第1章 简单的逻辑联结词.docx
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第1章简单的逻辑联结词
§1.2 简单的逻辑联结词
学习目标
1.了解“且”“或”作为逻辑联结词的含义，掌握“p∨q”“p∧q”命题的真假规律.2.了解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.
知识点一 p∧q
思考1 观察三个命题：
①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，它们之间有什么关系？
答案 命题③是将命题①②用“且”联结得到的新命题，“且”与集合运算中交集的定义A∩B＝{x|x∈A且x∈B}中“且”的意义相同，叫逻辑联结词，表示“并且”，“同时”的意思.
思考2 分析思考1中三个命题的真假？
答案 命题①②③均为真.
梳理
（1）定义
一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∧q”，读作“p且q”.
（2）命题p∧q的真假判断
命题p∧q的真假与命题p和命题q的真假有着必然的联系，我们将命题p，命题q以及命题p∧q的真假情况绘制成命题p∧q的真值表如下：
p
q
p∧q
真
真
真
真
假
假
假
真
假
假
假
假
命题p∧q的真值表可以简单归纳为“一假则假，真真才真”.
知识点二 p∨q
思考1 观察三个命题：
①3>2；②3＝2；③3≥2.它们之间有什么关系？
答案 命题③是命题①②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.
思考2 思考1中的真假性是怎样的？
答案 ①③为真命题，②为假命题.
梳理
（1）定义
一般地，用逻辑联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作“p∨q”，读作“p或q”.
（2）命题p∨q的真假判断
我们将命题p，命题q以及命题p∨q的真假情况绘制成命题p∨q的真值表如下：
p
q
p∨q
真
真
真
真
假
真
假
真
真
假
假
假
命题p∨q的真值表可以简单归纳为“一真则真，假假才假”.
知识点三 綈p
思考 观察下列两组命题，看它们之间有什么关系？
并指出其真假：
（1）p：
5是25的算术平方根，q：
5不是25的算术平方根；
（2）p：
y＝tanx是偶函数，q：
y＝tanx不是偶函数.
答案 两组命题中，命题q都是命题p的否定.
（1）中p真，q假.
（2）中p假，q真.
梳理
（1）定义
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作“綈p”，读作“非p”或“p的否定”.
（2）命题綈p的真假判断
因为命题p与命题綈p互为否定，所以它们的真假一定不同，真值表如下：
p
綈p
真
假
假
真
命题綈p的真值表可以归纳为“不可同真同假”.
1.逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中.（ × ）
2.“p∨q为真命题”是“p为真命题”的充分条件.（ × ）
3.命题“p∨（綈p）”是假命题.（ × ）
4.平行四边形的对角线相等且平分是“p∨q”形式的命题.（ × ）
类型一 用逻辑联结词联结组成新命题
例1 分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的新命题：
（1）p：
π是无理数，q：
e不是无理数；
（2）p：
方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根，q：
方程x2＋2x＋1＝0两根的绝对值相等；
（3）p：
正△ABC的三内角都相等，q：
正△ABC有一个内角是直角.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 构建“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
解
（1）p∨q：
π是无理数或e不是无理数；
p∧q：
π是无理数且e不是无理数；
綈p：
π不是无理数.
（2）p∨q：
方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根或两根的绝对值相等；
p∧q：
方程x2＋2x＋1＝0有两个相等的实数根且两根的绝对值相等；
綈p：
方程x2＋2x＋1＝0没有两个相等的实数根.
（3）p∨q：
正△ABC的三内角都相等或有一个内角是直角；
p∧q：
正△ABC的三内角都相等且有一个内角是直角；
綈p：
正△ABC的三个内角不都相等.
反思与感悟 解决这类问题的关键是正确理解“或”“且”“非”的定义，用“或”“且”“非”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可把命题p，q中的条件或结论合并.
跟踪训练1 分别写出由下列命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题.
