过极点，倾斜角为a的直线
⑴日=g（PeR或日=兀+ot（PER）
（2）9=a（P>0或日=兀+口（PZ0）
过点（a，0）,与极轴垂直的直线
1
O|（u.O）
（3131、
Pcos日=a—一<0<—i
<22丿
（兀）
过点a，—|，与极轴平行的直'、、2丿
线
（）
（叭¥）
1—
・•X
PsinB=a（0cB<兀：
注：
由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，即几二，匚2二•v,-几二•v,-匚-二•v都表示同一
点的坐标，这与点的直角坐标的唯一性明显不同•所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式，只要求至少
有一个能满足极坐标方程即可•例如对于极坐标方程P=^点M—A［可以表示为<44；
p=e.
二、参数方程
i•参数方程的概念
「X=f（t）
一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标（x,y）都是某个变数t的函数」①，并且对
』=g（t）
于t的每一个允许值，由方程组①所确定的点Mx,y都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的参数
方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程•
2•参数方程和普通方程的互化
（1）曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方
程.
（2）如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x=ft，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数
的关系y=g（t），那么丿''就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使（x，y）的取
y=g（t）
值范围保持一致.
注：
普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。
应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设
参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。
3.圆的参数
如图所示，设圆0的半径为r，点M从初始位置Mo出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设
x=rcos日
M（x，y），则丿（占为参数）。
这就是圆心在原点0,半径为r的圆的参数方程，其中6的几何意
y=rsin日
2d22
义是OM。
转过的角度。
圆心为a,b，半径为r的圆的普通方程是x-a，y-b二r2,
x—a+rcos日
它的参数方程为：
」（日为参数L
y=b+rsin。
4•椭圆的参数方程
22
以坐标原点O为中心，焦点在X轴上的椭圆的标准方程为牛•爲=1ab0其参数方程为
a2b2
x=acos®
严为参数），其中参数®称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是
y=bsin®
-/
22-bcosq）
岭十务=1（a>b>0）其参数方程为」茁W为参数）其中参数申仍为离心角，通常规定参数弟的
ab』=asin®
范围为0,2二。
注：
椭圆的参数方程中，参数「的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开
来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2二的范围内），在其他任何一点，两个
n_n
角的数值都不相等。
但当0_〉-—时，相应地也有0--一，在其他象限内类似。
22
5.双曲线的参数方程
xasec【P—_
二（申为参数），其中®乏b,2兀且®式冬严式一。
y=btan®22
以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。
6.
抛物线的参数方程
7.直线的参数方程
注：
直线参数方程中参数的几何意义：
过定点M0x0,y0，倾斜角为：
•的直线I的参数方程为
X=X0+tCOS。
j」
（t为参数），其中t表示直线I上以定点M°为起点，任一点M（x,y）为终点的有向线段y=y0+tsin。
M°M的数量，当点M在M°上方时，t>0；当点M在M°下方时，tv0；当点M与M°重合时，t=0。
我们也可以把参数t理解为以M°为原点，直线I向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长
度与原直角坐标系中的单位长度相同。
【要点名师透析】
一、坐标系
（一）平面直角坐标系中的伸缩变换
X=3x
〖例〗在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换①：
丿/
2y=y
（1）求点A-，-2经过申变换所得的点A的坐标；
<3/
1
（2）点B经过'变换得到点B（3,2）,求点B的坐标;
（3）求直线1:
y=6x经过，变换后所得到直线的「方程;
2
C:
X2丄=1
（4）求双曲线64
经过「变换后所得到曲线C•的焦点坐标。
（二）极坐标与直角坐标的互化
兀5兀
A（2=）,B（2,—）
〖例2〗在极坐标系中，如果44为等边二角形ABC的两个顶点，求顶点C的极坐标
（「_0,0：
：
「：
：
2二）。
（三）求曲线的极坐标方程
〖例〗已知P,Q分别在/AOB的两边0A,OB上，/AOB=—，“POQ的面积为8，求PQ中点M的3
极坐标方程。
（四）极坐标的应用
〖例〗如图，点A在直线x=4上移动，"OPA为等腰直角三角形，"OPA的顶角为/OPA（O,P,A依次按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程，并判断轨迹形状。
二、参数方程
（一）把参数方程化为普通方程
x=-4+cosf,rx=8cos3;
1例〗已知曲线cl：
2=3+別毗（t为参数），c】：
»=%皿8,（0为参数）。
（1）化c一，c_的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;
（2）若C-上的点P对应的参数为t,Q为C-上的动点，求中点T至煩线
2
x=^2t
（t为参数）距离的最小值。
y=_2廿
（二）椭圆参数方程的应用
X+h_]
在平面直角坐标系门「中，点匚办二是椭圆-■
上的一个动点，求
的最大值
解答：
（三）直线参数方程的应用
〖例〗过点「一川‘作倾斜角为；；的直线与曲线"：
'■I交于点3',求二'：
|的值及相应
的“的值。
解析：
（四）圆的参数方程的应用
〖例〗已知曲线C的参数方程是
（1）求曲线C的普通方程；
（2）求弦AB的垂直平分线的方程（3）求弦AB的长
【感悟高考真题】
1•在极坐标系中，点（2,3）到圆^=2C0^的圆心的距离为（）
^4+兀2/H2
（A）2（B）:
9（C）19（D）"3
2.在极坐标系中，圆'二~2sin的圆心的极坐标是（）
JlH
（A）2（B）''2（C）（1，°）（D）（1「）
X=COSG
3.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为"引,（＜x为参数）.在极坐标系（与直角坐标系xOy有相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为
p（cos日-sin日）+1=0,则C1与C2的交点个数为
x=2cosa
4.直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为』F3sinCt（。
为参数）•在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线C2的方程为
p（cos-sin日）+1=0,则G与C2的交点个数为
轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为
"x=3+cosG
x=2cos二
12.（2011新课标全国高考理科
•T23）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为22sin'（?
