届高三数学一轮复习第二章函数23.docx
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届高三数学一轮复习第二章函数23
第2章第3节
一、选择题
1．（文）下列函数，在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A．y＝x＋x3（x∈R）
B．y＝3x（x∈R）
C．y＝－log2x（x>0，x∈R）
D．y＝－（x∈R，x≠0）
[答案] A
[解析] 首先函数为奇函数、定义域应关于原点对称，排除C，若x＝0在定义域内，则应有f（0）＝0，排除B；又函数在定义域内单调递增，排除D，故选A.
（理）下列函数中既是奇函数，又在区间[－1,1]上单调递减的是（ ）
A．f（x）＝sinxB．f（x）＝－|x＋1|
C．f（x）＝（ax＋a－x）D．f（x）＝ln
[答案] D
[解析] y＝sinx与y＝ln为奇函数，而y＝（ax＋a－x）为偶函数，y＝－|x＋1|是非奇非偶函数．y＝sinx在[－1,1]上为增函数．故选D.
2．（2010·安徽理，4）若f（x）是R上周期为5的奇函数，且满足f
（1）＝1，f
（2）＝2，则f（3）－f（4）＝（ ）
A．－1B．1
C．－2D．2
[答案] A
[解析] f（3）－f（4）＝f（－2）－f（－1）＝－f
（2）＋f
（1）＝－2＋1＝－1，故选A.
3．（2010·河北唐山）已知f（x）与g（x）分别是定义在R上奇函数与偶函数，若f（x）＋g（x）＝log2（x2＋x＋2），则f
（1）等于（ ）
A．－B.
C．1D.
[答案] B
[解析] 由条件知，，
∵f（x）为奇函数，g（x）为偶函数．
∴，∴f
（1）＝.
4．（文）（2010·北京崇文区）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足f（x＋2）＝－，当1≤x≤2时，f（x）＝x－2，则f（6.5）＝（ ）
A．4.5B．－4.5
C．0.5D．－0.5
[答案] D
[解析] ∵f（x＋2）＝－，∴f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－＝f（x），∴f（x）周期为4，∴f（6.5）＝f（6.5－8）＝f（－1.5）＝f（1.5）＝1.5－2＝－0.5.
（理）（2010·山东日照）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x＋2）＝f（x），若f（x）在[－1,0]上是减函数，则f（x）在[2,3]上是（ ）
A．增函数B．减函数
C．先增后减的函数D．先减后增的函数
[答案] A
[解析] 由f（x＋2）＝f（x）得出周期T＝2，
∵f（x）在[－1,0]上为减函数，
又f（x）为偶函数，∴f（x）在[0,1]上为增函数，从而f（x）在[2,3]上为增函数．
5．（2010·辽宁锦州）已知函数f（x）是定义在区间[－a，a]（a>0）上的奇函数，且存在最大值与最小值．若g（x）＝f（x）＋2，则g（x）的最大值与最小值之和为（ ）
A．0B．2
C．4D．不能确定
[答案] C
[解析] ∵f（x）是定义在[－a，a]上的奇函数，∴f（x）的最大值与最小值之和为0，又g（x）＝f（x）＋2是将f（x）的图象向上平移2个单位得到的，故g（x）的最大值与最小值比f（x）的最大值与最小值都大2，故其和为4.
6．定义两种运算：
a⊗b＝，a⊕b＝|a－b|，则函数f（x）＝（ ）
A．是偶函数
B．是奇函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．既不是奇函数又不是偶函数
[答案] B
[解析] f（x）＝，
∵x2≤4，∴－2≤x≤2，
又∵x≠0，∴x∈[－2,0）∪（0,2]．
则f（x）＝，
f（x）＋f（－x）＝0，故选B.
7．已知f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，且在（－∞，0]上是增函数，设a＝f（log47），b＝f（log3），c＝f（0.20.6），则a、b、c的大小关系是（ ）
A．cC．b[答案] C
[解析] 由题意知f（x）＝f（|x|）．
∵log47＝log2>1，|log3|＝log23>log2，0<0.20.6<1，
∴|log3|>|log47|>|0.20.6|.
又∵f（x）在（－∞，0]上是增函数，且f（x）为偶函数，
∴f（x）在[0，＋∞）上是减函数．
∴b8．已知函数f（x）满足：
f
（1）＝2，f（x＋1）＝，则f（2011）等于（ ）
A．2 B．－3
C．－ D.
[答案] C
[解析] 由条件知，f
（2）＝－3，f（3）＝－，f（4）＝，f（5）＝f
（1）＝2，故f（x＋4）＝f（x） （x∈N*）．
∴f（x）的周期为4，
故f（2011）＝f（3）＝－.
[点评] 严格推证如下：
f（x＋2）＝＝－，
∴f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝f（x）．即f（x）周期为4.
故f（4k＋x）＝f（x），（x∈N*，k∈N*），
9．设f（x）＝lg是奇函数，则使f（x）<0的x的取值范围是（ ）
A．（－1,0）B．（0,1）
C．（－∞，0）D．（－∞，0）∪（1，＋∞）
[答案] A
[解析] ∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0，∴a＝－1.
