行程问题之多次相遇与追及问题 非常完整版题型训练+答案解析.docx
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行程问题之多次相遇与追及问题非常完整版题型训练+答案解析
行程体系之多次相遇与追及问题
知识点总结：
1.两地相向出发：
第1次相遇，共走1个全程；
第2次相遇，共走3个全程；
第3次相遇，共走5个全程；
…………，………………；
第N次相遇，共走2N-1个全程；
注意：
除了第1次，剩下的次与次之间都是2个全程。
即甲第1次如果走了N米，以后每次都走2N米。
2.同地同向出发：
第1次相遇，共走2个全程；
第2次相遇，共走4个全程；
第3次相遇，共走6个全程；
…………，………………；
第N次相遇，共走2N个全程；
3、多人多次相遇追及的解题关键
多次相遇追及的解题关键几个全程
多人相遇追及的解题关键路程差
例题训练：
【例1】甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇．相遇后继续前进到达目的地后又立刻返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？
解答：
画线段示意图（实线表示甲车行进的路线，虚线表示乙车行进的路线）：
可以发现第一次相遇意味着两车行了一个A、B两地间距离，第二次相遇意味着两车共行了三个A、B两地间的距离．当甲、乙两车共行了一个A、B两地间的距离时，甲车行了95千米，当它们共行三个A、B两地间的距离时，甲车就行了3个95千米，即95×3=285（千米），而这285千米比一个A、B两地间的距离多25千米，可得：
95×3-25=285-25=260（千米）．
【例2】如图，甲和乙两人分别从一圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇.求此圆形场地的周长．
解答：
注意观察图形，当甲、乙第一次相遇时，甲乙共走完0.5圈的路程，当甲、乙第二次相遇时，甲乙共走完1+0.5＝1.5圈的路程．所以从开始到第一、二次相遇所需的时间比为1：
3，因而第二次相遇时乙行走的总路程为第一次相遇时行走的总路程的3倍，即100×3=300米．有甲、乙第二次相遇时，共行走（1圈－60）+300=1.5圈，解出此圆形场地的周长为480米．
【例3】甲、乙两人从400米的环形跑道上一点A背向同时出发，8分钟后两人第五次相遇，已知每秒钟甲比乙多走0.1米，那么两人第五次相遇的地点与点A沿跑道上的最短路程是多少米?
解答：
第五次相遇时，共合走5各全程：
400×5=2000（米）
甲乙的速度和：
2000÷8=250（米/分）
甲乙的速度差：
0.1×60=6（米/分）
甲的速度（250+6）÷2=128（米/分）
乙的速度：
（250-6）÷2=122（米/分）
8分钟时甲的路程跑的圈数：
128×8÷400=2（周）余224米
400-224=176（米）
【例4】甲、乙两名同学在周长为
米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑
米，乙每秒钟跑
米，问：
他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？
解答：
从开始到两人第十次相遇的这段时间内，甲、乙两人共跑的路程是操场周长的10倍，为300×10=3000米，因为甲的速度为每秒钟跑3.5米，乙的速度为每秒钟跑4米，
所以这段时间内甲共行了3000÷（3.5+4）×3.5=1400米，
也就是甲最后一次离开出发点继续行了200米，
可知甲还需行300-200=100米才能回到出发点
【例5】上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上了他.然后爸爸立即回家，到家后又立刻回头去追小明，再追上小明的时候，离家恰好是8千米，这时是几点几分？
解答：
画一张简单的示意图：
图上可以看出，从爸爸第一次追上到第二次追上，
小明走了8-4＝4（千米）.而爸爸骑的距离是4＋8＝12（千米）.
这就知道，爸爸骑摩托车的速度是小明骑自行车速度的12÷4＝3（倍）.
按照这个倍数计算，小明骑8千米，爸爸可以骑行8×3＝24（千米）.
但事实上，爸爸少用了8分钟，骑行了4＋12＝16（千米）.
