高考知识点命题及其关系充分条件与必要条件.docx

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高考知识点命题及其关系充分条件与必要条件

第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件

最新考纲　1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.

知识梳理

1.命题

用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.

2.四种命题及其相互关系

（1）四种命题间的相互关系

（2）四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.

②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.

3.充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p⇒q且q

p

p是q的必要不充分条件

p

q且q⇒p

p是q的充要条件

p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件

p

q且q

p

[常用结论与微点提醒]

1.否命题与命题的否定：

否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.

2.区别A是B的充分不必要条件（A⇒B且B

A），与A的充分不必要条件是B（B⇒A且A

B）两者的不同.

3.A是B的充分不必要条件⇔綈B是綈A的充分不必要条件.

4.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，

（1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.

（2）若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.

（3）若A＝B，则p是q的充要条件.

诊断自测

1.思考辨析（在括号内打“√”或“×”）

（1）“x2＋2x－3<0”是命题.（　　）

（2）命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”.（　　）

（3）当q是p的必要条件时，p是q的充分条件.（　　）

（4）“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”.（　　）

解析　

（1）错误.该语句不能判断真假，故该说法是错误的.

（2）错误.否命题既否定条件，又否定结论.

答案　

（1）×　

（2）×　（3）√　（4）√

2.（选修2－1P6练习引申）命题“若α＝

，则tanα＝1”的逆否命题是（　　）

A.若α≠

，则tanα≠1B.若α＝

，则tanα≠1

C.若tanα≠1，则α≠

D.若tanα≠1，则α＝

解析　命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，显然綈q：

tanα≠1，綈p：

α≠

，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠

”.

答案　C

3.（2017·天津卷）设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的（　　）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.

当x≤2时不一定有x≥0，而当0≤x≤2时一定有x≤2，

∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件.

答案　B

4.（2017·北京卷）能够说明“设a，b，c是任意实数.若a>b>c，则a＋b>c”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为________.

解析　a>b>c，取a＝－2，b＝－4，c＝－5，

则a＋b＝－6

答案　－2，－4，－5（答案不唯一）

5.（2018·安徽江南十校联考）“a＝0”是“函数f（x）＝sinx－

＋a为奇函数”的________条件.

解析　显然a＝0时，f（x）＝sinx－

为奇函数；当f（x）为奇函数时，f（－x）＋f（x）＝0.

又f（－x）＋f（x）＝sin（－x）－

＋a＋sinx－

＋a＝0.

因此2a＝0，故a＝0.

所以“a＝0”是“函数f（x）为奇函数”的充要条件.

答案　充要

考点一　命题及其相互关系

【例1】以下关于命题的说法正确的有________（填写所有正确命题的序号）.

①“若log2a>0，则函数f（x）＝logax（a>0，a≠1）在其定义域内是减函数”是真命题；

②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；

③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；

④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价.

解析　①不正确.由log2a>0，得a>1，∴f（x）＝logax在其定义域内是增函数.

②正确.由命题的否命题定义知，该说法正确.

③不正确，原命题的逆命题为：

“若x＋y是偶数，则x，y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4为偶数，但1和3均为奇数.④正确.两者互为逆否命题，因此两命题等价.

答案　②④

规律方法　1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：

（1）对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；

（2）若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.

2.

（1）判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.

（2）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.

【训练1】

（1）原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（　　）

A.真、假、真B.假、假、真

C.真、真、假D.假、假、假

（2）（2018·广东广雅中学联考）给出下列命题：

①“∃x0∈R，x

－x0＋1≤0”的否定；

②“若x2＋x－6≥0，则x>2”的否命题；

③命题“若x2－5x＋6＝0，则x＝2”的逆否命题.

其中真命题的个数是（　　）

A.0B.1C.2D.3

解析　

（1）由共轭复数的性质，|z1|＝|z2|，∴原命题为真，因此其逆否命题为真；取z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，∴其逆命题为假，故其否命题也为假.

