用函数观点看一元二次方程.docx
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用函数观点看一元二次方程
用函数观点看一元二次方程
同步练习
一、选择题
1.如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象,由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是()
A.-1<x<5B.x>5C.x<-1且x>5D.x<-1或x>5
答案:
D
知识点:
二次函数与不等式(组)
解析:
解答:
由图象得:
对称轴是x=2,其中一个点的坐标为(5,0),
∴图象与x轴的另一个交点坐标为(-1,0).
利用图象可知:
ax2+bx+c<0的解集即是y<0的解集,
∴x<-1或x>5.
故选:
D.
分析:
利用二次函数的对称性,可得出图象与x轴的另一个交点坐标,结合图象可得出ax2+bx+c<0的解集.
2.如图,函数y=-x2+bx+c的部分图象与x轴、y轴的交点分别为A(1,0),B(0,3),对称轴是x=-1,在下列结论中,错误的是( )
A.顶点坐标为(-1,4)
B.函数的解析式为y=-x2-2x+3
C.当x<0时,y随x的增大而增大
D.抛物线与x轴的另一个交点是(-3,0)
答案:
C
知识点:
抛物线与x轴的交点
解析:
解答:
将A(1,0),B(0,3)分别代入解析式得,
解得,
则函数解析式为y=-x2-2x+3;
将x=-1代入解析式可得其顶点坐标为(-1,4);当y=0时可得,-x2-2x+3=0;
解得,x1=-3,x2=1.
可见,抛物线与x轴的另一个交点是(-3,0);
由图可知,当x<-1时,y随x的增大而增大.
可见,C答案错误.
故选C.
分析:
由于y=-x2+bx+c的图象与x轴、y轴的交点分别为A(1,0),B(0,3),将交点代入解析式求出函数表达式,即可作出正确判断.
3.如图,已知抛物线与x轴的一个交点A(1,0),对称轴是x=-1,则该抛物线与x轴的另一交点坐标是( )
A.(-3,0)B.(-2,0)C.x=-3D.x=-2
答案:
A
知识点:
抛物线与x轴的交点
解析:
解答:
设抛物线与x轴的另一个交点为B(b,0),
∵抛物线与x轴的一个交点A(1,0),对称轴是x=-1,
∴
,解得b=-3,∴B(-3,0).故选A.
分析:
设抛物线与x轴的另一个交点为B(b,0),再根据AB两点关于对称轴对称即可得出.
4.如图,一次函数y1=kx+n(k≠0)与二次函数y2=ax2+bx+c(a≠0)的图象相交于A(-1,5)、B(9,2)两点,则关于x的不等式kx+n≥ax2+bx+c的解集为( )
A.-1≤x≤9B.-1≤x<9C.-1<x≤9D.x≤-1或x≥9
答案:
A
知识点:
二次函数与不等式(组)
解析:
解答:
由图形可以看出:
抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y1=kx+n(k≠0)的交点的横坐标分别为-1,9,
当y1≥y2时,x的取值范围正好在两交点之内,即-1≤x≤9.故选A.
分析:
先观察图象确定抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)和一次函数y1=kx+n(k≠0)的交点的横坐标,即可求出y1≥y2时,x的取值范围.
5.已知抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点,那么该抛物线的顶点所在的象限是( )
A.第四象限B.第三象限C.第二象限D.第一象限
答案:
D
知识点:
抛物线与x轴的交点
解析:
解答:
∵抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点,∴△=4-4a<0,解得:
a>1,
∴抛物线的开口向上,又∵b=-2,∴
>0,
∴抛物线的对称轴在y轴的右侧,∴抛物线的顶点在第一象限;故选D.
分析:
根据抛物线y=ax2-2x+1与x轴没有交点,得出△=4-4a<0,a>1,再根据b=-2,得出抛物线的对称轴在y轴的右侧,即可求出答案.
6.若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1、x2,且x1≠x2,有下列结论:
①x1=2,x2=3;②m>
;③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).其中,正确结论的个数是( )
A.0B.1C.2D.3
答案:
C
知识点:
抛物线与x轴的交点
解析:
解答:
一元二次方程(x-2)(x-3)=m化为一般形式得:
x2-5x+6-m=0,
∵方程有两个不相等的实数根x1、x2,∴b2-4ac=(-5)2-4(6-m)=4m+1>0,解得:
m>
,故选项②正确;∵一元二次方程实数根分别为x1、x2,∴x1+x2=5,x1x2=6-m,而选项①中x1=2,x2=3,只有在m=0时才能成立,故选项①错误;二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m=x2-(x1+x2)x+x1x2+m=x2-5x+(6-m)+m=x2-5x+6=(x-2)(x-3),令y=0,可得(x-2)(x-3)=0,解得:
x=2或3,∴抛物线与x轴的交点为(2,0)或(3,0),故选项③正确.综上所述,正确的结论有2个:
②③.故选C.
