小学奥数合辑学生用555 同余问题.docx

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小学奥数合辑学生用555同余问题

教学目标

1.学习同余的性质

2.利用整除性质判别余数

知识点拨

同余定理

1、定义：

若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：

a≡b（modm），左边的式子叫做同余式。

同余式读作：

a同余于b，模m。

2、重要性质及推论：

（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除

例如：

与除以的余数都是，所以能被整除．

（2）用式子表示为：

如果有a≡b（modm），那么一定有a－b＝mk,k是整数，即m|（a－b）

3、余数判别法

当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：

为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：

N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．

⑴整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；

⑵整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；

⑶整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；

⑷整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；

⑸整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；

⑹整数N被7，11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11或13除的余数就是原数被7，11或13除的余数．

例题精讲

模块一、两个数的同余问题

【例1】有一个整数，除39,51,147所得的余数都是3，求这个数.

【例2】某个两位数加上3后被3除余1，加上4后被4除余1，加上5后被5除余1，这个两位数是______.

【例3】有一个自然数，除345和543所得的余数相同，且商相差33．求这个数是多少？

【例4】一个大于10的自然数去除90、164后所得的两个余数的和等于这个自然数去除220后所得的余数，则这个自然数是多少？

【例5】两位自然数与除以7都余1，并且，求．

【例6】现有糖果254粒,饼干210块和桔子186个.某幼儿园大班人数超过40.每人分得一样多的糖果,一样多的饼干,也分得一样多的桔子。

余下的糖果、饼干和桔子的数量的比是：

1：

3：

2，这个大班有_____名小朋友，每人分得糖果_____粒，饼干_____块，桔子_____个。

模块二、三个数的同余问题

【例7】有一个大于1的整数，除所得的余数相同，求这个数.

【巩固】有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。

问这个整数是几?

【巩固】在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．

【巩固】140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。

2002除以这个自然数的余数是.

【巩固】三个数：

23，51，72，各除以大于1的同一个自然数，得到同一个余数，则这个除数是。

【例8】学校新买来118个乒乓球，67个乒乓球拍和33个乒乓球网，如果将这三种物品平分给每个班级，那么这三种物品剩下的数量相同．请问学校共有多少个班？

【例9】若2836，4582，5164，6522四个自然数都被同一个自然数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为_______．

【例10】一个大于1的数去除290，235，200时，得余数分别为，，，则这个自然数是多少？

【巩固】有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.

【例11】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是、、，求这个自然数和的值.

【例12】甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数除甲数所得余数是除乙数所得余数的2倍，除乙数所得余数是除丙数所得余数的2倍．求等于多少？

【例13】已知60，154，200被某自然数除所得的余数分别是，，，求该自然数的值．

【例14】有一个自然数，它除以、、所得到的商（＞）与余数（＞）之和都相等，这样的数最小可能是多少．

【例15】三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19,23,31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是_______，_______，_______。

模块三、运用同余进行论证

【例16】在3×3的方格表中已如右图填入了9个质数。

将表中同一行或同一列的3个数加上相同的自然数称为一次操作。

问：

你能通过若干次操作使得表中9个数都变为相同的数吗？

为什么？

【例17】一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和．那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？

【例18】从1，2，3，……，n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为多少？

【例19】设是质数，证明：

，，…，被除所得的余数各不相同．