（1）p：
梯形有一组对边平行，q：
梯形有一组对边相等；
（2）p：
－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：
－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 构建“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
解
（1）p∧q：
梯形有一组对边平行且有一组对边相等.
p∨q：
梯形有一组对边平行或有一组对边相等.
綈p：
梯形没有一组对边平行.
（2）p∧q：
－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.
p∨q：
－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.
綈p：
－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解.
类型二 含有逻辑联结词命题的真假
例2 分别指出下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题的真假：
（1）p：
6<6，q：
6＝6；
（2）p：
梯形的对角线相等，q：
梯形的对角线互相平分；
（3）p：
函数y＝x2＋x＋2的图象与x轴没有公共点，q：
不等式x2＋x＋2<0无解；
（4）p：
函数y＝cosx是周期函数，q：
函数y＝cosx是奇函数.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
解
（1）∵p为假命题，q为真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为真命题.
（2）∵p为假命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为假命题，綈p为真命题.
（3）∵p为真命题，q为真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，綈p为假命题.
（4）∵p为真命题，q为假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，綈p为假命题.
反思与感悟 判断含逻辑联结词命题的真假的步骤
（1）逐一判断命题p，q的真假.
（2）根据“且”“或”“非”的含义判断“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假.
跟踪训练2 指出下列命题的形式及命题的真假：
（1）48是16与12的公倍数；
（2）方程x2＋x＋3＝0没有实数根；
（3）相似三角形的周长相等或对应角相等.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 构建“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
解
（1）这个命题是“p∧q”的形式.其中p：
48是16的倍数，是真命题；q：
48是12的倍数，是真命题，所以“48是16与12的公倍数”是真命题.
（2）这个命题是“綈p”的形式.其中p：
方程x2＋x＋3＝0有实数根，是假命题，所以命题“方程x2＋x＋3＝0没有实数根”是真命题.
（3）这个命题是“p∨q”的形式.其中p：
相似三角形的周长相等，是假命题；q：
相似三角形的对应角相等，是真命题，所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题.
类型三 用含逻辑联结词命题的真假求参数的范围
例3 （2018·南通中学月考）设命题p：
幂函数y＝
在（0，＋∞）上单调递减，命题q：
a＝－
＋
在（0,3）上有解；若p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假判断
题点 由命题p∨q，p∧q，綈p的真假，求参数范围
解 若p正确，则a2－a－2<0，∴－1若q正确⇔y＝a与y＝－
＋
的函数图象在（0,3）上有交点⇔a≤1.
∵p∧q为假，p∨q为真，∴p，q一真一假，
∴
或
∴a≤－1或1即a的取值范围为（－∞，－1]∪（1,2）.
反思与感悟 由真值表可判断p∨q，p∧q，綈p命题的真假.反之，由p∨q，p∧q，綈p命题的真假也可判断p，q的真假情况.一般求满足p假成立的参数的范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集.
跟踪训练3 已知p：
函数y＝x2＋mx＋1在（－1，＋∞）上单调递增，q：
函数y＝4x2＋4（m－2）x＋1大于零恒成立.若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假判断
题点 由命题p∨q，p∧q，綈p的真假，求参数范围
解 若函数y＝x2＋mx＋1在（－1，＋∞）上单调递增，则－
≤－1，∴m≥2，即p：
m≥2.
若函数y＝4x2＋4（m－2）x＋1恒大于零，
则Δ＝16（m－2）2－16<0，
解得11因为p或q为真，p且q为假，所以p，q一真一假，
当p真q假时，由
得m≥3.
当p假q真时，由
得1综上可知，m的取值范围是{m|m≥3或11.把“x≥5”改写为含有逻辑联结词的命题为___________________________.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 构建“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
答案 x>5或x＝5
2.已知p：
∅⊆{0}，q：
{1}∈{1,2}，则在四个命题p，q，p∧q，p∨q中，真命题有_____个.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 2
解析 ∵p真，q假，∴p∧q为假，p∨q为真，
故真命题有2个.
