考研数学线性代数行列式.docx
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考研数学线性代数行列式
第二讲行列式
1.形式和意义
形式:
用n2个数排列成的一个n行n列的表格,两边界以竖线,就成为一个n阶行列式:
（简记为）
意义:
是一个算式,把这n2个元素按照一定的法则进行运算,得到的数值称为这个行列式的值.
请注意行列式和矩阵在形式上和意义上的区别.
当两个行列式的值相等时,就可以在它们之间写等号!
（不必形式一样,甚至阶数可不同.）
每个n阶矩阵A对应一个n阶行列式,记作.
行列式的的核心问题是值的计算.
一.定义（完全展开式）
2阶和3阶行列式的计算公式:
一般地,一个n阶行列式
=
这里
1．是许多（n!
个）项的代数和（在求和时每项先要乘+1或-1.）
2.每一项,都是n个元素的乘积,它们取自不同行,不同列.即列标构成1,2,…,n的一个全排列（称为一个n元排列）,共有n!
个n元排列,每个n元排列对应一项,因此共有n!
个项.
表示对所有n元排列求和.
3.规定为全排列的逆序数.
称12…n为自然序排列,如果不是自然序排列,就出现小数排在大数右面的现象,一对大小的数构成一个逆序.
逆序数可如下计算:
标出每个数右面比它小的数的个数,它们的和就是逆序数.
例如求436512的逆序数:
（436512）=3+2+3+2+0+0=10.
用完全展开式求行列式的值一般来说工作量很大.只在有大量元素为0,使得只有少数项不为0时,才可能用它作行列式的计算.
例如下三角行列式
对角行列式,上（下）三角行列式的值就等于对角线上的元素的乘积
例求的和的系数.
解析：
的系数是1；的系数是-10
二.化零降阶法
1.余子式和代数余子式
元素的余子式,是n把第i行和第j列划去后所得到的n-1阶行列式,记作.
的代数余子式为.
2.定理（对某一行或列的展开）行列式的值等于某行（列）的各元素与其代数余子式乘积之和.
n=4,
例如求3阶行列式=（-3）A11+4A12+6A13=（-3）M11-4M12+6m3
=（-3）（-5）-4（-18）+6（-10）=27.
例
解析：
原式=1A11+tA1n=1+
=1+
例求行列式的第四行各元素的余子式的和.
解析：
所求为
原式=
将原行列式换为即他的值就是原题的余子式之和
答案为-28（对第三行展开）
3.命题第三类初等变换不改变行列式的值.
08题.证明|A|=（n+1）an.
分析：
证明：
初等变换
4.化零降阶法用命题把行列式的某一行或列化到只有一个元素不为0,再用定理.于是化为计算一个低1阶的行列式.
三.其它性质
行列式还有以下性质:
3．把行列式转置值不变,即.
4．作第一类初等变换,行列式的值变号.
5．作第二类初等变换,行列式的值乘c.
问题：
；；；
6．对一行或一列可分解,即如果某个行（列）向量，则原行列式等于两个行列式之和,这两个行列式分别是把原行列式的该行（列）向量换为或所得到的行列式.
例如
问题：
例如：
例设4阶矩阵解：
7.如果一个行（列）向量是另一个行（列）向量的倍数,则行列式的值为0.
8.某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和=0.
例已知行列式的代数余子式A11=-9,A12=3,A13=-1,A14=3,求x,y,z.
解析：
思路：
利用性质8
拉普拉斯公式的一个特殊情形：
如果A与B都是方阵（不必同阶）,则
范德蒙行列式：
形如的行列式（或其转置）.它由所决定,它的值等于
因此范德蒙行列式不等于两两不同.对于元素有规律的行列式（包括n阶行列式）,常常可利用性质简化计算.
四.克莱姆法则
克莱姆法则当线性方程组的方程个数等于未知数个数n（即系数矩阵A为n阶矩阵）时.方程组有唯一解.
此解为是把的第i个列向量换成常数列向量所得到的行列式.
1.是方程组有唯一解的充分必要条件.
问题:
于是只用说明是方程组有唯一解的充分必要条件.
2.实际上求解可用初等变换法:
对增广矩阵作初等行变换,使得A变为单位矩阵:
；就是解.
用在齐次方程组上:
如果齐次方程组的系数矩阵A是方阵,则它只有零解的充分必要条件是.
例设有方程组
（1）证明此方程组有唯一解的充分必要条件为a,b,c两两不等.
（2）在此情况求解.
分析：
证明：
（1）
由克莱姆法则法则可知
故a,b,c两两不相等
（2）
五.典型例题
例1
①②③
对角线上的元素都为0，其它元素都为1的n阶行列式.
②分析：
解：
①分析：
与②同理
④分析：
类型一致
③分析：
把下面三行分别加到第一行
例2
解：
所以值=15×125=1875
例3
解：
例4证明分析：
证明：
归纳法：
展开递推
再用归纳法证明之
也可以：
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