名师整理最新中考数学专题复习《一元二次方程的应用》精品教案.docx

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名师整理最新中考数学专题复习《一元二次方程的应用》精品教案

中考数学人教版专题复习：

一元二次方程的应用

一、教学内容

实际问题与一元二次方程

1.根据实际问题列出一元二次方程，并会求出符合实际问题的解．

2.在分析解决问题的过程中逐步深入地体会一元二次方程作为一种数学模型的应用价值．

二、知识要点

1.列一元二次方程解应用题的一般步骤

与列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤也归结为：

审、设、列、解、检验、答．

（1）审：

是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量以及它们之间的等量关系．

（2）设：

是指设元，也就是设未知数．

（3）列：

就是列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程．

（4）解：

就是解方程，求出未知数的值．

（5）检验：

是指检验方程的解能否保证实际问题有意义．

（6）答：

就是写出答案．

2.列一元二次方程解决实际问题的常见题型

（1）销售问题；

（2）数字问题；（3）面积问题；（4）平均增长（降低）率问题．

3.列一元二次方程解实际问题的注意事项

（1）要搞清现实生活中的一些数量关系，例如：

距离＝速度×时间，工作量＝工作效率×工作时间，溶质重量＝溶液重量×浓度等等．

（2）还有一些关键词语也要搞清，如“多”、“倍”、“差”、“提前”、“同时”、“早到”、“迟到”、“增加几倍”等．对于“增长率”问题

，要注意区分“增”与“减”，如人口的减少、利率的降低、汽车的折旧等等，都是在原来基数上减少，不能与增加混淆．

（3）列方程解应用题时，要对所求出的未知数进行检验，检验的目的有两个：

其一，检验求出来的未知数的值是否满足方程；其二，检验求出的未知数的值是不是满足实际问题的要求，对于适合方程而不适合实际问题的未知数的值应舍去．

三、重点难点

本讲的重点是，进一步反映一元二次方程与实际问题的密切联系，再次体现数学建模思想，加强培养运用一元二次方程分析和解决实际问题的能力．由于本讲问题的背景和表达都比较贴近实际，其中的有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确地建立一元二次方程是主要难点．突破难点的关键是弄清问题背景，把有关数量关系分析透彻，特别是找出可以作为列方程依据的主要相等关系．

四、考点分析

有关一元二次方程的内容是中考命题的重点，属必考内容．单独考查时多以选择题、填空题等低档题出现，但也经常作为综合题和探究题的一个步骤，还有一个重点题型是列方程解决实际问题．

【典型例题】

例1.小明将1000元钱存入银行，定期一年后取出500元购买学习用品，剩下的500元和应得的利率又全部按一年定期存入，若存

款的年利率保持不变，到期后取出660元，求年利率．

分析：

本题属本息问题，第一年：

本金＝1000元，利率为x，本息和为1000（1＋x）；第二年：

本金［1000（1＋x）－500］元，利率为x，本息和为［1000（1＋x）－500］（1＋x）＝660．

解：

设存款年利率为x，

由题意得［1000（1＋x）－500］（1＋x）＝660

整理得50x2＋75x－8＝0

解得x1＝

，x2＝－

（不合题意舍去），

取x＝

＝10%

答：

存款的年利率为10%．

评析：

将各数据代入本息和计算公式即可求得结果．应熟记利率的计算公式，本息和＝本金×（1＋利率）年数．

例2.三个连续正整数，最大数的立方与最小数的立方差比中间数的40倍大16，求这三个数．

分析：

∵相邻的两个连续整数之间相差1，∴这三个连续正整数用一个未知数表示的方法是x，x＋1，x＋2或x－1，x，x＋1或x－2，x－1，x，根据题中相等关系：

（最大数的立方）－（最小数的立方）＝40×（中间数）＋16，此题设中间数为x比较方便．

解：

设中间数为x，则最大数为x＋1，最小数为x－1，由题意得

（x＋1）3

－（x－1）3＝40x＋16，

整理得3x2－20x－7＝0，

解得x1＝7，x2＝－

．

∵x＝－

不合题

意舍去，∴只取x＝7．

∴x＋1＝8，x－1＝6．

答：

这三个连续正整数是6、7、8．

评析：

解数字问题的关键是正确而巧妙地设未知数，一般采用间接设元法，如有关三个连续整数（或连续奇数，连续偶数）的问题，一般设中间一个数为x，再用含x的代数式表示其

余两个数．

例3.用一块长方形的铁片，在它的四个角上各自剪去一个边长是4cm的小正方形，然后把四边折起来，恰好做成一个没有盖的盒子，已知铁片的长是宽的2倍，做成盒子的容积是1536cm3，求这块铁片的长和宽．