（2）①的否定是“∀x∈R，x2－x＋1>0”是真命题，①正确；②的否命题是“若x2＋x－6<0，则x≤2”，由x2＋x－6<0，得－3

答案　

（1）B　

（2）C

考点二　充分条件与必要条件的判定

【例2】

（1）（2017·北京卷）设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的（　　）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

（2）设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的（　　）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

解析　

（1）存在负数λ，使得m＝λn，则m·n＝λn·n＝λ|n|2<0，因而是充分条件，反之m·n<0，不能推出m，n方向相反，则不是必要条件.

（2）x>y

x>|y|（如x＝1，y＝－2）.

但x>|y|时，能有x>|y|≥y.

∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件.

答案　

（1）A　

（2）C

规律方法　充要条件的三种判断方法

（1）定义法：

根据p⇒q，q⇒p进行判断.

（2）集合法：

根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.

（3）等价转化法：

根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.

【训练2】

（1）（2018·江西九江十校联考）已知函数f（x）＝

则“x＝0”是“f（x）＝1”的（　　）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

（2）（2017·浙江卷）已知等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

解析　

（1）若x＝0，则f（0）＝e0＝1；若f（x）＝1，则ex＝1或ln（－x）＝1，解得x＝0或x＝－e.故“x＝0”是“f（x）＝1”的充分不必要条件.

（2）由S4＋S6－2S5＝S6－S5－（S5－S4）＝a6－a5＝d，

当d＞0时，则S4＋S6－2S5＞0，即S4＋S6＞2S5；

反之，S4＋S6＞2S5，可得d＞0.所以“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要条件.

答案　

（1）B　

（2）C

考点三　充分条件、必要条件的应用（典例迁移）

【例3】（经典母题）已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围.

解　由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，

∴P＝{x|－2≤x≤10}.

∵x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.

∴

解得m≤3.

又∵S为非空集合，∴1－m≤1＋m，解得m≥0.

综上，可知当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.

【迁移探究1】本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件？

并说明理由.

解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.

若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，

∴

∴

这样的m不存在.

【迁移探究2】本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围.

解　由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.

∵綈P是綈S的必要不充分条件，

∴P是S的充分不必要条件，

∴P⇒S且S

P.

∴[－2，10][1－m，1＋m].

∴

或

∴m≥9，则m的取值范围是[9，＋∞）.

规律方法　充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：

（1）把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式（或不等式组）求解.

（2）要注意区间端点值的检验.尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象.

【训练3】（2018·长郡中学联考）若x>2m2－3是－1

A.[－3，3]B.（－∞，－3]∪[3，＋∞）

C.（－∞，－1]∪[1，＋∞）D.[－1，1]

解析　∵“x>2m2－3”是“－1

答案　D

基础巩固题组

（建议用时：

25分钟）

一、选择题

1.（2018·河南八市联考）命题“若a>b，则a＋c>b＋c”的否命题是（　　）

A.若a≤b，则a＋c≤b＋cB.若a＋c≤b＋c，则a≤b

C.若a＋c>b＋c，则a>bD.若a>b，则a＋c≤b＋c

解析　将条件、结论都否定.命题的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”.

答案　A

2.函数f（x）在x＝x0处导数存在.若p：

f′（x0）＝0；q：

x＝x0是f（x）的极值点，则（　　）

A.p是q的充分必要条件

B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D.p既不是q的充分要件，也不是q的必要条件

解析　由极值的定义，q⇒p，但p

q.例如f（x）＝x3，在x＝0处f′（0）＝0，f（x）＝x3是增函数，x＝0不是函数f（x）＝x3的极值点.

因此p是q的必要不充分条件.

答案　C

3.（2016·山东卷）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　由题意知a⊂α，b⊂β，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面.

因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件.

答案　A

4.下列结论错误的是（　　）

A.命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”

B.“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分条件

C.命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题

D.命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”

解析　C项命题的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0”.若方程有实根，则Δ＝1＋4m≥0，

即m≥－

，不能推出m>0.所以不是真命题.

答案　C

5.（2018·东北三省四校模拟）原命题：

设a，b，c∈R，若“a>b”，则“ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有（　　）

A.0个B.1个C.2个D.4个

解析　原命题：

若c＝0，则不成立，由等价命题同真同假知其逆否命题也为假；逆命题为设a，b，c∈R，若“ac2>bc2”，则“a>b”.由ac2>bc2知c2>0，∴由不等式的基本性质得a>b，∴逆命题为真，由等价命题同真同假知否命题也为真，∴真命题共有2个.