分析:
将已知的一元二次方程整理为一般形式,根据方程有两个不相等的实数根,得到根的判别式大于0,列出关于m的不等式,求出不等式的解集即可对选项②进行判断;再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m,这只有在m=0时才能成立,故选项①错误;将选项③中的二次函数解析式整理后,利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入,整理得到确定出二次函数解析式,令y=0,得到关于x的方程,求出方程的解得到x的值,确定出二次函数图象与x轴的交点坐标,即可对选项③进行判断.
7.二次函数y=ax2+bx的图象如图,若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,则m的最大值为( )
A.-3B.3C.-6D.9
答案:
B
知识点:
抛物线与x轴的交点,二次函数图象与系数的关系
解析:
解答:
(法1)∵抛物线的开口向上,顶点纵坐标为-3,
∴a>0,
,即b2=12a,∵一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,
∴△=b2-4am≥0,即12a-4am≥0,即12-4m≥0,解得m≤3,
∴m的最大值为3.
(法2)一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根,
可以理解为y=ax2+bx和y=-m有交点,
可见,-m≥-3,∴m≤3,∴m的最大值为3.故选B.
分析:
先根据抛物线的开口向上可知a>0,由顶点纵坐标为-3得出b与a关系,再根据一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根可得到关于m的不等式,求出m的取值范围即可.
8.已知函数y=(x-a)(x-b)(其中a>b)的图象如下面图所示,则函数y=ax+b的图象可能正确的是( )
A.
B.
C.
D.
答案:
D
知识点:
抛物线与x轴的交点,一次函数的性质
解析:
解答:
根据图象可得a,b异号,∵a>b,∴a>0,b<0,∴函数y=ax+b的图象经过第一、三、四象限,故选D.
分析:
根据图象可得出方程(x-a)(x-b)=0的两个实数根为a,b,且一正一负,负数的绝对值大,又a>b,则a>0,b<0.根据一次函数y=ax+b的图象的性质即可得出答案.
9.有一个二次函数y=x2+ax+b,其中a、b为整数.已知此函数在坐标平面上的图形与x轴交于两点,且两交点的距离为4.若此图形的对称轴为x=-5,则此图形通过下列哪一点?
( )
A.(-6,-1)B.(-6,-2)C.(-6,-3)D.(-6,-4)
答案:
C
知识点:
抛物线与x轴的交点
解析:
解答:
∵二次函数图形的对称轴为x=-5,图形与x轴的两个交点距离为4,
∴此两点的坐标为(-7,0)和(-3,0)
设二次函数的解析式为:
y=(x+7)(x+3),将x=-6代入,得y=(-6+7)(-6+3)=-3
∴点(-6,-3)在二次函数的图象上.故选C.
分析:
根据二次函数图形的对称轴为x=-5,图形与x轴的两个交点距离为4可知两点的坐标为(-7,0)和(-3,0),设出此函数的解析式,把x=-6代入进行计算即可.
10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是( )
A.a>0
B.当x>1时,y随x的增大而增大
C.c<0
D.3是方程ax2+bx+c=0的一个根
答案:
D
知识点:
抛物线与x轴的交点;二次函数图象与系数的关系
解析:
解答∵抛物线开口向下,∴a<0,故A选项错误;
∵抛物线与y轴的正半轴相交,∴c>0,故C选项错误;
∵对称轴x=1,∴当x>1时,y随x的增大而减小;故B选项错误;
∵对称轴x=1,∴另一个根为1+2=3,故D选项正确.
分析:
根据图象可得出a<0,c>0,对称轴x=1,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小;根据抛物线的对称性另一个交点到x=1的距离与-1到x=1的距离相等,得出另一个根.
11.已知抛物线y=x2-x-1与x轴的交点为(m,0),则代数式m2-m+2011的值为( )
A.2009B.2012C.2011D.2010
答案:
B
知识点:
抛物线与x轴的交点,代数式求值.
解析:
解答:
∵物线y=x2-x-1与x轴的交点为(m,0),∴将x=m,y=0代入抛物线解析式得:
m2-m-1=0,∴m2-m=1,则m2-m+2011=1+2011=2012.故选B.