3.命题s具有“p或q”的形式，已知“p且r”是真命题，那么s是________命题.（填“真”“假”）
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 真
解析 ∵p且r为真命题，∴p为真命题，
∴p或q为真命题.
4.已知命题p：
若实数x，y满足x2＋y2＝0，则x，y全为零；命题q：
若a＞b，则
＜
.
给出下列四个命题：
①p且q；②p或q；③非p；④非q.
其中真命题是________.（填序号）
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 ②④
解析 由于命题p是真命题，命题q是假命题，由真值表可知：
p且q为假；p或q为真；非p为假；非q为真，所以真命题是②④.
5.已知命题p：
关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：
关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞）上是增函数，若p∧q是真命题，则实数a的取值范围为________________.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假判断
题点 由命题p∨q，p∧q，綈p的真假，求参数范围
答案 [－12，－4]∪[4，＋∞）
解析 若命题p是真命题，则Δ＝a2－16≥0，
即a≤－4或a≥4；若命题q是真命题，
则－
≤3，即a≥－12.
∵p∧q是真命题，∴p，q均为真，
∴
即－12≤a≤－4或a≥4，
∴a的取值范围为[－12，－4]∪[4，＋∞）.
1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.
2.若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真.类比集合知识，“綈p”就相当于集合P在全集U中的补集∁UP.因此（綈p）∧p为假，（綈p）∨p为真.
3.命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别.
一、填空题
1.下列命题：
①矩形的对角线相等且互相平分；②10的倍数一定是5的倍数；③方程x2＝1的解为x＝±1；④3∉{1,2}.
其中使用逻辑联结词的命题有________个.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 构建“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
答案 3
解析 ①中有“且”，②中没有，③中有“或”，④中有“非”.
2.已知命题p，q，则命题“p或q为真”是“p且q为真”的______________条件.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 必要不充分
解析 p或q为真命题推不出p且q为真命题，而p且q为真命题可以推出p或q为真命题.
3.给出命题p：
3≥3；q：
函数f（x）＝
在R上的值域为[－1,1].在下列三个命题：
“p∧q”“p∨q”“綈p”中，真命题的个数为________.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 1
解析 由p真q假知，p∨q为真，p∧q为假，綈p为假.
4.命题“若a考点 “非”命题的概念
题点 辨析命题的否定与否命题
答案 若a≥b，则2a≥2b 若a解析 命题“若a5.设命题p：
2x＋y＝3；q：
x－y＝6，若p∧q为真命题，则x＝________，y＝________.
考点 “p∧q”形式的命题
题点 已知p∧q命题的真假，求参数（或其范围）
答案 3 －3
解析 由题意有
解得
6.已知命题p：
{2}∈{1,2,3}，q：
{2}⊆{1,2,3}，则下列结论：
①p或q为真；②p或q为假；③p且q为真；④p且q为假；⑤非p为真；⑥非q为假.
其中所有正确结论的序号是________.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 ①④⑤⑥
解析 因为p：
{2}∈{1,2,3}，q：
{2}⊆{1,2,3}，所以p假q真，故①④⑤⑥正确.
7.若命题p：
不等式ax＋b>0的解集为
，命题q：
关于x的不等式（x－a）（x－b）<0的解集为{x|a考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 非p
解析 因为命题p，q均为假命题，
所以“p或q”“p且q”均为假命题，而“非p”为真命题.
8.对于命题p，q，若p且q为真命题，则下列四个命题：
①p或綈q是真命题；②p且綈q是真命题；③綈p且綈q是假命题；④綈p或q是假命题.
其中真命题是________.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 ①③
解析 ∵p且q为真命题，则p真，q真，∴綈p假，綈q假，所以只有①③为真命题.