少骑行24-16＝8（千米）.摩托车的速度是8÷8=1（千米/分）
爸爸骑行16千米需要16分钟，8＋8＋16＝32.所以这时是8点32分。
【巩固】上午8时8分，小明骑自行车从家里出发．8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4km的地方追上了他，然后爸爸立即回家．到家后又立刻回头去追小明．在追上他的时候，离家恰是12km．这时是几时几分？
答案：
8:
56
【例6】小明和小红两人在长100米的直线跑道上来回跑步，做体能训练，小明的速度为6米/秒，小红的速度为4米/秒．他们同时从跑道两端出发，连续跑了12分钟．在这段时间内，他们迎面相遇了多少次？
【解答】第一次相遇时，两人共跑完了一个全程，所用时间为：
100÷（6+4）=10（秒）．
此后，两人每相遇一次，就要合跑2倍的跑道长，也就是每20秒相遇一次，
除去第一次的10秒，两人共跑了12×60-10=710（秒）．
求出710秒内两人相遇的次数再加上第一次相遇，就是相遇的总次数．
列式计算为：
100÷（6+4）=10（秒）
（12×60-10）÷（10×2）=35......10
共相遇35=1=36（次）。
注：
解决问题的关键是弄清他们首次相遇以及以后每次相遇两人合跑的路程长．
【例7】小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走（到达另一村后就马上返回），他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第四次相遇的地点离乙村多远（相遇指迎面相遇）？
解答：
画示意图如下.
第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了
3.5×3＝10.5（千米）.
从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是
10.5-2＝8.5（千米）.
每次要再相遇，两人就要共同再走甲、乙两村距离2倍的路程.第四次相遇时，两人已共同走了两村距离（3＋2＋2）倍的行程.其中张走了
3.5×7＝24.5（千米），
24.5=8.5＋8.5＋7.5（千米）.
就知道第四次相遇处，离乙村
8.5-7.5=1（千米）.
【例8】甲、乙两人分别从
、
两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的
，二人相遇后继续行进，甲到
地、乙到
地后立即返回．已知两人第二次相遇的地点距第三次相遇的地点是100千米，那么，
、
两地相距多少千米？
解答：
由于甲、乙的速度比是2:
3，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是2:
3．
第一次相遇时，两人共走一个AB的长，可以把AB的长看作5份，甲、乙各走了2份和3份；
第二次相遇时，甲、乙共走了三个AB，乙走了2×3=6份；
第三次相遇时，甲、乙共走了五个AB，乙走了2×5=10份．
乙第二次和第三次相距10－6=4（份）
所以一份距离为：
100÷4=25（千米），
那么AB两地距离为：
5×25＝125（千米）
【巩固】
1、甲、乙两人分别从
、
两地同时出发相向而行，乙的速度是甲的速度的
，甲到达B地和乙到达A地后都立刻按照原路返回，已知两人第二次相遇的地点距离第一次相遇的地点60千米，则AB两地之间的距离是多少？
答案：
210千米
2、甲乙两人分别从AB两地同时出发，往返跑步，甲每分钟跑180米，乙每分钟跑240米，如果他们第100次相遇的地点距离第101次相遇的地点的距离是160米，则AB两地之间的距离是多少？
解答：
由于甲、乙的速度比是180:
240=3:
4，所以在相同的时间内，两人所走的路程之比也是3:
4．
第一次相遇时，两人共走一个AB的长，可以把AB的长看作7份，甲、乙各走了3份和4份；
第100次相遇时，甲、乙共走了199个AB，甲走了3×199=597份；
一个全程是7份，所以甲共走了597÷7=85......2份
第101次相遇时，甲在第100次相遇的地方往前走6份，此时第100次和第101次相遇的地点相距4份，所以一份距离为：
160÷4=40（千米），
那么AB两地距离为：
7×40＝280（千米）
【例9】一列长110米的火车以每小时30千米的速度向北缓缓驶去，铁路旁一条小路上，一位工人也正向北步行。
14时10分时火车追上这位工人，15秒后离开。
14时16分迎面遇到一个向南走的学生，12秒后离开这个学生。
问：
工人与学生将在何时相遇？
解答：
火车和工人是追及问题，追及路程是火车的长度，追及时间是15秒，即1/4分钟，速度差：
110÷1/4=440（米/分）
火车的速度为30千米每小时=500米每分
工人的速度：
500-440=60（米/分）
火车和学生是相遇问题，相遇路程是火车的长度，相遇时间是12秒，即1/5分钟，速度和：
110÷1/5=550（米/分）
学生的速度：
550-500-50（米/分）
在14:
16时，学生和老师相距的路程：
500×（16-10）-600×（16-10）=2640（米）
接下来的相遇时间：
2640÷（50+60）=24（分钟）
14时16分+24分=14时40分