∴f（x）＝lg，由f（x）<0得
0<<1，∴－110．（文）（09·全国Ⅱ）函数y＝log2的图象（ ）
A．关于原点对称
B．关于直线y＝－x对称
C．关于y轴对称
D．关于直线y＝x对称
[答案] A
[解析] 首先由>0得，－2（理）函数y＝，x∈（－π，0）∪（0，π）的图象可能是下列图象中的（ ）
[答案] C
[解析] ∵y＝是偶函数，排除A，
当x＝2时，y＝>2，排除D，
当x＝时，y＝＝>1，排除B，故选C.
二、填空题
11．（文）已知f（x）＝，则f＋f的值为________．
[答案] －2
[解析] f＝f－1＝f－2
＝sin－2＝－，
f＝sin＝sin＝，∴原式＝－2.
（理）设f（x）是定义在R上的奇函数，且y＝f（x）的图象关于直线x＝对称，则f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋f（4）＋f（5）＝________.
[答案] 0
[解析] ∵f（x）的图象关于直线x＝对称，
∴f＝f，对任意x∈R都成立，
∴f（x）＝f（1－x），又f（x）为奇函数，
∴f（x）＝－f（－x）＝－f（1＋x）
＝f（－1－x）＝f（2＋x），
∴周期T＝2 ∴f（0）＝f
（2）＝f（4）＝0
又f
（1）与f（0）关于x＝对称
∴f
（1）＝0 ∴f（3）＝f（5）＝0 填0.
12．（2010·深圳中学）已知函数y＝f（x）是偶函数，y＝g（x）是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式<0的解集是________．
[答案] ∪
[解析] 依据偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f（x）、g（x）的图象，
∵<0，∴，或，观察两函数的图象，其中一个在x轴上方，一个在x轴下方的，即满足要求，∴－13．（文）若f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝2对称，且当x∈（－2,2）时，f（x）＝－x2＋1.则f（－5）＝________.
[答案] 0
[解析] 由题意知f（－5）＝f（5）＝f（2＋3）＝f（2－3）＝f（－1）＝－（－1）2＋1＝0.
（理）已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，当－1≤x≤1时，f（x）＝a，当x≥1时，f（x）＝（x＋b）2，则f（－3）＋f（5）＝________.
[答案] 12
[解析] ∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）＝0，
∵－1≤x≤1时，f（x）＝a，∴a＝0.
∴f
（1）＝（1＋b）2＝0，∴b＝－1.
∴当x≤－1时，－x≥1，f（－x）＝（－x－1）2＝（x＋1）2，
∵f（x）为奇函数，∴f（x）＝－（x＋1）2，
∴f（x）＝
∴f（－3）＋f（5）＝－（－3＋1）2＋（5－1）2＝12.
[点评] 求得b＝－1后，可直接由奇函数的性质得f（－3）＋f（5）＝－f（3）＋f（5）＝－（3－1）2＋（5－1）2＝12.
14．（文）（2010·山东枣庄模拟）若f（x）＝lg（a∈R）是奇函数，则a＝________.
[答案] －1
[解析] ∵f（x）＝lg是奇函数，
∴f（－x）＋f（x）＝0恒成立，
即lg＋lg
＝lg＝0.
∴＝1，
∴（a2＋4a＋3）x2－（a2－1）＝0，
∵上式对定义内的任意x都成立，
∴，∴a＝－1.
[点评] ①可以先将真数通分，再利用f（－x）＝－f（x）恒成立求解，运算过程稍简单些．
②如果利用奇函数定义域的特点考虑，则问题变得比较简单．f（x）＝lg为奇函数，显然x＝－1不在f（x）的定义域内，故x＝1也不在f（x）的定义域内，令x＝－＝1，得a＝－1.故平时解题中要多思少算，培养观察、分析、捕捉信息的能力．
（理）（2010·吉林长春质检）已知函数f（x）＝lg为奇函数，则使不等式f（x）<－1成立的x的取值范围是________．
[答案] [解析] ∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＋f（x）＝0恒成立，∴lg＋lg
＝lg＝0，
∴＝1，
∵a≠0，∴＝0，∴a＝4，
∴f（x）＝lg＝lg，
由f（x）<－1得，lg<－1，
∴0<<，由>0得，－2由<得，x<－2或x>，∴三、解答题
15．（2010·杭州外国语学校）已知f（x）＝x2＋bx＋c为偶函数，曲线y＝f（x）过点（2,5），g（x）＝（x＋a）f（x）．
（1）若曲线y＝g（x）有斜率为0的切线，求实数a的取值范围；
（2）若当x＝－1时函数y＝g（x）取得极值，且方程g（x）＋b＝0有三个不同的实数解，求实数b的取值范围．
[解析]
（1）由f（x）为偶函数知b＝0，
又f
（2）＝5，得c＝1，∴f（x）＝x2＋1.