分析：

如图所示，设铁片的宽为xcm，则长为2xcm，做成的盒子的底面积就是图中虚线围成的长方形面积：

（2x－4－4）（x－4－4）cm2．盒子的高应等于小正方形的边长4cm，盒子的容积可用代数式表示为4（2x－8）（x－8）cm3．

解：

设铁片的宽为xcm，则长为2xcm．

根据题意得4（2x－8）（x－8）＝1536，

整理得x2－12x－160＝0，

解得x1＝20，x2＝－8（不合题意舍去）

当x＝20时，2x＝40．

答：

铁片的宽为20cm，长为40cm．

例4.植树造林是造福子孙后代的善义之举，某中学师生从2005年到2008年四年内共植树1999棵，已知该校2005年植树344棵，2006年植树500棵，如果2006年到2008年的植树棵数的年增长率相同，那么该校2008年植树多少棵？

分析：

此题是平均增长率问题，相等关系是四年植树总和＝1999，设2007年、2008年两年中植树棵数的年增长率为x，则2007年植树500（

1＋x）棵，2008年植树500（1＋x）2棵．

解：

设该校两年植树棵数的年增长率为x，根据题意得

344＋500＋500（1＋x）＋500（1＋x）2＝1999，

解得x1＝0.1＝10%，x2＝－3.1（舍去），

则500（1＋10%）2＝605．

答：

2008年植树605棵．

例5.某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件商品售价为x元，则每天可卖出（350－10x）件，但物价局限定每件商品加价

不能超过进价的20%，商店要想每天赚400元，需要卖出多少件商品，每件商品的售价是多少元？

分析：

因为每天所赚的利润＝每件的利润×件数，所以根据题意可列出方程，求出每天卖出商品的件数及每件商品的售价．

解：

根据题意，得（x－21）（350－10x）＝400．

解得x1＝25，x2＝31．

∵

＝

＞20%，∴x＝31（舍去），

∴x＝25（元），

∴350－10x＝100（件）．

答：

需要每天卖出100件商品，每件商品的售价是25元．

例6.如图所示，△ABC中，∠B＝90°，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始，沿BC

边向点C以2cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经多长时间，使△PBQ的面积等于8cm2？

分析：

S△PBQ＝

BP·BQ．

解：

设经

xs点P在AB上，点Q在BC上，且使△PBQ的面积为8cm2，由题意得

（6－x）·2x＝8．

∴x2－6x＋8＝0．

解得x1＝2，x2＝4．

因此，经2s点P在离A点1×2＝2cm处，点Q在离B点2×2＝4cm处，经4s点P在离A点1×4＝4cm处，点Q在离B点2×4＝8cm处，它们都符合要求．

所以，此问题有两解．

答：

经2s或4s时△PBQ的面积等于8cm2．

【方法总结】

1.列方程解实际问题，一般分为审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案这六步进行，其中审题过程虽在草稿纸上进行，但这一步非常重要，只有经过认真审题，分清已知条件和所求量，明确量与量之间的数量关系，才能准确找出相等关系，列出方程．

2.在日常生活和社会实践中，许多问题都可通过建立一元二次方程这个模型进行求解，然后回到实际问题中进行解释和检验，从而体会数学建模的思想方法．

【模拟试题】（答题时间：

50分钟）

一、选择题

1.爆发的世界金融危机，是自上世纪三十年代以来世界最严重的一场金融危机．受金融危机的影响，某商品原价为200元，连续两次降价a%后售价为148元，下面所列方程正确的是（）

