中考总复习六方程与方程组.docx
《中考总复习六方程与方程组.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《中考总复习六方程与方程组.docx（18页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
中考总复习六方程与方程组
中考总复习六：
方程与方程组
一、目标与策略
明确学习目标及主要的学习方法是提高学习效率的首要条件，要做到心中有数！
考试目标：
●能够根据具体问题中的数量关系，列出方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型.
●经历用观察、画图或计算器等手段估计方程解的过程.
●会解一元一次方程、简单的二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程（方程中的分式不超过两个）.
●理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程.
●能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.
复习策略：
●复习本专题时把握住转化的数学思想：
化多元为一元，化高次为低次，化分式方程为整式方程.方程的变形要依据等式的基本性质.
二、学习与应用
“凡事预则立，不预则废”。
科学地预习才能使我们上课听讲更有目的性和针对性。
我们要在预习的基础上，认真听讲，做到眼睛看、耳朵听、心里想、手上记。
考点一：
等式性质
（一）等式的两边都加上（或减去）同一个整式，结果仍是.
（二）等式的两边都乘以同一个数，结果仍是.
（三）等式的两边都除以同一个不等于零的数，结果仍是.
考点二：
方程及相关概念
（一）方程定义
含有的等式叫做方程.
（二）方程的解
使方程两边的值的未知数的值，叫做方程的解（一元方程的解也叫做根）.
（三）解方程
求方程的的过程，叫做解方程.
考点三：
一元一次方程
（一）一元一次方程定义
只含有个未知数，且未知数的次数是次的方程叫做一元一次方程.
（二）一元一次方程的一般形式：
.
（三）解一元一次方程的一般步骤：
（1）去；
（2）去；（3）；（4）合并；（5）系数；（6）检验（检验步骤可以不写出来）.
考点四：
二元一次方程组
（一）二元一次方程组定义
两个含有个未知数，且未知数的次数是次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组.
（二）二元一次方程组的一般形式：
（三）二元一次方程组的解法：
（1）消元法；
（2）消元法.
考点五：
分式方程
（一）分式方程定义
分母中含有的方程叫做分式方程.
（二）分式方程与整式方程的联系与区别：
分母中是否含有.
（三）分类：
（1）可化为一元一次方程的分式方程；
（2）可化为一元二次方程的分式方程.
（四）解分式方程的一般步骤：
（1）去分母，化为方程：
①把各分母分解；
②找出各分母的公分母；
③方程两边各项乘以公分母；
（2）解整式方程.
（3）检验（检验步骤必需写出来）.
①把未知数的值代入原方程（一般方法）；
②把未知数的值代入公分母（简便方法）.
（4）结论确定分式方程的解.
考点六：
一元二次方程
（一）一元二次方程定义
只含有个未知数，且未知数的次数是次的整式方程叫做一元二次方程.
（二）一元二次方程的一般形式：
.
（三）一元二次方程的解法：
（1）配方法
①通过配成式的形式来解一元二次方程的方法称为配方法.
②用配方解方程的一般步骤：
a化1：
把数化为1（方程两边都除以二次项系数）；
b移项：
把项移到方程的右边；
c配方：
方程两边都加上数绝对值的平方；
d变形：
方程左边写成形式，右边合并同类项；
e开方：
求平方根；
f求解：
解一元一次方程；
g定解：
写出原方程的解.
（2）公式法：
①一元二次方程：
，当
时，它的根是
②用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法（solvingbyformular）.
③用公式法解题的一般步骤：
a变形：
化已知方程为形式；
b确定系数：
用a，b，c写出各项系数；
c计算：
的值；
d代入：
把有关数值代入公式计算；
e定根：
写出原方程的根.
（3）因式分解法：
①当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个的乘积时，我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法称为因式分解法.
②因式分解法解一元二次方程的一般步骤是：
a化方程为形式；
b将方程左边；
c根据“两个因式的积等于零，至少有一个因式为零”，转化为两个一元一次方程；
d分别解两个一元一次方程，它们的根就是原方程的根.
考点七：
一元二次方程根的判别式
我们知道：
代数式
对于方程的根起着关键的作用.
当
时，方程
有的实数根
；
当
时，方程
有的实数根
；
当
时，方程
根.
所以我们把
叫做方程
的根的判别式，用“△”来表示，即
.
考点八：
列方程（组）解应用题的一般步骤：
（一）审：
分析题意，找出已、未知之间的数量关系和相等关系.
（二）设：
选择恰当的未知数（直接或间接设元），注意单位的统一和语言完整.
（三）列：
根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程（组）.
（四）解：
解所列的方程（组）.
（五）验：
（有三次检验①是否是所列方程（组）的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义）.
（六）答：
注意单位和语言完整.
