公开课等比数列教案.docx
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公开课等比数列教案
公开课等比数列教案
公开课等比数列教案
（一）教学目标
1．知识与技能：
通过实例理解等比数列的概念；探索并掌握等比数列的通项公式；理解这种数列的模型应用，体会等比数列与指数函数的关系．
２．过程与方法：
通过丰富实例抽象出等比数列模型，经历由发现几个具体数列的等比关系，归纳出等比数列的定义；通过与等差数列的通项公式的推导类比，探索等比数列的通项公式；通过与指数函数的图象比较，探索等比数列的通项公式的图象特征及与与指数函数的关系。
通过例题体会通项公式与方程、方程组之间的联系。
３．情态与价值：
感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，培养学生从实际问题中抽象出数列模型的能力．
（二）教学重、难点
重点：
等比数列的定义和通项公式
难点：
等比数列通项公式的推导过程
（三）学法与教学用具
学法：
首先由几个具体实例抽象出等比数列的模型，从而归纳出等比数列的定义；与等差数列通项公式的推导类比，推导等比数列通项公式，通过与指数函数的图象比较，探索等比数列的通项公式的图象特征及与指数函数的关系。
②《庄子》中有这样的论述一尺之锤，日取其半，万世不竭。
你能用现代语言叙述这段话吗？
若把一尺之锤看成单位1，那么日取其半会得到一个怎样的数列？
【1，，，，，】
③一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。
如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接收者发送病毒称为第二轮，依次类推。
假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，你能写出一个数列描述这种病毒每一轮感染的计算机数吗？
【1，20，，，，】
④我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式除了单利，还有一种支付利息的方式――复利。
即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息，也就是通常说的利滚利。
学生观察书上的表格，列出5年内各年末本利和，说说它们是怎样得到的？
3、[探索研究]问题：
【多媒体展示问题】
（1）、请同学们回忆数列的等差关系和等差数列的定义，并仔细观察一下，以上①、②、③、④四个数列是等差数列吗？
若不是，看看它们有什么共同特征？
该叫什么数列呢？
【共同特点：
从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数。
即具有等比关系】
（2）、如果我们将具有这样特点的数列称之为等比数列，那么你能给出等比数列一个什么样的定义？
可类比等差数列完成。
Ⅱ.讲授新课
1．等比数列：
一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q0），即：
=q（q0）。
与等差数列定义区别在哪里？
1从第二项起与前一项之比为常数（q）
｛｝成等比数列=q（,q0）
2隐含：
任一项
3q=1时，{an}为常数。
2、类比等差中项的定义【多媒体展示定义】，得等比中项
若三个数a，A，b组成的等差数列，则A叫做a与b的等差中项。
且，或A-=-A由此可可得：
成等差数列
类比等差中项的概念，请学生自己给出等比中项的概念。
如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等差中项。
这时a、b的符号有什么特点？
你能用a与b表示G吗？
这时,a,b一定同号,G2=ab
与等差数列等差中项区别在哪里？
3、探究【多媒体展示问题】：
决定一个等比数列的必要条件
（1）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？
如果存在，你能举出例子吗？
（2）写出一个首项为1的等比数列的前5项，同桌的互相比较是否相同？
写出一个公比为2的等比数列的前5项，同桌的互相比较是否相同？
（3）两个数列的任一项｛an｝及公比q相同，则这两个数列相同吗？
（4）若两个等比数列相同，需要什么条件？
【学生先完成，讨论交流，解答完成】
探究目的是为了说明首项和公比是决定一个等比数列的必要条件，为等比数列的通项公式的推导做准备。
4.问题：
回顾等差数列的通项公式的推导过程【多媒体展示推导过程】，你能推导等比数列的通项公式吗？
【学生分三组分别就三种方法完成，学生上台板书过程】
等比数列的通项公式1:
方法1：
由等比数列的定义，有：
方法2：
由=====q,
得
观察上式，每一道式子里，项的下标与q的指数，你能发现什么共同的特征吗？
【项的下标与q的指数的和都是n】
等比数列的通项公式2:
方法3：
由=====q,
得：
=q，=q,=q,==q
=qn-1
等差数列与等比数列的通项公式区别在哪里？
5、[范例讲解]
例1P58例3【多媒体展示例题】一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项。
解：
设这个等比数列的第一项是a1，公比q，
那么a1q2=12,a1q3=18
解得：
a1=q=
a2=8
例2、课本P57例1、【多媒体展示例题】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％。
这种物质的的半衰期为多少（精确到1年）？
解：
设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是。
由条件可得，数列｛｝是一个等比数列，其中：
a1=0.84,q=0.84.