分析:
由抛物线y=x2-x-1与x轴的交点为(m,0),将此点代入抛物线解析式,整理后求出m2-m的值,代入所求式子即可求出值.
12.对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),我们把使函数值等于0的实数x叫做这个函数的零点,则二次函数y=x2-mx+m-2(m为实数)的零点的个数是( )
A.1B.2C.0D.不能确定
答案:
B
知识点:
抛物线与x轴的交点
解析:
解答:
由题意可知:
函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点.
△=(-m)2-4×1×(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+4
∵(m-2)2一定为非负数
∴(m-2)2+4>0
∴二次函数y=x2-mx+m-2(m为实数)的零点的个数是2.
故选B.
分析:
由题意可知:
函数的零点也就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点,判断二次函数y=x2-mx+m-2的零点的个数,也就是判断二次函数y=x2-mx+m-2与x轴交点的个数;根据△与0的关系即可作出判断.
13.如图,将二次函数y=31x2-999x+892的图形画在坐标平面上,判断方程31x2-999x+892=0的两根,下列叙述何者正确( )
A.两根相异,且均为正根
B.两根相异,且只有一个正根
C.两根相同,且为正根
D.两根相同,且为负根
答案:
A
知识点:
抛物线与x轴的交点
解析:
解答:
∵二次函数y=31x2-999x+892的图象与x轴有两个交点,且与x轴的正半轴相交,∴方程31x2-999x+892=0有两个正实根.故选A.
分析:
由二次函数y=31x2-999x+892的图象得,方程31x2-999x+892=0有两个实根,两根都是正数,从而得出答案.
14.已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1 x2=3,那么二次函数ax2+bx+c(a>0)的图象有可能是( )
A.
B.
C.
D.
答案:
C
知识点:
抛物线与x轴的交点.二次函数的图象
解析:
解答:
∵已知一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1x2=3,∴x1,x2是一元二次方程x2-4x+3=0的两个根,
∴(x-1)(x-3)=0,解得:
x1=1,x2=3
∴二次函数ax2+bx+c(a>0)与x轴的交点坐标为(1,0)和(3,0).故选C.
分析:
根据二次函数二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的交点横坐标就是一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的两个实数根,利用两个实数根x1,x2满足x1+x2=4和x1x2=3,求得两个实数根,作出判断即可.
15.已知二次函数y=-x2+x-
,当自变量x取m时对应的值大于0,当自变量x分别取m-1、m+1时对应的函数值为y1、y2,则y1、y2必须满足( )
A.y1>0、y2>0B.y1<0、y2<0C.y1<0、y2>0D.y1>0、y2<0
答案:
B
知识点:
抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征
解析:
解答:
令y=-x2+x-
=0,解得:
x=
,
∵当自变量x取m时对应的值大于0,
∴
,∵点(m+1,0)与(m-1,0)之间的距离为2,大于二次函数与x轴两交点之间的距离,
∴m-1的最大值在左边交点之左,m+1的最小值在右边交点之右.
∴点(m+1,0)与(m-1,0)均在交点之外,∴y1<0、y2<0.故选B.
分析:
根据函数的解析式求得函数与x轴的交点坐标,利用自变量x取m时对应的值大于0,确定m-1、m+1的位置,进而确定函数值为y1、y2.
二、填空题
16.二次函数y=x2-2x-3的图象如图所示.当y<0时,自变量x的取值范围是____
答案:
-1<x<3,
知识点:
二次函数的性质;抛物线与x轴的交点
解析:
解答∵二次函数y=x2-2x-3的图象如上图所示.
∴图象与x轴交在(-1,0),(3,0),
∴当y<0时,即图象在x轴下方的部分,此时x的取值范围是:
-1<x<3,
分析:
根据二次函数的性质得出,y<0,即是图象在x轴下方部分,进而得出x的取值范围.
17.二次函数y=x2-6x+n的部分图象如图所示,若关于x的一元二次方程x2-6x+n=0的一个解为x1=1,则另一个解x2=____.
答案:
5
知识点:
二次函数的性质,抛物线与x轴的交点.
解析:
解答:
由图可知,对称轴为x=
=
=3
根据二次函数的图象的对称性,
=3
解得x2=5.故答案为:
5.
分析:
根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称,直接求出x2的值.
18.如图,是二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的一部分,给出下列命题:
①a+b+c=0;②b>2a;③ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1;④a-2b+c>0.其中正确的命题是.(只要求填写正确命题的序号)
答案:
①③.
