，∴OD＝OB＝4.

【模拟预测】

1．C　2．C　3．A　4．B

5．150°　6．18°

7．5　连接AO并延长交圆于点E，连接BE.（如图）

∵AE为⊙O的直径，

∴∠ABE＝90°.

∴∠ABE＝∠ADC.

又∵∠AEB＝∠ACD，

∴△ABE∽△ADC.

∴＝.∵在Rt△ADC中，AC＝5，DC＝3，

∴AD＝4.∴AE＝5.

8．证明：

（1）由圆的性质知∠MCD＝∠DAB，∠DCA＝∠DBA，而∠MCD＝∠DCA，

∴∠DBA＝∠DAB，故△ABD为等腰三角形．

（2）∵∠DBA＝∠DAB，∴

.

又∵BC＝AF，∴

，∠CDB＝∠FDA，

∴

，∴CD＝DF.

由“圆的内接四边形外角等于它的内对角”知，

∠AFE＝∠DBA＝∠DCA，①

∠FAE＝∠BDE.

∴∠CDA＝∠CDB＋∠BDA＝∠FDA＋∠BDA＝∠BDE＝∠FAE，②

由①②得△CDA∽△FAE.∴＝，

∴AC·AF＝CD·FE.

而CD＝DF，∴AC·AF＝DF·FE.