勾股定理的探究.docx

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勾股定理的探究

勾股定理

第1课时

一、内容和内容解析

1、内容

勾股定理的探究、证明及简单应用。

2、内容解析

勾股定理是平面几何的一个核心结果。

它在直角三角形的三条边之间建立了固定关系。

它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。

学生通过对勾股定理的学习，在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。

勾股定理的探究是从特殊的等腰直角三角形入手，到网格中直角三角形，再到一般的直角三角形，体现了从特殊到一般的探究过程。

证明勾股定理的关键是数学中的通法“总量等于各部分量之和”，并以此引导学生发现证明勾股定理的思路。

国际上对勾股定理的研究比较广泛，但他们却有着共同的思路——利用面积法。

通过几例研究勾股定理的成就的介绍，培养学生的数学学习能力；通过勾股定理的发现和证明，使学生体会“数学源于生活，又服务于生活”培养学生数学学习的兴趣，增强数学学习的自信心。

二、目标和目标解析

1、目标

知识技能：

（1）了解勾股定理的文化背景，体验勾股定理的探索过程。

（2）掌握直角三角形中的三边关系，并学会利用它解决简单的数学问题。

过程与方法：

在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思维的过程和探究的结果。

情感态度：

（1）通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情。

（2）在探究活动中，体验解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探究精神。

2、目标解析要完成目标要求学生从特殊入手，先观察特殊的直角三角形的三边为边长的正方形面积之间的关系，通过合情的猜想、验证、归纳和数学推理，理解勾股定理的发现、论证的研究思路，通过实际操作利用割补法构造图形证明勾股定理。

三、教学问题诊断分析

勾股定理是关于直角三角形三边关系的一个特殊的结论。

在正方形网格中比较容易发现以等腰直角三角形三边为边长的正方形的面积关系。

进而得出三边之间的关系。

但从等腰直角三角形过渡到一般的直角三角形，提出合理的猜想，学生很难有所突破。

在教学中需要先引导学生观察网格背景下的正方形的面积关系，然后思考无网格背景下的直角三角形三边为边长的正方形的面积的关系，再把这种关系表示成边长之间的关系，这有利于学生自然合理地发现和证明勾股定理。

四、教学支持条件

对于勾股定理的探究单靠PPT的演示学生较难有所发现，在利用多媒体的同时借助《几何画板》软件，动态的演示网格中的直角三角形会降低学习的难度，为本节课的顺利进行提供保障。

五、教学过程设计

1、创设问题情境

引言

研究特例是数学研究的一个方向。

前面我们共同研究了等腰三角形，知道了等腰三角形的一些特殊性。

直角三角形作为一类特殊的三角形，它又有那些特殊的性质。

问题1国际数学家大会是最高水平的全球性数学学科学术会议，被誉为数学界的“奥运会”。

2002年在北京召开了第24届国际数学家大会。

图1就是大会会徽的图案。

你见过这个图案吗？

它由哪些我们学习过的基本图形组成？

这个图案有什么特殊的意义？

师生活动：

教师引导寻找图中的直角三角形、正方形等，并注意引导直角三角形的关系，指出通过学习就会理解会徽的含义。

设计意图：

这样的引入可唤起学生的好奇心和求知欲，激发学生对勾股定理的兴趣，从而较自然的引入课题。

2、探究勾股定理

只要认真观察生活，就会发现生活里处处有数学。

相传在2500年以前，毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系。

（1）同学们，请你也来观察下图中的地面，看看能发现些什么？

（2）你能找出图18.1-1中正方形A、B、C面积之间的关系吗？

（3）图中正方形A、B、C所围等腰直角三角形三边之间有什么特殊关系?

