山东省龙口市兰高镇兰高学校九年级数学圆的有关性质考点分类练习题三.docx

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山东省龙口市兰高镇兰高学校九年级数学圆的有关性质考点分类练习题三

鲁教版初四数学圆的有关性质考点分类练习题三

考点5：

垂径定理、圆周角等与其他章节综合问题

相关知识：

有关圆的解答题往往是综合题，尤其以与相似三角形、直角三角形的综合题偏多

1.如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连结CD、OD，给出以下四个结论：

①AC∥OD；②

；③△ODE∽△ADO；④

．其中正确结论的序号是　　．

2.如图，在以AB为直径的半圆中，有一个边长为1的内接正方形CDEF，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是．

4.如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.

（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；

（2）当DE＝8时，求线段EF的长；

（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.

5.已知：

AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点G，E是直线AB上一动点（不与点A、B、G重合），直线DE交⊙O于点F，直线CF交直线AB于点P.设⊙O的半径为r.

（1）如图1，当点E在直径AB上时，试证明：

OE·OP＝r2

（2）当点E在AB（或BA）的延长线上时，以如图2点E的位置为例，请你画出符合题意的图形，标注上字母，

（1）中的结论是否成立？

请说明理由.

6.阅读下面的情境对话，然后解答问题

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：

“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题？

（2）在Rt

ABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若Rt

ABC是奇异三角形，求a：

b：

c；

（3）如图，AB是⊙O的直径，C是上一点（不与点A、B重合），D是半圆

的中点，CD在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E使得AE＝AD，CB＝CE．

求证：

ACE是奇异三角形；

当

ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

7.如图7，⊙O中AB是直径，C是⊙O上一点，∠ABC=45°，等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角，点D在线段AC上．

（1）证明：

B、C、E三点共线；

（2）若M是线段BE的中点，N是线段AD的中点，证明：

MN=

OM；

（3）将△DCE绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）后，记为△D1CE1（图8），若M1是线段BE1的中点，N1是线段AD1的中点，M1N1=

OM1是否成立？

若是，请证明；若不是，说明理由．

图7

图8

8.已知△ABC，分别以AC和BC为直径作半圆

、

P是AB的中点.

（1）如图8，若△ABC是等腰三角形，且AC=BC，在

上分别取点E、F，使

则有结论①

②四边形

是菱形.请给出结论②的证明；

（2）如图9，若

（1）中△ABC是任意三角形，其它条件不变，则

（1）中的两个结论还成立吗？

若成立，请给出证明；

（3）如图10，若PC是

的切线，求证：

D

9.如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD.

（1）弦长AB=________（结果保留根号）；

（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数；

（3）当AC的长度为多少时，以点A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？

请写出解答过程.

10.已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD.

（1）如图①，当PA的长度等于______时，∠PAB=60°；

当PA的长度等于______时，△PAD是等腰三角形；

（2）如图②，以AB边所在的直线为x轴，AD边所在的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3.设P点坐标为（a，b），试求2S1S3-S22的最大值，并求出此时a、b的值.

11.如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M，OM的延长线与BC相交于点N．

（1）点N是线段BC的中点吗？

为什么？

（2）若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm，AB=5cm，BC=10cm，求小圆的半径．

12.已知：

如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作⊙0，⊙O经过B、D两点，过点B作BK⊥AC，垂足为K．过D作DH∥KB，DH分别与AC、AB、⊙O及CB的延长线相交于点E、F、G、H．

（1）求证：

AE=CK；

（2）如果AB=

，AD=

（

为大于零的常数），求BK的长；

（3）若F是EG的中点，且DE=6，求⊙O的半径和GH的长．

13.已知：

在△ABC中，以AC边为直径的⊙O交BC于点D，在劣弧

上到一点E使∠EBC=∠DEC，延长BE依次交AC于G，交⊙O于H．

（1）求证：

AC⊥BH；

（2）若∠ABC=45°，⊙O的直径等于10，BD=8，求CE的长．

14.在圆内接四边形ABCD中，CD为∠BCA外角的平分线，F为弧AD上一点，BC=AF，延长DF与BA的延长线交于E．

⑴求证△ABD为等腰三角形．⑵求证AC•AF=DF•FE

15．如图，⊙P与

轴相切于坐标原点O（0，0），与

轴相交于点A（5，0），过点A的直线AB与

轴的正半轴交于点B，与⊙P交于点C．

（1）已知AC＝3，求点Ｂ的坐标；

（2）若AC＝

D是OＢ的中点．问：

点O、P、C、D四点是否在同一圆上？

请说明理由．如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为

，函数

的图象经过点

，求

的值（用含

的代数式表示）．

16.已知：

如图，ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．

（1）求证：

∠DAC＝∠DBA；

（2）求证：

是线段AF的中点；

（3）若⊙O的半径为5，AF＝

，求tan∠ABF的值．

17.

如图，在Rt△ABC中,∠ACB＝90°，D是AB边上的一点，以BD为直径的⊙0与边AC相切于点E，连结DE并延长，与BC的延长线交于点F.

（1）求证：

BD=BF;

（2）若BC=12,AD=8，求BF的长．

18.如图，等边△ABC内接于⊙O，P是

上任一点（点P不与点A、B重合）.连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M.

（1）填空：

∠APC＝度，∠BPC＝度；

（2）求证：

△ACM∽△BCP；

（3）若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积.

19.如图D是△ABC的边BC的中点，过AD延长线上的点E作AD的垂线EF，E为垂足，EF与AB的延长线相交于点F，点0在AD上，AO=CO，BC//EF.

（1）证明:

AB=AC；

（2）证明:

点0是AABC的外接圆的圆心；

（3）当AB=5,BC=6时，连接BE若∠ABE=90°，求AE的长.

）