答案　C

6.（2018·广东省际名校联考）王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的（　　）

A.充分条件B.必要条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　“不破楼兰终不还”的逆否命题为：

“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件.

答案　B

7.已知命题p：

x2＋2x－3＞0；命题q：

x＞a，且綈q的一个充分不必要条件是

綈p，则a的取值范围是（　　）

A.[1，＋∞）B.（－∞，1]

C.[－1，＋∞）D.（－∞，－3]

解析　由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.

答案　A

8.（2018·佛山模拟）已知a，b都是实数，那么“

>

”是“lna>lnb”的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　由lna>lnb⇒a>b>0⇒

>

，故必要性成立.

当a＝1，b＝0时，满足

>

，但lnb无意义，所以lna>lnb不成立，故充分性不成立.

答案　B

二、填空题

9.“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的________条件.

解析　cos2α＝0等价于cos2α－sin2α＝0，即cosα＝±sinα.

由cosα＝sinα得到cos2α＝0；反之不成立.

∴“sinα＝cosα”是“cos2α＝0”的充分不必要条件.

答案　充分不必要

10.有下列几个命题：

①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2

其中真命题的序号是________.

解析　①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”，错误.②原命题的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，正确.③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤

－2，则x2≥4”，正确.

答案　②③

11.（2018·湖南十校联考）已知数列{an}的前n项和Sn＝Aqn＋B（q≠0），则“A＝

－B”是“数列{an}为等比数列”的________条件.

解析　若A＝B＝0，则Sn＝0，数列{an}不是等比数列.

如果{an}是等比数列，由a1＝S1＝Aq＋B得

a2＝S2－a1＝Aq2－Aq，a3＝S3－S2＝Aq3－Aq2，

∴a1a3＝a

，从而可得A＝－B，

故“A＝－B”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件.

答案　必要不充分

12.已知命题p：

a≤x≤a＋1，命题q：

x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________.

解析　令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0

∵p是q的充分不必要条件，∴MN，

∴

解得0

答案　（0，3）

能力提升题组

（建议用时：

10分钟）

13.设p：

实数x，y满足x>1且y>1，q：

实数x，y满足x＋y>2，则p是q的（　　）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解析　若x>1且y>1，则x＋y>2.所以p⇒q；反之x＋y>2

x>1且y＝1，例如x＝3，y＝0，所以q

p.

因此p是q的充分不必要条件.

答案　A

14.（2018·昆明诊断）下列选项中，说法正确的是（　　）

A.若a>b>0，则lna

B.向量a＝（1，m），b＝（m，2m－1）（m∈R）垂直的充要条件是m＝1

C.命题“∀n∈N*，3n>（n＋2）·2n－1”的否定是“∀n∈N*，3n≥（n＋2）·2n－1”

D.已知函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，则命题“若f（a）·f（b）<0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题为假命题

解析　∵函数y＝lnx（x>0）是增函数，∴若a>b>0，则lna>lnb，故A错误；若a⊥b，则m＋m（2m－1）＝0，解得m＝0，故B错误；命题“∀n∈N*，3n>（n＋2）·2n－1”的否定是“∃n∈N*，3n≤（n＋2）·2n－1”，故C错误；命题“若f（a）·f（b）<0，则f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点”的逆命题“若f（x）在区间（a，b）内至少有一个零点，则f（a）·f（b）<0”是假命题，如函数f（x）＝x2－2x－3在区间[－2，4]上的图象连续不断，且在区间（－2，4）内有两个零点，但f（－2）·f（4）>0，D正确.

答案　D

15.直线x－y－k＝0与圆（x－1）2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.

解析　直线x－y－k＝0与圆（x－1）2＋y2＝2有两个不同交点等价于

<

，解之得－1

答案　（－1，3）

16.（2018·山西五校联考）已知p：

（x－m）2>3（x－m）是q：

x2＋3x－4<0的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________.

解析　p对应的集合A＝{x|xm＋3}，q对应的集合B＝{x|－4

由p是q的必要不充分条件可知BA，

∴m≥1或m＋3≤－4，即m≥1或m≤－7.

答案　（－∞，－7]∪[1，＋∞）