uuvuuuv
为参数）M是C1上的动点，P点满足OP=2°M,P点的轨迹为曲线C2（I）求C2的方程
Q=-
（n）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C2
的异于极点的交点为B,求
13.（2011新课标全国高考文科-T23）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
x=2cos：
uuvuuu
y二2•2SIn〉（：
.为参数）M是C1上的动点，P点满足OP=20M,P点的轨迹为曲线C2
（I）求C2的方程
e=-
（n）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3与C1的异于极点的交点为A，与C2
14.（2011•辽宁高考理科・T23）（本小题满分10分）（选修4-4:
坐标系与参数方程）在平面直角坐标系
xOy中，曲线C1的参数方程为
—豐申为参数）
』=si,曲线C2的参数方程为
X=acos；（aAb>0,®为参数）
.y^bsin,.在以o为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线1:
9=a与
n
C1,C2各有一个交点.当a=0时，这两个交点间的距离为2,当a=2时，这两个交点重合.
（I）分别说明C1,C2是什么曲线，并求出a与b的值；
nn
（II）设当〉=4时，I与C1,C2的交点分别为A1,B1，当a=-4时，I与C1,
C2的交点为A2,B2，求四边形A1A2B2B1的面积.
15.极坐标P=C°s^和参数方程•y二2V（t为参数）所表示的图形分别是（D）
A.直线、直线B.直线、圆C.圆、圆D.圆、直线
16.极坐标方程（p-1）=（p-0）表示的图形是
（A）两个圆（B）两条直线（C）一个圆和一条射线（D）一条直线和一条射线
17.在极坐标系（p9）（0<9<2）中，曲线p=sin日与pc°s^=一1的交点的极坐标为.
18.已知P为半圆C:
丿（日为参数，°兰日兰71）上的点，点A的坐标为（1,0）,O为坐标原点,
y=sin日
点M在射线OP上，线段OM与C的弧AP的长度均为一。
3
（I）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标；
（II）求直线AM的参数方程。
【考点模拟演练】
一、选择题
二、填空题
0=6截圆p=2cos
12.直线2x+3y—1=0经过变换可以化为6x+6y—1=0，则坐标变换公式是
X二t
13.（皖南八校2011届高三第二次联考）已知平面直角坐标系xOy内，直线I的参数方程式为・y=t一2（t
P=2罷sin（日+工）为参数），以Ox为极轴建立极坐标系（取相同的长度单位），圆C的极坐标方程为4,
则直线I的圆C的位置关系是。
X=x0+tcos日
14.已知曲线的参数方程为y=y°+tsinH汾别以t和°为参数得到两条不同的曲线，这两条曲线公共点个数
为.
15.已知2x2+3y2-6x=0（x,y€R）,则x2+y2的最大值为.
16.从极点O作直线与另一直线I:
'cos*4相交于点M，在OM上取一点P，使OM•OP=12，则点P的轨迹方程为.
三、解答题
17.在极坐标系中，已知圆
C的圆心C®n，半径r=3,
（1）求圆C的极坐标方程；
⑵若Q点在圆C上运动，
P在OQ的延长线上，且|OQ|:
|QP|=3:
2，求动点
P的轨迹方程.
18.在极坐标系中，直线
n
l的极坐标方程为9=3（PR），以极点为原点，极轴为
x轴的正半轴建立平面直
x=2cosa
角坐标系，曲线C的参数方程为（a为参数），求直线I与曲线C的交点P的直角坐标.
y=1+cos2a
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