概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答.docx

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概率论与数理统计第三章多维随机变量及其分布习题解答

习题3-1

1、设（X,Y）的分布律为

X

Y1

2

3

1

1/6

1/9

1/18

2

1/3

a

1/9

求a。

解：

由分布律的性质，得

pij

1,a0，即1

1

1

1

a

1

1，a

0，

ij

6

9

18

3

9

解得，a

2

。

9

注：

考察分布律的完备性和非负性。

2、设（X,Y）的分布函数为

F（x,y），试用F（x,y）表示：

（1）P{a

X

b,Y

c}；

（2）P{0

Y

b}；（3）P{X

a,Y

b}。

解：

根据分布函数的定义

F（x,y）

P{X

x,Y

y}，得

（1）P{a

X

b,Y

c}

P{X

b,Y

c}

P{X

a,Y

c}

F（b,c）

F（a,c）；

（2）P{0

Y

b}

P{X

Y

b}

P{X

Y0}

F（

b）

F（

0）；

（3）P{X

a,Y

b}

P{X

Y

b}

P{X

a,Y

b}

F（

b）

F（a,b

）。

3、设二维随机变量

（X,Y）的分布函数为

F（x,y），分布律如下：

Y

1

2

3

4

X

1

1/4

0

0

1/16

2

1/16

1/4

0

1/4

3

0

1/16

1/16

0

试求：

（1）P{1

X

3,0

Y

4}；

（2）P{1

X

2,3

Y

4}；（3）F（2,3）。

2

2

解：

由（X,Y）的分布律，得

1

X

3

0

Y

4}

P{X

1,Y

1}

P{X1,Y

2}

P{X

1,Y

3}

1

0

1

（1）P{

2

0

；

2

4

4

（2）P{1

X

2,3

Y4}

P{X1,Y

3}

P{X

1,Y

4}

P{X

2,Y

3}

P{X

2,Y

4}

0

1

0

1

5

16

4

；

16

（3）F（2,3）P{X2,Y3}P{X1,Y1}P{X1,Y2}P{X1,Y3}

P{X

2,Y

1}

P{X

2,Y

2}

P{X

2,Y3}

1

00

1

1

0

9

4

16

4

。

16

4、设X，Y为随机变量，且

P{X

0,Y

0}

3/7,P{X

0}

P{Y

0}

4/7

，求

P{max（X,Y）0}。

解：

P{max（X,Y）

0}

P{（X

0）U（Y

0）}

P{X

0}

P{Y

0}

P{X

0,Y

0}

5/7。

注：

此题关键在于理解

{max（X,Y）

0}表示{（X

0）U（Y

0）}，然后再根据概率的加法公式。

5、（X,Y）只取下列数值中的值：

（0,0）,（

1,1）,（1,1/3）,（2,0）

，且相应概率依次为

1，1，1

，5。

6

3

12

12

请列出（X,Y）的概率分布表，并写出关于

Y的边缘分布。

解：

（1）根据（X,Y）的全部可能取值以及相应概率，得

（X,Y）的概率分布表为

X

Y

0

1/3

1

0

1

0

0

6

1

1

1

0

5

12

3

2

0

0

（2）根据Y的边缘分布与联合分布的关系，得

12

X

Y

0

1/3

1

0

1

0

0

6

1

1

1

0

12

3

2

5

0

0

12

pj

7

1

1

12

12

3

所以，Y的边缘分布为

Y

0

1/3

1

pk

7

1

1

12

3

12

6、设随机向量（X,Y）服从二维正态分布

N（0,0,102,102,0），其概率密度函数为

1

x2

y2

f（x,y）

e200

，

200

求P{XY}。

解：

由图形对称性，得

P{X

Y}

P{X

Y}，故P{XY}

1

。

2

3进行求解会相对复

注：

本题的求解借助与图形的特点变得很简单，否则若根据概率密度函数的性质

杂些。

7、设随机变量（X,Y）的概率密度为

f（x,y）

k（6

xy）,0

x

2,2

y

4

0,

其它

，

（1）确定常数k；

（2）求P{X

1,Y

3}；（3）求P{X

1.5}；（4）求P{XY

4}。

分析：

利用P{（X,Y）

G}

f（x,y）dxdy

f（x,y）dxdy，再化为累次积分，其中

G

G

Do

Do

（x,y）0

x2,2

y

4

1

f（x,y）dxdy

2

1

xy）dydx

8k，解得

解：

（1）由概率密度函数的完备性，得

0

k（6

2

k

1。

8

（2）

（3）

（4）

P（X

1,Y

1

3

1

31

xy）dy

3

；

3）

f（x,y）dxdy

dx

（6

8

0

28

P（X

1.5）

P（X

1.5,Y

1.5

f（x,y）dxdy

1.5

41

（6xy）dy

27

；

）

dx

28

32

0

P（X

Y

4）

2

dx

4x1

y）dy

2

。

f（x,y）dxdy

0

（6x

xy4

0

8

3

8、已知X和Y的联合密度为

f（x,y）

cxy,

0

x

1,0

y

1

0,

其它

，

试求：

（1）常数c；

（2）X和Y的联合分布函数

F（x,y）。

解：

（1）由概率密度函数的完备性，得

1

1

1

c

1

1，解得c