知识点:
抛物线与x轴的交点;二次函数图象上点的坐标特征;二次函数图象与系数的关系
解析:
解答:
由图象可知:
过(1,0),代入得:
a+b+c=0,∴①正确;
=-1,∴b=2a,∴②错误;根据图象关于对称轴x=-1对称,与X轴的交点是(-3,0),(1,0),∴③正确;∵b=2a>0,∴-b<0,∵a+b+c=0,∴c=-a-b,∴a-2b+c=a-2b-a-b=-3b<0,∴④错误.故答案为:
①③.
分析:
由图象可知过(1,0),代入得到a+b+c=0;根据
=-1,推出b=2a;根据图象关于对称轴对称,得出与x轴的交点是(-3,0),(1,0);由a-2b+c=a-2b-a-b=-3b<0,根据结论判断即可.
19.抛物线:
y=ax2+2ax+a2+2的一部分如图所示,那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是____.
答案:
(1,0).
知识点:
抛物线与x轴的交点,二次函数的性质.
解析:
解答:
由图可知点(-3,0)在抛物线上,把(-3,0)代入y=ax2+2ax+a2+2中,
得9a-6a+a2+2=0,解得a=-1或a=-2;当a=-1时,y=-x2-2x+3=-(x+3)(x-1),
设y=0,则x1=-3,x2=1,
∴在y轴右侧与x轴交点的坐标是(1,0);
当a=-2时,y=-2x2-4x+6=-2(x+3)(x-1),
设y=0,则x1=-3,x2=1,
∴在y轴右侧与x轴交点的坐标是(1,0).
∴抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是(1,0).
分析:
先把点(-3,0)代入y=ax2+2ax+a2+2中求出a的值,得到完整的解析式后,再利用ax2+2ax+a2+2=0解出x的值,即求出对应的x值,可得到右侧交点坐标.
20.对于二次函数y=x2-2mx-3,有下列说法:
①它的图象与x轴有两个公共点;
②如果当x≤1时y随x的增大而减小,则m=1;
③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点,则m=-1;
④如果当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,则当x=2012时的函数值为-3.
其中正确的说法是____.(把你认为正确说法的序号都填上)
答案:
①④.
知识点:
抛物线与x轴的交点,二次函数的性质.
解析:
解答:
①∵△=4m2-4×(-3)=4m2+12>0,∴它的图象与x轴有两个公共点,故本选项正确;②∵当x≤1时y随x的增大而减小,∴函数的对称轴x=
≥1在直线x=1的右侧(包括与直线x=1重合),则
≥1,即m≥1,故本选项错误;③将m=-1代入解析式,得y=x2+2x-3,当y=0时,得x2+2x-3=0,即(x-1)(x+3)=0,解得,x1=1,x2=-3,将图象向左平移3个单位后不过原点,故本选项错误;④∵当x=4时的函数值与x=2008时的函数值相等,∴对称轴为x=
=1006,则
=1006,m=1006,原函数可化为y=x2-2012x-3,当x=2012时,y=20122-2012×2012-3=-3,故本选项正确.故答案为①④.
分析:
①根据函数与方程的关系解答;
②找到二次函数的对称轴,再判断函数的增减性;
③将m=-1代入解析式,求出和x轴的交点坐标,即可判断;
④根据坐标的对称性,求出m的值,得到函数解析式,将m=2012代入解析式即可.
三、解答题
21.
(1)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2-4q≥0)的两根为x1、x2;求证:
x1+x2=-p,x1 x2=q.
答案:
证明:
(1)∵a=1,b=p,c=q∴△=p2-4q∴x=
即x1=
,x2=
∴x1+x2=
+
=-p,
x1x2=
=q
(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B两点,且过点(-1,-1),设线段AB的长为
d,当p为何值时,d2取得最小值,并求出最小值.
答案:
把(-1,-1)代入得p-q=2,q=p-2
设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为(x1,0)、(x2,0)
∵d=|x1-x2|,∴d2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=p2-4q=p2-4p+8=(p-2)2+4
当p=2时,d2的最小值是4.
知识点:
抛物线与x轴的交点,根与系数的关系
解析:
证明:
(1)∵a=1,b=p,c=q∴△=p2-4q∴x=
即x1=
,x2=
∴x1+x2=
+
=-p,
x1x2=
=q
(2)把(-1,-1)代入得p-q=2,q=p-2
设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为(x1,0)、(x2,0)
∵d=|x1-x2|,∴d2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=p2-4q=p2-4p+8=(p-2)2+4
当p=2时,d2的最小值是4.