类型一：
一元一次方程
例1．
（1）若
是关于x的一元一次方程，则m的值是（ ）
A．
B．-2 C．2 D．4
思路点拨：
根据一元一次方程的定义，首先要满足未知项系数不为0，其次未知项的最高次数为1.
解：
（2）（2010年台湾省）已知有大、小两种纸杯与甲、乙两桶果汁，其中小纸杯与大纸杯的容量比为2：
3，甲桶果汁与乙桶果汁的体积比为4：
5，若甲桶内的果汁刚好装满小纸杯120个，则乙桶内的果汁最多可装满几个大纸杯？
（）
（A）64 （B）100 （C）144 （D）225。
思路点拨：
设甲桶果汁与乙桶果汁的体积分别为4k、5k;乙桶内的果汁最多可装满x个大纸杯.由小纸杯与大纸杯的容量比为2：
3可得.
解析：
举一反三：
【变式1】关于x的一元一次方程
的解为.
思路点拨：
根据一元一次方程的定义.
解析：
例2．解方程：
（1）
；
（2）
[
（
-1）-2]-2x=3.
思路点拨：
（1）因为方程含有分母，应先去分母.注意每一项都要乘以6；
（2）此方程含括号，因为
×
=1，所以先去中括号简便.
解：
举一反三：
【变式1】解下列方程
（1）8-9x=9-8x；
（2）
；
（3）
；（4）
.
解：
（1）
（2）
法一：
法二：
（3）
（4）
类型二：
一元二次方程
例3．
（1）（2010年安徽芜湖）关于x的方程（a－5）x2－4x－1＝0有实数根，则a满足（）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
思路点拨：
方程根的定义、一元二次方程根的判别式、分类讨论（一元一次方程和一元二次方程）.
解析：
（2）已知：
3是关于x的方程
的一个解，则2a的值是（ ）
A．11B．12C．13D．14
解：
举一反三：
【变式1】已知x=-1是关于x的方程
的一个根，则a=________.
解：
【变式2】已知关于x的一元二次方程x2-（k＋1）x-6=0的一个根是2，求方程的另一根和k的值.
解：
例4．按要求解一元二次方程.
（1）x2+4x+4=1（直接开平方法）
思路点拨：
很清楚，x2+4x+4是一个完全平方式，那么原方程就转化为（x+2）2=1．
解：
（2）6x2-7x+1=0（配方法）
解：
（3）5x+2=3x2（公式法）
思路点拨：
用公式法解一元二次方程，首先应把它化为一般形式，然后代入公式即可．
解：
（4）（x-2）2=2x-4（因式分解法）
思路点拨：
等号右侧移项到左侧得-2x+4提取-2因式，即-2（x-2），再提取公因式x-2，便可达到分解因式；一边为两个一次式的乘积，另一边为0的形式.
解：
例5．
（1）（2010广东广州）已知关于x的一元二次方程
有两个相等的实数根，
求
的值。
考点：
分式化简，一元二次方程根的判别式
思路点拨：
⊿＝0，即
．
.
解析：
（2）关于x的方程x2-kx+k-2=0的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．无实数根D．不能确定
考点：
一元二次方程根的判别式.
思路点拨：
对于一元二次方程而言，当判别式△>0时方程有二个不相等实数根，当△<0时方程无实数根，当△=0时方程有二个相等实数根，所以判定一元二次方程根的情况关键是求“△”.
解：
举一反三：
【变式1】若关于x的一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数解，求ax+3>0的解集（用含a的式子表示）．
思路点拨：
要求ax+3>0的解集，就是求ax>-3的解集，那么就转化为要判定a的值是正、负或0．因为一元二次方程（a-2）x2-2ax+a+1=0没有实数根，即（-2a）2-4（a-2）（a+1）<0就可求出a的取值范围．
解：
类型三：
二元一次方程组
例6．已知方程
是一个二元一次方程，求m和n的值.
思路点拨：
二元一次方程必须是同时符合下列两个条件的整式方程：
（1）方程中含有两个未知数；
（2）方程中含有未知数的项的次数都是1.
解：
举一反三：
【变式1】下列方程组中，是二元一次方程组的有哪些？
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
思路点拨：
由二元一次方程组的定义可知：
（1）方程组中的每个方程必须都是一次方程；
（2）方程组中的未知数共有两个；
（3）方程组中的两个方程必须都为整式方程.
解：
例7．方程组
的解为（ ）.
（A）
（B）
（C）
（D）以上答案均不对
思路点拨：
未知数x、y的一对值必须同时满足已知方程组的每个方程，才是方程组的解.
解：
举一反三：
【变式1】已知
是方程3x-ay-2a=3的一个解，求a的值.
