图练习与答案.docx
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图练习与答案
一、应用题
1．首先将如下图所示的无向图给出其存储结构的邻接链表表示，然后写出对其分别进行深度，广度优先遍历的结果。
1题图
答．深度优先遍历序列：
125967384
宽度优先遍历序列：
123456789
注：
（1）邻接表不唯一，这里顶点的邻接点按升序排列
（2）在邻接表确定后，深度优先和宽度优先遍历序列唯一
（3）这里的遍历，均从顶点1开始
2．给出图G：
（1）．画出G的邻接表表示图；
（2）．根据你画出的邻接表，以顶点①为根，画出G的深度优先生成树和广度优先生成树。
（2）深度优先生成树
（3）宽度优先生成树
3.在什么情况下，Prim算法与Kruskual算法生成不同的MST？
答．在有相同权值边时生成不同的MST，在这种情况下，用Prim或Kruskal也会生成不同的MST
4．已知一个无向图如下图所示，要求分别用Prim和Kruskal算法生成最小树（假设以①为起点，试画出构造过程）。
答．Prim算法构造最小生成树的步骤如24题所示，为节省篇幅，这里仅用Kruskal算法，构造最小生成树过程如下：
（下图也可选（2,4）代替（3,4）,（5,6）代替（1,5））
5．G=（V,E）是一个带有权的连通图,则：
（1）．请回答什么是G的最小生成树；
（2）．G为下图所示,请找出G的所有最小生成树。
28题图
答．
（1）最小生成树的定义见上面26题
（2）最小生成树有两棵。
（限于篇幅，下面的生成树只给出顶点集合和边集合，边以三元组（Vi,Vj,W）形式），其中W代表权值。
V（G）={1，2，3，4，5}E1（G）={（4，5，2），（2，5，4），（2，3，5），（1，2，7）}；
E2（G）={（4，5，2），（2，4，4），（2，3，5），（1，2，7）}
6．请看下边的无向加权图。
（1）．写出它的邻接矩阵。
（2）．按Prim算法求其最小生成树，并给出构造最小生成树过程中辅助数组的各分量值。
辅助数组内各分量值：
Y
Closedge
2
3
4
5
6
7
8
U
V.-U
Vex
Lowcost
Vex
Lowcost
Vex
Lowcost
Vex
Lowcost
Vex
Lowcost
Vex
Lowcost
Vex
Lowcost
Vex
Lowcost
7．已知世界六大城市为:
北京（Pe）、纽约（N）、巴黎（Pa）、伦敦（L）、东京（T）、墨西哥（M）,下表给定了这六大城市之间的交通里程:
世界六大城市交通里程表（单位:
百公里）
pe
n
pa
L
T
M
Pe
109
82
81
21
124
N
109
58
55
108
32
PA
82
58
3
97
92
L
81
55
3
95
89
T
21
108
97
95
113
M
124
32
92
89
113
（1）．画出这六大城市的交通网络图;
（2）．画出该图的邻接表表示法;
（3）．画出该图按权值递增的顺序来构造的最小（代价）生成树.
8．已知顶点1-6和输入边与权值的序列（如右图所示）：
每行三个数表示一条边
的两个端点和其权值，共11行。
请你：
（1）．采用邻接多重表表示该无向网，用类PASCAL语言描述该数据结构，画出存
储结构示意图，要求符合在边结点链表头部插入的算法和输入序列的次序。
（2）．分别写出从顶点1出发的深度优先和广度优先遍历顶点序列，以及相应的
生成树。
（3）．按prim算法列表计算，从顶点1始求最小生成树，并图示该树。
125
138
143
246
232
344
351
3610
457
4611
5615
9．用最短路径算法，求如下图中a到z的最短通路。
【
（4）．由顶点V1到顶点V3的最短路径。
【中山大学1994四（12分）】
9．用最短路径算法，求如下图中a到z的最短通路。
题
10．已知图的邻接矩阵为：
V1
V2
V3
V4
V5
V6
V7
V8
V9
V10
V1
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
V2
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
V3
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
V4
0
0
0
0
0
1
1
0
1
0
V5
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
V6
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
V7
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0
V8
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
V9
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
V10
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
当用邻接表作为图的存储结构，且邻接表都按序号从大到小排序时，试写出：
（1）．以顶点V1为出发点的唯一的深度优先遍历；
（2）．以顶点V1为出发点的唯一的广度优先遍历；
（3）．该图唯一的拓扑有序序列。
11．已知一图如下图所示：