设an=0.5,则0.84n=0.5.
两边取对数，得nlg0.84=lg0.5.n4.
答：
这种物质的的半衰期为4年。
6.课堂练习
课本P59练习1、已知是一个等比数列，在下表中填入恰当的数：
q
2
8
2
0.2
7．[补充练习]【多媒体展示练习】
2.
（1）一个等比数列的第9项是，公比是－，求它的第1项（答案：
=2916）
（2）一个等比数列的第2项是10，第3项是20，求它的第1项与第4项（答案：
==5,=q=40）
8、类比等差数列的对称性【多媒体展示】，得等比数列的对称性
对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍，即
类比等差数列的对称性，请写出等比数列类似的性质？
与等差数列的对称性区别在哪里？
9、探究：
课本P56页的探究活动等比数列与指数函数的关系【多媒体展示问题】
1、回顾《数学必修1》中也有P64细胞分裂、P110计算机病毒传播、P66复利计算的练习或习题，那里我们是用什么方法来研究问题的？
如：
某种储蓄按复利计算利息，若本金为a元，每期利率为r，设本利和为y元，存期为x。
（1）写出本利和y随存期x变化的函数关系式；
（2）若存入本金为10000元，每期利率为1.98％，试计算5期后的本利和为多少？
解：
（1）
（2）当a=10000,r=1.98%,x=5时，
比较必修1与必修5的两种方法，思考它们的异同，两者有何关系？
2、借助几何画板做出P56探究
（2）、（3）图形，观察图形之间的关系。
探究归纳等比数列的图象与指数函数的图象之间的关系。
等比数列与指数函数的关系：
【多媒体展示结论】
等比数列｛｝的通项公式,它的图象是分布在曲线（q0）上的一些孤立的点，等比数列是特殊的指数函数。
Ⅲ.课时小结
本节学习内容：
等比数列的概念和等比数列的通项公式。
从定义、通项公式与函数3个角度类比等差数列与等比数列，并填下表：
【多媒体展示问题】
等差数列
等比数列
定义
首项、公差（公比）
取值有无限制
通项公式
相应图象的特点
Ⅳ.课后作业
课本P60习题A组1
（1）
（2）、2、3题
●板书设计
等比数列的概念及通项公式
1、等比数列的定义实例四个数列例1
等比中项例2
2、等比数列的通项公式
其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记”之后会“活用”。
不记住那些基础知识,怎么会向高层次进军?
尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从基础知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记”名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。
这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。
日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的功效。
等比数列的对称性
“师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。
其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。
《说文解字》中有注曰：
“师教人以道者之称也”。
“师”之含义，现在泛指从事教育工作或是传授知识技术也或是某方面有特长值得学习者。
“老师”的原意并非由“老”而形容“师”。
“老”在旧语义中也是一种尊称，隐喻年长且学识渊博者。
“老”“师”连用最初见于《史记》，有“荀卿最为老师”之说法。
慢慢“老师”之说也不再有年龄的限制，老少皆可适用。
只是司马迁笔下的“老师”当然不是今日意义上的“教师”，其只是“老”和“师”的复合构词，所表达的含义多指对知识渊博者的一种尊称，虽能从其身上学以“道”，但其不一定是知识的传播者。
今天看来，“教师”的必要条件不光是拥有知识，更重于传播知识。
●教学反思
一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。
杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：
“师者教人以不及，故谓师为师资也”。
这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。
《韩非子》也有云：
“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。
这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。
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