思路点拨：
由
是方程3x-ay-2a=3的一个解，可以理解为x，y的值适合方程3x-ay-2a=3，也就是说方程3x-ay-2a=3中的x取-2，y取
时方程成立.这样就可以将x=-2，y=
代入方程中，转化为关于a的一元一次方程，可求出a值.
解：
【变式2】（烟台）写出一个解为
的二元一次方程组________________.
思路点拨：
此题为开放性试题，由二元一次方程组的解的定义，需同时满足每个方程，答案不唯一.
解：
例8．解方程组.
（1）
思路点拨：
用代入法解二元一次方程组时，要尽量选取一个未知数的系数的绝对值是1的方程去变形，此例中②式y的系数为-1，所以用含x的代数式表示y，代入①中消去y.
解：
（2）
思路点拨：
此方程组的两个方程中y的系数互为相反数，所以可把两个方程相加，消去y，解出x的值；又发现两个方程中x的系数相等，所以可把两个方程相减，消去x，解出y的值.
解法一：
解法二：
（3）
思路点拨：
此方程组中两个未知数的系数均不成整数倍，所以选择系数较简单的未知数消元.将①×4，②×3，使得x的系数相等，再相减消去x.
解：
举一反三：
【变式1】解方程组.
（1）
思路点拨：
这两个方程都需要整理成标准形式，这样有利于确定消去哪个未知数.
解：
（2）
分析：
此方程组中没有一个未知数的系数的绝对值是1，所以考虑用加减消元法，选择消去系数较简单的未知数x，由①和②，①和③两次消元，得到关于y，z的二元一次方程组，最后求x.
解：
类型四：
分式方程
例9．下列方程中哪个是关于x的分式方程？
A．
B．
C．
D．
思路点拨：
根据分式方程的定义.
解：
例10．解分式方程.
（1）
思路点拨：
方程
是一个分式方程，根据方程的同解原理，可以把它化为一个一元一次方程，两边同时乘以x+1，得3x-4=2（x+1），但方程的同解原理要求，x+1≠0，∴解完方程以后要验根.
解：
（2）
思路点拨：
去分母时注意方程中每一项都要乘以各分母的最小公倍数，等号右边的数字3不要漏乘；还要注意验根.
解：
（3）（2010江西）解方程：
思路点拨：
方程的两边同乘以
，去分母.
解：
例11．已知方程
无解，求m的值．
思路点拨：
此分式方程无解，说明去分母后得到的x的值使得分式无意义，即最简公分母为0．
解：
举一反三：
【变式1】关于x的方程
的解是非负数，求a与b的关系．
思路点拨：
先求出方程的解，再令
．
解：
【变式2】如果
，试求A、B的值．
解法1：
（利用分式的加减法）
解法2：
类型五：
方程及方程组的应用
例12．近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨，请你根据下面的信息，帮小明计算今年5月份每升汽油的价格.
解：
例13．
（1）（2010福建德化）某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表：
（注:
获利=售价-进价）
①若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件?
②若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，
请问有哪几种购货方案?
并直接写出其中获利最大的购货方案.
甲
乙
进价（元/件）
15
35
售价（元/件）
20
45
解：
（2）（上海市）2001年以来，我国曾五次实施药品降价，累计降价的总金额为269亿元，五次药品降价的年份与相应降价金额如表所示，表中缺失了2003年、2007年相关数据.已知2007年药品降价金额是2003年药品降价金额的6倍，结合表中信息，求2003年和2007年的药品降价金额.
年份
2001
2003
2004
2005
2007
降价金额（亿元）
54
35
40
解：
[解法一]
[解法二]
例14．（浙江宁波）2007年5月19日起，中国人民银行上调存款利率.
人民币存款利率调整表
项 目
调整前年利率%
调整后年利率%
活期存款
0.72
0.72
一年期定期存款
2.79
3.06
储户的实得利息收益是扣除利息税后的所得利息，利息税率为20%.
（1）小明于2007年5月19日把3500元的压岁钱按一年期定期存入银行，到期时他实得利息收益是多少元？
（2）小明在这次利率调整前有一笔一年期定期存款，到期时按调整前的年利率2.79%计息，本金与实得利息收益的和为2555.8元，问他这笔存款的本金是多少元？
（3）小明爸爸有一张在2007年5月19日前存人的10000元的一年期定期存款单，为获取更大的利息收益，想把这笔存款转存为利率调整后的一年期定期存款.问他是否应该转存？
请说明理由.
约定：
①存款天数按整数天计算，一年按360天计算利息.
②比较利息大小是指从首次存入日开始的一年时间内.获得的利息比较.如果不转存，利息按调整前的一年期定期利率计算；如果转存，转存前已存天数的利息按活期利率计算，转存后，余下天数的利息按调整后的一年期定期利率计算（转存前后本金不变）.
解：
升级会员 