【巩固】甲乙两人在铁路旁边以相同的速度沿着铁路方形相向而行，恰好有一列火车迎面开来，整个火车经过甲身边用了18秒，2分钟后又用15秒从乙身边开过。
（1）火车的速度是甲的速度的几倍？
（2）火车经过乙身边后，甲乙两人还要多少时间才能够相遇？
解答：
（1）火车和甲是追及问题，追及路程是火车的长度，火车和乙是相遇问题，相遇路程是火车的长度，甲和乙的速度相同，都设为x，火车的速度设为y
则车长=18（y-x）=15（y+x）
所以x：
y=1:
11,即火车的速度是甲的速度的11倍
（2）2分+15秒=135（秒）
火车经过乙身边后，甲乙的距离：
135×（11-1）=1350
1350÷（1+1）=675（秒）
【例10】A，B两地相距540千米。
甲、乙两车往返行驶于A，B两地之间，都是到达一地之后立即返回，乙车较甲车快。
设两辆车同时从A地出发后第一次和第二次相遇都在途中P地。
那么到两车第三次相遇为止，乙车共走了多少千米？
解答：
第一次相遇，甲乙总共走了2个全程，第二次相遇，甲乙总共走了4个全程，乙比甲快，相遇又在P点，所以可以根据总结和画图推出：
从第一次相遇到第二次相遇，乙从第一个P点到第二个P点，路程正好是第一次的路程。
所以假设一个全程为3份，第一次相遇甲走了2份乙走了4份。
第二次相遇，乙正好走了1份到B地，又返回走了1份。
这样根据总结：
2个全程里乙走了（540÷3）×4=180×4=720千米，乙总共走了720×3=2160千米。
【例11】老张、老王、老李傍晚在一个长600米的环形跑道上散步，他们同时从同一地点出发，老张按照顺时针方向行走，老王和老李按照逆时针方向行走，老张第一次遇到老王后
分钟遇到老李，再过
分钟第二次遇到老王，已知：
老王的速度是老张的速度的
，求老李的速度是多少？
解答：
从老张第一次遇到老王到第二次遇到老王一共用了：
+
=5（分钟）
说明合走600米用了5分钟的时间，速度和为：
600÷5=120（米/分）
老王和老张的速度比：
2:
3
老王的速度为：
120÷（2+3）×2=48（米/分）
老张的速度为：
120÷（2+3）×3=72（米/分）
老张和老李第一次相遇经过的时间为：
+5=
（分）
老张和老李的速度和为：
600÷
=96（米/分）
老李的速度为：
96-72=24（米/分）
【例12】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：
某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？
解答：
画如下一幅图：
这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．
从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．
如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．
【例13】一条电车线路的起点站和终点站分别是甲站和乙站，每隔5分钟有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走15分钟．有一个人从乙站出发沿电车线路骑车前往甲站．他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站．在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车．到达甲站时，恰好又有一辆电车从甲站开出．问他从乙站到甲站用了多少分钟？
解答：
先让学生用分析间隔的方式来解答：
骑车人一共看到12辆车，他出发时看到的是15分钟前发的车，此时第4辆车正从甲发出．骑车中，甲站发出第4到第12辆车，共9辆，有8个5分钟的间隔，时间是
（分钟）．
再引导学生用柳卡的运行图的方式来分析：
第一步：
在平面上画两条平行线分别表示甲站与乙站．由于每隔5分钟有一辆电车从甲站出发，所以把表示甲站与乙站的直线等距离划分，每一小段表示5分钟．
第二步：
因为电车走完全程要15分钟，所以连接图中的1号点与P点（注意：
这两点在水平方向上正好有3个间隔，这表示从甲站到乙站的电车走完全程要15分钟），然后再分别过等分点作一簇与它平行的平行线表示从甲站开往乙站的电车．
第三步：
从图中可以看出，要想使乙站出发的骑车人在途中遇到十辆迎面开来的电车，那么从P点引出的粗线必须和10条平行线相交，这正好是图中从2号点至12号点引出的平行线．
从图中可以看出，骑车人正好经历了从P点到Q点这段时间，因此自行车从乙站到甲站用了5×8=40（分钟）．
【例14】甲、乙两人在一条长为30米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒1米，乙的速度是每秒
米．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇几次？
解答：
首先，甲跑一个全程需30÷1=30（秒），乙跑一个全程需30÷0.6=50（秒）．与上题类似，画运行图如下（实线表甲，虚线表示乙，那么实虚两线交点就是甲乙相遇的地点）：
一个周期内共有5次相遇，其中第1，2，4，5次是迎面相遇，而第3次是追及相遇．
从图中可以看出，当甲跑5个全程时，乙刚好跑3个全程，各自到了不同两端又重新开始，这正好是一周期150秒．在这一周期内两人相遇了5次，所以两人跑10分钟，正好是四个周期，也就相遇了5×4=20（次）