9.已知p：
x2－x≥6，q：
x∈Z.若“p∧q”“綈q”都是假命题，则x的值组成的集合为________________.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假判断
题点 由命题p∨q，p∧q，綈p的真假，求参数范围
答案 {－1,0,1,2}
解析 因为“p∧q”为假，綈q为假，所以q为真，p为假.故
即
因此x的值可以是－1,0,1,2.
10.已知命题p：
m∈R，且m＋1≤0，命题q：
x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p且q为假命题，p或q为真命题，则m的取值范围为____________.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假判断
题点 由命题p∨q，p∧q，綈p的真假，求参数范围
答案 （－∞，－2]∪（－1,2）
解析 ∵x2＋mx＋1>0恒成立，
∴Δ＝m2－4<0，即－2∴q：
－2m≤－1.
由题意知，p与q为一真一假，
当p真q假时，
得m≤－2；
当p假q真时，
得－1综上所述，m的取值范围为（－∞，－2]∪（－1,2）.
二、解答题
11.分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”及“綈p”的形式，并判断真假：
（1）p：
2n－1（n∈Z）是奇数，q：
2n－1（n∈Z）是偶数；
（2）p：
集合中的元素是确定的，q：
集合中的元素是无序的.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
解
（1）p或q：
2n－1（n∈Z）是奇数或是偶数；（真）
p且q：
2n－1（n∈Z）既是奇数又是偶数；（假）
綈p：
2n－1（n∈Z）不是奇数.（假）
（2）p或q：
集合中的元素是确定的或是无序的；（真）
p且q：
集合中的元素是确定的且是无序的；（真）
綈p：
集合中的元素是不确定的.（假）
12.已知命题p：
1∈{x|x22∈{x|x2（1）若“p或q”为真命题，求实数a的取值范围；
（2）若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
解 若p为真，则1∈{x|x2所以121；
若q为真，则2∈{x|x24.
（1）若“p或q”为真，则a>1或a>4，
即a>1.故实数a的取值范围是（1，＋∞）.
（2）若“p且q”为真，则a>1且a>4，
即a>4.故实数a的取值范围是（4，＋∞）.
13.已知a>0，设命题p：
函数y＝ax在R上单调递增；
命题q：
不等式x2－ax＋1>0对x∈R恒成立，若p∨q为真命题，（綈p）∨（綈q）也为真命题，求实数a的取值范围.
解 ∵y＝ax在R上为增函数，
∴命题p：
a>1.
∵不等式x2－ax＋1>0在R上恒成立，
∴应满足Δ＝a2－4<0，即0∴命题q：
0由p∨q为真命题，则p，q中至少有一个为真，
由（綈p）∨（綈q）也为真，则綈p，綈q中至少有一个为真，
∴p，q中有一真、一假.
①当p真，q假时，
∴a≥2；
②当p假，q真时，
∴0综上可知，a的取值范围为{a|a≥2或0三、探究与拓展
14.已知实数a满足1y＝loga（2－ax）在[0,1]上是减函数，命题q：
|x|<1是x①p∨q为真；②p∧q为假；③（綈p）∧q为真；④（綈p）∧（綈q）为假.
其中正确的命题是________.（填序号）
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题
题点 判断“p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假
答案 ①④
解析 由y＝loga（2－ax）在[0,1]上是减函数，得a>1且2－a>0，即115.设函数f（x）＝lg
的定义域为A，若命题p：
3∈A与q：
5∈A有且只有一个为真命题，则实数a的取值范围为________.
考点 “p∨q”“p∧q”“綈p”形式命题的真假判断
题点 由命题p∨q，p∧q，綈p的真假，求参数范围
答案
∪[9,25）
解析 A＝
，
若p：
3∈A为真，则
>0，即
若q：
5∈A为真，则
>0，即1若p真q假，则
所以a无解；
若p假q真，则
解得1或9≤a<25.
所以实数a的取值范围为
∪[9,25）.
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