师生活动：

“问题是思维的起点”，教师通过层层设问，引导学生发现新知。

设计意图：

（1）渗透从特殊入手，为学生提供参与数学活动的时间与空间，发挥学生的主体作用，充分调动学生的积极性；为后面学生的积极参与做好铺垫。

（2）鼓励学生用自己的语言叙述数学活动中的想法和思路，尝试从不同角度去寻求解决问题的有效方法。

并通过方法的反思，获得解决问题的经验。

问题3每个小方格的面积均为1，以格点为顶点，仿照上一活动，我们以这个直角三角形的三边为边长向外作正方形。

想一想，怎样利用小方格计算正方形A、B、C面积？

试着完成下表：

A的面积

B的面积

C的面积

左图

右图

问题4通过前面的探究活动，猜一猜，直角三角形三边之间有什么关系？

师生活动：

教师引导学生进行猜想，如果学生还有困难，教师可以回头再次引导学生观察网格图形的结论，让学生不断的进行类比，归纳，最后再猜想。

设计意图：

有了前面的网格图形做铺垫，学生此时的猜想基本已经扫除了障碍，于是猜想的形成变得水到渠成。

问题5一般情况下，如果直角三角形的两直角边长分别为a,b,斜边长为c，刚刚提出的猜想依然正确吗？

看看历史上几种对勾股定理的研究，通过小组合作完成证明。

师生活动：

学生独立思考“总量等于各部分量之和”，图形的共同点是图形的面积既可以用大图形的边去表示，还可以看成是几个小图形的面积之和。

经过整理都可以得到a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

设计意图：

通过探究活动，调动学生的积极性，激发学生的探求新知的欲望。

给学生充分的时间与空间讨论、交流、发现、推理，鼓励学生发表自己的见解，感受合作的重要性。

同时培养学生的操作能力，为以后探究图形的性质积累了经验。

3、初步应用,巩固新知

练习1求下列图形中字母所代表的正方形的面积

练习2求出下图中两个直角三角形未知边的长度

练习3若一个直角三角形的三边长分别为8，15，x，则x=

师生活动：

教师提出问题。

学生思考、交流，解答问题。

教师正确引导学生正确运用勾股定理来解决实际问题。

针对练习可以通过让学生来演示结果，形成共识。

设计意图

让学生利用所学的知识技能，用来解决实际问题，加强对定理的理解，从而突出重点。

突破重点和难点的方法，发挥学生主体作用，通过学生动手实验，让学生在实验中探索，在探索中领悟，在领悟中理解。

4、小结

教师和学生一起回顾本节课所蹙额主要内容，并提出问题

（1）勾股定理的内容是什么？

它有什么作用？

（2）在勾股定理的探究过程中，我们经历了怎样的探究过程?

师生活动：

教师以问题的形式提出，让学生充分讨论交流，总结所学知识，进行自我评价，自我总结.

设计意图：

通过回忆本节课的所学内容，从知识、技能、数学思想等方面加以归纳，有利于学生掌握、运用知识。

5、布置作业

必做题：

习题18.1第1,2,3题。

课本“阅读与思考”了解勾股定理的多种证法。

（根据自己的情况选择完成）

设计意图：

针对学生认知的差异设计了有层次的作业题，既使学生巩固知识，形成技能，又使学有余力的学生获得最佳发展。

教学反思

新课程标准要求我们：

数学教学要为学生的终身学习及可持续发展奠定坚实的基础。

为此我在教学设计中注重了以下几点：

一、让学生主动想学

生活中处处有数学，生活中一些看似平淡的现象中往往隐含这数学道理在其中。

通过毕达哥拉斯的发现，激发学生的求知欲望，变学生的“要我学”为“我想学”。

二、始终注重数学通法的教学

数学作为逻辑性很强的学科，要求学生学会思考。

在本节课勾股定理的证明里所用到的数学规律“同一个量用不同的式子表示，这几个式子相等”，是数学的一个通法，学生一旦对它理解了，那么证明定理就不再是意见难事。

三、教会学生思维，培养学生多种能力

学会数学思维，就学会了数学。

本节课在学生有了等腰三角形三边关系的情况下，怎样将特殊的结论一般化中，利用网格把边长是整数的直角三角形再次呈现给学生，让学生利用前面的思维去思考，去认知。

对以斜边长为边的正方形的面积的计算学生分小组讨论，会得到不同的方法，对学生数学能力的提高有很大的帮助。

整节课都是在生生互动、师生互动的和谐气氛中进行的，在教师的鼓励、引导下学生进行了自主学习。

学生上讲台表达自己的思路、解法，体验了数形结合的数学思想方法，培养了细心观察、认真思考的态度。