A．200（1＋a%）2＝148B．200（1－a%）2＝148

C．200（1－2a%）＝1

48D．200（1－a2%）＝148

2.为了让江西的山更绿、水更清，2008年省委、省政府提出了确保到2010年实现全省森林覆盖率达到63%的目标，已知2008年江西省森林覆盖率为60.05%，设从2008年起江西省森林覆盖率的年平均增长率为x，则可列方程（）

A．60.05（1＋2x）＝63%B．60.05（1＋2x）＝63

C．60.05（1＋x）2＝63%D．60.05（1＋x）2＝63

3.制造一种产品，原来每件成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低成本（）

A．8.5%B．9%C．9.5%D．10%

4.某城市为了申办冬运会，决定改善城市容貌，绿化环境，计划用两年时间，使绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是（）

A．19%B．20%C．21%D．22%

*5.生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共相互赠送标本182件，若全组有x名同学，则根据题意列出方程是（）

A．x（x＋1）＝182B．x（x－1）＝182

C．2x（x＋1）＝182D．x（x－1）＝182×2

*6.如果两个连续偶数的积为288，那么这两个数的和为（）

A．34B．0C．－2D．34或－34

二、填空题

1.某商品连续两次降价10%后价格为a元，则该商品原价为__________．

2.要用一条长24cm的铁丝围成一个斜边是10cm的直角三角形，则两条直角边分别是__________，_________

_．

*3.某种产品预计两年内成本将下降36%，则平均每年降低__________．

4.一个两位数，数字之和是9，如将个位数字，十位数字对调，与原数相乘的结果是1458，设十位数字为x，则列方程为__________．

5.有40米的篱笆在一25米长的墙边靠墙围成一面积是200平方米的矩形场地，则此矩形场地的长宽分别是__________．

*6.一次数学测试，满分为

100分，测试分数出来后，同桌的李华和吴珊同学把她俩的分数进行计算，并有如图所示的一段对话，那么对于下面的两个结论：

①两个人的说法都是正确的；②至少有一个人错了．其中正确的是__________（用序号①、②填写）．

三、解答题

1.有一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，把它的个位数字与十位数字对调，得到一个新数，新数与原数之积为1855，求原数．

**2.多

年以前，周老师曾将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元购物，剩下的1000元及所得的利息又全部按一年定期存入银行，且存款的利率不变，到期后得本金及利息共1320元，求这种存款方式的年利率．

*3.为了检验一批禽流感疫苗对鸡在自然条件下的免疫反应，工作人员在实验室外设立了一块面积为150平方米的长方形临时鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18米），另三边用

竹篱笆围成

，如果竹篱笆的长为35米，求这个鸡场的长与宽各是多少米？

4.如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处．甲沿着喀什路以4m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3m/s的速度由南向北走．当乙走到O点以北50m处时，甲恰好到点O处．若两人继续向前行走，求两个人相距85m时各自的位置．

【试题答案】

一、选择题

1.B2.D3.D4.B5.B6.D

二、填空题

1.

2.6cm，8cm3.20%4.[10x＋（9－x）][10（9－x）＋x]＝14585.20米、10米6.②（提示：

设其中一人的分数为x，则x（160－x）＝5500，解得x1＝50，x2＝110（不符合题意，舍去）．注意检验）

三、解答题

1.设原数个位上的数字为x，则十位上的数字为8－x，列方程得[10（8－x）＋x][10x＋（8－x）]＝1855．解得x1＝3，x2＝5．所以原两位数是35或53．

2.设这种存款的年利率为x，则（2000x＋1000）（1＋x）＝1320．解得x1＝－

（舍去），x2＝

＝10%．所以年利率是10%．

3.设宽为x米，则长为（35－2x）米，有x·（35－2x）＝150，解得x＝10或7.5．当x＝10时，35－2x＝15（米）；当x＝7.5时，35－2x＝20＞18，应舍去．所以鸡场的长为15米，宽为10米．

4.设经过x秒时两人相距85m，根据题意得：

（4x）2＋（50＋3x）2＝852化简得：

x2＋12x－189＝0解得：

x1＝9，x2＝－21（不符合实际情况，舍去）当x＝9时，4x＝36，50＋3x＝77．∴当两人相距85m时，甲在O点以东36m处，乙在O点以北77m处．