【例15】A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处．甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原来路线返航．水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同．如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是米/秒．
如图，箭头表示水流方向，A-C-E表示甲船的路线，B-D-F表示乙船的路线，两个交点MN就是两次相遇的地点．
由于两船在静水中的速度相同，所以两船的顺水速度和逆水速度都分别相同，那么两船顺水行船和逆水行船所用的时间都分别相同，表现在图中，就是BC和DE的长度相同，AD和CF的长度相同．
那么根据对称性可以知道，M点距BC的距离与N点距DE的距离相等，也就是说两次相遇地点与AB两地的距离是相等的．而这两次相遇的地点相距20千米，
所以第一次相遇时，两船分别走了（100-20）÷2=40千米和100-40=60千米，
可得两船的顺水速度和逆水速度之比为60:
40=3:
2．
而顺水速度与逆水速度的差为水速的2倍，即为4米/秒，
可得顺水速度为4÷（3-2）×3=12米/秒，
那么两船在静水中的速度为12-2=10米/秒．
作业
1、甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.
答案：
2千米
2、甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地7千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求第三次相遇时共走了多少千米.
答案：
90千米
3、如图，A、B是圆的直径的两端，小张在A点，小王在B点同时出发反向行走，他们在C点第一次相遇，C离A点80米；在D点第二次相遇，D点离B点6O米.求这个圆的周长.
答案：
360千米
4、甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B两地相距多少千米？
答案：
50千米
5、甲乙两人在相距90米的直路上来回跑步，甲的速度是每秒3米，乙的速度是每秒2米．如果他们同时分别从直路两端出发，10分钟内共相遇几次？
答案：
17次
6、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，乙的速度是甲的速度的
，二人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点60千米，则A、B两地相距多少千米？
答案：
210千米
7、甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，匀速相向而行，第一次相遇时离A地150千米．两车继续各自前行，分别到达B、A两地后立即返回，不作停留，在离A地70千米处第二次相遇．A、B两地间的距离为多少千米？
答案：
260千米
8、甲、乙两人分别从A、B两地同时相向而行，甲每小时行4.5千米，乙每小时行3千米．两人第一次相遇后继续向前走．甲到达B地立即按原路原速度返回，乙到达A地后也立即按原路返回．两人从开始到第二次相遇时共走了4小时．求AB两地相距多少千米？
答案：
10千米
9、欢欢和乐乐在操场上的A、B两点之间练习往返跑，欢欢的速度是每秒8米，乐乐的速度是每秒5米．两人同时从A点出发，到达B点后返回，已知他们第二次迎面相遇的地点距离AB的中点5米，AB之间的距离是多少？
答案：
130千米
10、上午8时8分，小明骑自行车从家里出发．8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4km的地方追上了他，然后爸爸立即回家．到家后又立刻回头去追小明．在追上他的时候，离家恰是12km．这时是几时几分？
答案：
8:
40
11、铁路旁边有一条小路，一列长为140米的火车以每分钟720米的速度向南行驶，8点10分追上向南行走的一名军人，20秒后离开他而去，8点15分迎面遇到一个向北走的农民，10秒后离开这个农民，问军人和农民何时相遇？
答案：
8:
20
12、A、B两地相距1000米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B两地间往返锻炼．乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行60米．在30分钟内，甲、乙两人第几次相遇时距B地最近（从后面追上也算作相遇）？
最近距离是多少？
解答：
甲、乙的运行图如上，图中实现表示甲，虚线表示乙，两条线的交点表示两人相遇．在30分钟内，两人共行了（15060）306300米，相当于6个全程又300米，由图可知，第3次相遇时距离A地最近，此时两人共走了3个全程，即1000×3=3000千米，用时3000÷（150+60）=100/7分钟，甲行了60×100/7=6000/7米，
相遇地点距离B地1000-6000/7143米．
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