（1）．写出该图的邻接矩阵；
（2）．写出全部拓扑排序；
（3）．以v1为源点,以v8为终点，给出所有事件允许发生的最早时间和最晚时间，并给出关键路径；
（4）．求V1结点到各点的最短距离。
12．
（1）．对于有向无环图，叙述求拓扑有序序列的步骤；
（2）．对于以下的图，写出它的四个不同的拓扑有序序列。
二.算法设计题
1．设无向图G有n个顶点，m条边。
试编写用邻接表存储该图的算法。
（设顶点值用1～n或0～n-1编号）
答:
voidCreatGraph（AdjListg）
//建立有n个顶点和m条边的无向图的邻接表存储结构
{intn,m;
scanf（"%d%d",&n,&m）;
for（i=1,i<=n;i++）//输入顶点信息,建立顶点向量
{scanf（&g[i].vertex）;g[i].firstarc=null;}
for（k=1;k<=m;k++）//输入边信息
{scanf（&v1,&v2）;//输入两个顶点
i=GraphLocateVertex（g,v1）;j=GraphLocateVertex（g,v2）;//顶点定位
p=（ArcNode*）malloc（sizeof（ArcNode））;//申请边结点
p->adjvex=j;p->next=g[i].firstarc;g[i].firstarc=p;//将边结点链入
p=（ArcNode*）malloc（sizeof（ArcNode））;
p->adjvex=i;p->next=g[j].firstarc;g[j].frstarc=p;
}
}//算法CreatGraph结束
2．请用流程图或类高级语言（c）表示算法。
已知有向图有n个顶点,请写算法,根据用户输入的偶对建立该有向图的邻接表。
即接受用户输入的（以其中之一为0标志结束）,对于每条这样的边,申请一个结点,并插入到的单链表中,如此反复,直到将图中所有边处理完毕。
提示：
先产生邻接表的n个头结点（其结点数值域从1到n）。
答．
voidCreatAdjList（AdjListg）
//建立有向图的邻接表存储结构
{intn;
scanf（"%d",&n）;
for（i=1;i<=n;j++）
{scanf（&g[i].vertex）;g[i].firstarc=null;}//输入顶点信息
scanf（&v1,.&v2）;
while（v1&&v2）//题目要求两顶点之一为0表示结束
{i=GraphLocateVertex（g2,v1）;
p=（ArcNode*）malloc（sizeof（ArcNode））;
p->adjvex=j;p->next=g[i].firstarc;g[i].firstarc=p;
scanf（&v1,&v2）;
}}
3．设有向G图有n个点（用1,2,…,n表示）,e条边,写一算法根据其邻接表生成其反向邻接表,要求算法复杂性为O（n+e）。
答．
voidInvertAdjList（AdjListgin,gout）
//将有向图的出度邻接表改为按入度建立的逆邻接表
{for（i=1;i<=n;i++）//设有向图有n个顶点，建逆邻接表的顶点向量。
{gin[i].vertex=gout[i].vertex;gin.firstarc=null;}
for（i=1;i<=n;i++）//邻接表转为逆邻接表。
{p=gout[i].firstarc;//取指向邻接表的指针。
while（p!
=null）
{j=p->adjvex;
s=（ArcNode*）malloc（sizeof（ArcNode））;//申请结点空间。
s->adjvex=i;s->next=gin[j].firstarc;gin[j].firstarc=s;
p=p->next;//下一个邻接点。
}//while
}//for}
4．试写一算法，判断以邻接表方式存储的有向图中是否存在由顶点Vi到顶点Vj的路径（i<>j）。
注意：
算法中涉及的图的基本操作必须在存储结构上实现。
答．[题目分析]在有向图中，判断顶点Vi和顶点Vj间是否有路径，可采用遍历的方法，从顶点Vi出发，不论是深度优先遍历（dfs）还是宽度优先遍历（bfs），在未退出dfs或bfs前,若访问到Vj，则说明有通路，否则无通路。
设一全程变量flag。
初始化为0，若有通路，则flag=1。
intvisited[]=0;//全局变量，访问数组初始化
intdfs（AdjListg,vi）
//以邻接表为存储结构的有向图g，判断顶点Vi到Vj是否有通路,返回1或0表示有或无
{visited[vi]=1;//visited是访问数组，设顶点的信息就是顶点编号。
p=g[vi].firstarc;//第一个邻接点。
while（p!
=null）
{j=p->adjvex;
if（vj==j）{flag=1;return
（1）;}//vi和vj有通路。
if（visited[j]==0）dfs（g,j）;
p=p->next；}//while
if（!
flag）return（0）;
}//结束
5．设有向图用邻接表表示,图有n个顶点,表示为1至n,试写一个算法求顶点k的入度（1答．[题目分析]在有向图的邻接表中，求顶点的出度容易，只要简单在该顶点的邻接点链表中查结点个数即可。
而求顶点的入度，则要遍历整个邻接表。
intcount（AdjListg,intk）
//在n个顶点以邻接表表示的有向图g中，求指定顶点k（1<=k<=n）的入度。
{intcount=0;
for（i=1;i<=n;i++）//求顶点k的入度要遍历整个邻接表。
if（i!