分析:
(1)先根据求根公式得出x1、x2的值,再求出两根的和与积即可;
(2)把点(-1,-1)代入抛物线的解析式,再由d=|x1-x2|可知d2=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4 x1x2=p2,再由
(1)中 x1+x2=-p,x1x2=q即可得出结论.
22.已知二次函数y=x2+bx-c的图象与x轴两交点的坐标分别为(m,0),(-3m,0)(m≠0).
(1)证明4c=3b2;
答案:
证明:
依题意,m,-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两根,根据一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=m+(-3m)=-b,x1x2=m(-3m)=-c,∴b=2m,c=3m2,∴4c=3b2=12m2;
(2)若该函数图象的对称轴为直线x=1,试求二次函数的最小值.
答案:
解:
依题意,
=1,即b=-2,由
(1)得c=
=
×(-2)2=3,
∴y=x2-2x+3=(x-1)2+2,∴二次函数的最小值为2.
知识点:
抛物线与x轴的交点,根与系数的关系,待定系数法求二次函数解析式.
解析:
(1)证明:
依题意,m,-3m是一元二次方程x2+bx-c=0的两根,根据一元二次方程根与系数的关系,得x1+x2=m+(-3m)=-b,x1x2=m(-3m)=-c,∴b=2m,c=3m2,∴4c=3b2=12m2;
(2)解:
依题意,
=1,即b=-2,由
(1)得c=
=
×(-2)2=3,
∴y=x2-2x+3=(x-1)2+2,∴二次函数的最小值为2.
分析:
(1)由根与系数关系得出等式,消去m,得出b、c的关系式;
(2)根据对称轴公式可求系数b,代入
(1)的结论可求c,可确定二次函数解析式,再求函数的最小值.
23.已知二次函数y=x2+2x+m的图像C1与x轴有且只有一个公共点.
(1)求C1的顶点坐标;
答案:
C1的顶点坐标为(-1,0)
(2)将C1向下平移若干个单位后,得抛物线C2,如果C2与x轴的一个交点为A(-3,0),求C2的函数关系式,并求C2与x轴的另一个交点坐标;
答案:
C2的函数关系式为y=(x+1)2-4,它与x轴的另一个交点坐标为(1,0)
(3)若P(n,y1),Q(2,y2)是C1上的两点,且y1>y2,求实数n的取值范围.
答案:
n>2或n<-4.
知识点:
抛物线与x轴的交点,二次函数的性质.
解析:
解答:
(1)y=x2+2x+m=(x+1)2+m-1,对称轴为直线x=-1,
∵与x轴有且只有一个公共点,∴顶点的纵坐标为0,∴C1的顶点坐标为(-1,0);
(2)设C2的函数关系式为y=(x+1)2+k,
把A(-3,0)代入上式得(-3+1)2+k=0,得k=-4,
∴C2的函数关系式为y=(x+1)2-4.
∵抛物线的对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点为A(-3,0),
由对称性可知,它与x轴的另一个交点坐标为(1,0);
(3)当x≥-1时,y随x的增大而增大,
当n≥-1时,∵y1>y2,∴n>2.
当n<-1时,P(n,y1)的对称点坐标为(-2-n,y1),且-2-n>-1,
∵y1>y2,∴-2-n>2,∴n<-4.
综上所述:
n>2或n<-4.
分析:
(1)由于二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点,那么顶点的纵坐标为0,由此可以确定m.
(2)首先设所求抛物线解析式为y=(x+1)2+k,然后把A(-3,0)代入即可求出k,也就求出了抛物线的解析式;
(3)由于图象C1的对称轴为直线x=-1,所以知道当x≥-1时,y随x的增大而增大,然后讨论n≥-1和n≤-1两种情况,利用前面的结论即可得到实数n的取值范围.
24.已知:
抛物线y=
(x-1)2-3.
(1)写出抛物线的开口方向、对称轴;
答案:
抛物线的开口向上,对称轴为直线x=1
(2)函数y有最大值还是最小值?
并求出这个最大(小)值;
答案:
函数y有最小值,最小值为-3
(3)设抛物线与y轴的交点为P,与x轴的交点为Q,求直线PQ的函数解析式.
答案:
直线PQ的解析式为y=-
x-
或y=
x-
知识点:
抛物线与x轴的交点,二次函数的性质,二次函数的最值.
解析:
解答:
(1)抛物线y=
(x-1)2-3,∵a=
>0,∴抛物线的开口向上,对称轴为直线x=1;
(2)∵a=
>0,∴函数y有最小值,最小值为-3;
(3)令x=0,则y=
(0-1)2-