∴g（x）＝（x＋a）（x2＋1）＝x3＋ax2＋x＋a，
因为曲线y＝g（x）有斜率为0的切线，
所以g′（x）＝3x2＋2ax＋1＝0有实数解．
∴Δ＝4a2－12≥0，解得a≥或a≤－.
（2）由题意得g′（－1）＝0，得a＝2.
∴g（x）＝x3＋2x2＋x＋2，
g′（x）＝3x2＋4x＋1＝（3x＋1）（x＋1）．
令g′（x）＝0，得x1＝－1，x2＝－.
∵当x∈（－∞，－1）时，g′（x）>0，当x∈（－1，－）时，g′（x）<0，当x∈（－，＋∞）时，g′（x）>0，
∴g（x）在x＝－1处取得极大值，在x＝－处取得极小值．
又∵g（－1）＝2，g（－）＝，且方程g（x）＋b＝0即g（x）＝－b有三个不同的实数解，∴<－b<2，
解得－216．（2010·揭阳模拟）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x＋2）＝－f（x）．当x∈[0,2]时，f（x）＝2x－x2.
（1）求证：
f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2,4]时，求f（x）的解析式；
（3）计算f（0）＋f
（1）＋f
（2）＋…＋f（2011）．
[分析] 由f（x＋2）＝－f（x）可得f（x＋4）与f（x）关系，由f（x）为奇函数及在（0,2]上解析式可求f（x）在[－2,0]上的解析式，进而可得f（x）在[2,4]上的解析式．
[解析]
（1）∵f（x＋2）＝－f（x），
∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x）．
∴f（x）是周期为4的周期函数．
（2）当x∈[－2,0]时，－x∈[0,2]，由已知得
f（－x）＝2（－x）－（－x）2＝－2x－x2，
又f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x）＝－2x－x2，
∴f（x）＝x2＋2x.
又当x∈[2,4]时，x－4∈[－2,0]，
∴f（x－4）＝（x－4）2＋2（x－4）＝x2－6x＋8.
又f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（x）＝f（x－4）
＝x2－6x＋8.
从而求得x∈[2,4]时，
f（x）＝x2－6x＋8.
（3）f（0）＝0，f
（2）＝0，f
（1）＝1，f（3）＝－1.
又f（x）是周期为4的周期函数，
∴f（0）＋f
（1）＋f
（2）＋f（3）＝f（4）＋f（5）＋f（6）＋f（7）＝…＝f（2008）＋f（2009）＋f（2010）＋f（2011）＝0.
∴f（0）＋f
（1）＋f
（2）＋…＋f（2011）＝0.
17．（文）已知函数f（x）＝1－（a>0且a≠1）是定义在（－∞，＋∞）上的奇函数．
（1）求a的值；
（2）求函数f（x）的值域；
（3）当x∈（0,1]时，tf（x）≥2x－2恒成立，求实数t的取值范围．
[解析]
（1）∵f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的奇函数，即f（－x）＝－f（x）恒成立，∴f（0）＝0.
即1－＝0，
解得a＝2.
（2）∵y＝，∴2x＝，
由2x>0知>0，
∴－1（3）不等式tf（x）≥2x－2即为≥2x－2.
即：
（2x）2－（t＋1）·2x＋t－2≤0.设2x＝u，
∵x∈（0,1]，∴u∈（1,2]．
∵u∈（1,2]时u2－（t＋1）·u＋t－2≤0恒成立．
∴，解得t≥0.
（理）设函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a、b、c为实数，且a≠0），F（x）＝.
（1）若f（－1）＝0，曲线y＝f（x）通过点（0,2a＋3），且在点（－1，f（－1））处的切线垂直于y轴，求F（x）的表达式；
（2）在
（1）的条件下，当x∈[－1,1]时，g（x）＝kx－f（x）是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）设mn<0，m＋n>0，a>0，且f（x）为偶函数，证明F（m）＋F（n）>0.
[解析]
（1）因为f（x）＝ax2＋bx＋c，所以f′（x）＝2ax＋b.
又曲线y＝f（x）在点（－1，f（－1））处的切线垂直于y轴，故f′（－1）＝0，
即－2a＋b＝0，因此b＝2a.①
因为f（－1）＝0，所以b＝a＋c.②
又因为曲线y＝f（x）通过点（0,2a＋3），
所以c＝2a＋3.③
解由①，②，③组成的方程组得，a＝－3，b＝－6，c＝－3.
从而f（x）＝－3x2－6x－3.
所以F（x）＝.
（2）由
（1）知f（x）＝－3x2－6x－3，
所以g（x）＝kx－f（x）＝3x2＋（k＋6）x＋3.
由g（x）在[－1,1]上是单调函数知：
－≤－1或－≥1，得k≤－12或k≥0.
（3）因为f（x）是偶函数，可知b＝0.
因此f（x）＝ax2＋c.
又因为mn<0，m＋n>0，
可知m，n异号．
若m>0，则n<0.
则F（m）＋F（n）＝f（m）－f（n）＝am2＋c－an2－c
＝a（m＋n）（m－n）>0.
若m<0，则n>0.
同理可得F（m）＋F（n）>0.
综上可知F（m）＋F（n）>0.
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