第七节 抛物线.docx

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第七节抛物线

第七节　抛物线

A组　基础题组

1.抛物线8x2+y=0的焦点坐标为（　　）

A.（0,-2）B.（0,2）

C.D.

2.已知抛物线C:

y2=x的焦点为F,A（x0,y0）是C上一点,|AF|=x0,则x0=（　　）

A.1B.2C.4D.8

3.若抛物线y2=2x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为（　　）

A.B.

C.D.

4.（2017江南十校联考）已知直线l过抛物线C:

x2=2py（p>0）的焦点且与对称轴垂直,与抛物线C交于M,N两点,点P为其准线上一点,若△MNP的面积为16,则p=（　　）

A.5B.4

C.6D.2

5.设抛物线C:

y2=2px（p>0）的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点（0,2）,则C的方程为（　　）

A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8x

C.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x

6.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为　　　　. 

7.抛物线x2=2py（p>0）的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p=　　　　. 

8.（2018河北石家庄质检）过点P（-2,0）的直线与抛物线C:

y2=4x相交于A,B两点,且|PA|=|AB|,则点A到抛物线C的焦点的距离为　　　　. 

9.已知抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F,A是抛物线上横坐标为4,且位于x轴上方的点,A到抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴,垂足为B,OB的中点为M.

（1）求抛物线的方程;

（2）若过M作MN⊥FA,垂足为N,求点N的坐标.

10.如图所示,已知抛物线C:

y2=4x的焦点为F,直线l经过点F且与抛物线C相交于A、B两点.

（1）若线段AB的中点在直线y=2上,求直线l的方程;

（2）若线段|AB|=20,求直线l的方程.

B组　提升题组

1.如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是（　　）

A.B.C.D.

2.（2017课标全国Ⅱ,12,5分）过抛物线C:

y2=4x的焦点F,且斜率为的直线交C于点M（M在x轴的上方）,l为C的准线,点N在l上且MN⊥l,则M到直线NF的距离为（　　）

A.B.2C.2D.3

3.抛物线y2=4x的焦点为F,过点F的直线交抛物线于A,B两点.

（1）若=2,求直线AB的斜率;

（2）设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点为C,求四边形OACB面积的最小值.

4.如图所示,抛物线关于x轴对称,它的顶点在坐标原点,点P（1,2）,A（x1,y1）,B（x2,y2）均在抛物线C上.

（1）求出该抛物线的方程及其准线方程;

（2）当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求y1+y2的值及直线AB的斜率.

答案精解精析

A组　基础题组

1.C　由8x2+y=0,得x2=-y.所以2p=,p=,所以焦点为.故选C.

2.A　由y2=x得2p=1,即p=,因此焦点F,准线方程为l:

x=-,设点A到准线的距离为d,由抛物线的定义可知d=|AF|,从而x0+=x0,解得x0=1,故选A.

3.A　设抛物线的顶点为O,焦点为F,P（xP,yP）,由抛物线的定义知,点P到准线的距离即点P到焦点的距离,所以|PO|=|PF|,过点P作PM⊥OF于点M（图略）,则M为OF的中点,所以xP=,代入y2=2x,得yP=±,所以P.

4.B　由题意知焦点坐标为F,则yM=yN=.由抛物线的定义知|MN|=|MF|+|NF|=+=2p,且△MNP的高为p,所以S△MNP=·2p·p=p2=16,则p=4.故选B.

5.C　∵以MF为直径的圆过点（0,2）,

∴点M在第一象限.

由|MF|=xM+=5可得M.

从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为,

∵点N的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y轴切于点（0,2）,

从而2=,

即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8,∴抛物线方程为y2=4x或y2=16x.故选C.

6.答案　

解析　设A（x1,y1）,B（x2,y2）,不妨令y1>0,y2<0,如图所示,l为抛物线的准线,过A作AC垂直于直线l,垂足为C,则|AF|=|AC|=x1+1=3,∴x1=2,∴y1=2.