=k）//顶点k的邻接链表不必计算
{p=g[i].firstarc;//取顶点i的邻接表。
while（p）
{if（p->adjvex==k）count++;
p=p->next;
}//while
}//if
return（count）;//顶点k的入度.
}
6．试编写求无向图G的连通分量的算法。
要求输出每一连通分量的顶点值。
（设图G已用邻接表存储）
答．[题目分析]使用图的遍历可以求出图的连通分量。
进入dfs或bfs一次，就可以访问到图的一个连通分量的所有顶点。
voiddfs（）
{visited[v]=1;printf（“%3d”,v）;//输出连通分量的顶点。
p=g[v].firstarc;
while（p!
=null）
{if（visited[p->adjvex==0]）dfs（p->adjvex）;
p=p->next;
}//while
}//dfs
voidCount（）
//求图中连通分量的个数
{intk=0;staticAdjListg;//设无向图g有n个结点
for（i=1;i<=n;i++）
if（visited[i]==0）{printf（"\n第%d个连通分量:
\n",++k）;dfs（i）;}//if
}//Count
算法中visited[]数组是全程变量，每个连通分量的顶点集按遍历顺序输出。
这里设顶点信息就是顶点编号，否则应取其g[i].vertex分量输出。
7．写出图的深度优先搜索DFS算法的非递归算法。
答．voidTraver（AdjListg,vertypev）
//图g以邻接表为存储结构，算法从顶点v开始实现非递归深度优先遍历。
{structarc*stack[];
visited[v]=1；printf（v）;//输出顶点v
top=0;p=g[v].firstarc;stack[++top]=p;
while（top>0||p!
=null）
{while（p）
if（p&&visited[p->adjvex]）p=p->next;
else{printf（p->adjvex）;visited[p->adjvex]=1;
stack[++top]=p;p=g[p->adjvex].firstarc;
}//else
if（top>0）{p=stack[top--];p=p->next;}
}//while}//算法结束。
[算法讨论]以上算法适合连通图，若是非连通图，则再增加一个主调算法,其核心语句是for（vi=1;vi<=n;vi++）if（!
visited[vi]）Traver（g,vi）;
8．已知个n顶点的有向图，用邻接矩阵表示，编写函数计算每对顶点的最短路径。
答． 本题用FLOYD算法直接求解如下：
voidShortPath_FLOYD（AdjMatrixg）
//求具有n个顶点的有向图每对顶点间的最短路径
{AdjMatrixlength;//length[i][j]存放顶点vi到vj的最短路径长度。
for（i=1;i<=n;i++）
for（j=1;j<=n;j++）length[i][j]=g[i][j];//初始化。
for（k=1;k<=n;k++）
for（i=1;i<=n;i++）
for（j=1;j<=n;j++）
if（length[i][k]+length[k][j]length[i][j]=length[i][k]+length[k][j];
}//算法结束
9．欲用四种颜色对地图上的国家涂色，有相邻边界的国家不能用同一种颜色（点相交不算相邻）。
（1）．试用一种数据结构表示地图上各国相邻的关系，（６分）。
（2）．描述涂色过程的算法。
（不要求证明）（１２分）。
【浙江大学2002八（18分）】
答．[题目分析]地图涂色问题可以用“四染色“定理。
将地图上的国家编号（1到n），从编号1开始逐一涂色，对每个区域用1色，2色，3色，4色（下称“色数”）依次试探，若当前所取颜色与周围已涂色区域不重色，则将该区域颜色进栈；否则，用下一颜色。
若1至4色均与相邻某区域重色，则需退栈回溯,修改栈顶区域的颜色。
用邻接矩阵数据结构C[n][n]描叙地图上国家间的关系。
n个国家用n阶方阵表示，若第i个国家与第j个国家相邻，则Cij=1，否则Cij=0。
用栈s记录染色结果，栈的下标值为区域号，元素值是色数。
voidMapColor（AdjMatrixC）
//以邻接矩阵C表示的n个国家的地区涂色
{ints[];//栈的下标是国家编号，内容是色数
s[1]=1；//编号01的国家涂1色
i=2;j=1;//i为国家号，j为涂色号
while（i<=n）
{while（j<=4&&i<=n）
{k=1;//k指已涂色区域号
while（k=j）k++;//判相邻区是否已涂色
if（kelse{s[i]=j;i++;j=1;}//与相邻区不重色，涂色结果进栈，继续对下一区涂色进行试探
}
}//while（j<=4&&i<=n）
if（j>4）{i--;j=s[i]+1;}//变更栈顶区域的颜色。
}//while}//结束MapColor
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