设直线AB的方程为x-1=ty,

由消去x得y2-4ty-4=0.∴y1y2=-4.∴y2=-,∴S△AOB=×1×|y1-y2|=.

7.答案　6

解析　如图,在正三角形ABF中,DF=p,BD=p,∴B点坐标为.又点B在双曲线上,故-=1,解得p=6.

8.答案　

解析　设A（x1,y1）,B（x2,y2）,分别过点A,B作直线x=-2的垂线,垂足分别为D,E（图略）,∵|PA|=|AB|,

∴又

∴x1=,则点A到抛物线C的焦点的距离为1+=.

9.解析　

（1）抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4+=5,∴p=2,

∴抛物线的方程为y2=4x.

（2）由

（1）知点A的坐标是（4,4）,

由题意得B（0,4）,M（0,2）.

又∵F（1,0）,∴kFA=.

∵MN⊥FA,∴kMN=-,

∴FA的方程为y=（x-1）,①

MN的方程为y=-x+2,②

由①②联立得x=,y=,

∴N的坐标为.

10.解析　

（1）由已知得抛物线的焦点为F（1,0）.

因为线段AB的中点在直线y=2上,所以直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,A（x1,y1）,B（x2,y2）,AB的中点为M（x0,y0）,则由

得（y1+y2）（y1-y2）=4（x1-x2）,

所以2y0k=4.

又y0=2,所以k=1,

故直线l的方程是y=x-1.

（2）设直线l的方程为x=my+1,与抛物线方程联立得消去x,整理得y2-4my-4=0,

所以y1+y2=4m,y1y2=-4,Δ=16（m2+1）>0.

|AB|=|y1-y2|

=·

=·

=4（m2+1）.

所以4（m2+1）=20,解得m=±2,

所以直线l的方程是x=±2y+1,即x±2y-1=0.

B组　提升题组

1.A　设A（x1,y1）,B（x2,y2）,

由抛物线的定义,得|AF|=x1+1,

|BF|=x2+1,

则===.故选A.

2.C　因为直线MF的斜率为,所以直线MF的倾斜角为60°,则∠FMN=60°.由抛物线的定义得|MF|=|MN|,所以△MNF为等边三角形.过F作FH⊥MN,垂足为H.易知F（1,0）,l的方程为x=-1,所以|OF|=1,|NH|=2,所以|MF|=+2,即|MF|=4,所以M到直线NF的距离d=|FH|=|MF|sin60°=4×=2.故选C.

3.解析　

（1）依题意知F（1,0）,设直线AB的方程为x=my+1.

将直线AB的方程与抛物线的方程联立,

消去x得y2-4my-4=0.

设A（x1,y1）,B（x2,y2）,

所以y1+y2=4m,y1y2=-4,①

因为=2,所以y1=-2y2.②

联立①和②,消去y1,y2,得m=±.

所以直线AB的斜率是±2.

（2）由点C与原点O关于点M对称,得M是线段OC的中点,

从而点O与点C到直线AB的距离相等,所以四边形OACB的面积等于2S△AOB.

因为2S△AOB=2×·|OF|·|y1-y2|==4,所以当m=0时,四边形OACB的面积最小,最小值为4.

4.解析　

（1）由已知条件可设抛物线C的方程为y2=2px（p>0）.

∵点P（1,2）在抛物线C上,∴22=2p×1,解得p=2.

故所求抛物线的方程是y2=4x,准线方程是x=-1.

（2）∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补,

∴kPA=（x1≠1）,kPB=（x2≠1）,且kPA=-kPB.

∵A（x1,y1）,B（x2,y2）均在抛物线C上,

∴=4x1,①

=4x2,②

∴=-,

∴y1+2=-（y2+2）,即y1+y2=-4.

①-②,得-=4（x1-x2）,∴kAB===-1.