春人教版九年级数学中考知识点过关《二次函数的图象与性质 》1.docx
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春人教版九年级数学中考知识点过关《二次函数的图象与性质》1
二次函数的图象与性质
基础达标
1.（2020·新疆）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
ABCD
2.（2020·泰安）在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b（a≠0）与一次函数y＝ax＋b的图象可能（）
ABCD
3.（2020·温州）已知（－3，y1），（－2，y2），（1，y3）是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则（）
A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2
C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2
4.（2020·杭州）设函数y＝a（x－h）2＋k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（）
A．若h＝4，则a＜0
B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0
D．若h＝7，则a＞0
5.（2020·眉山）已知二次函数y＝x2－2ax＋a2－2a－4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（）
A．a≥－2B．a＜3
C．－2≤a＜3D．－2≤a≤3
6.（2020·河北）如图，现要在抛物线y＝x（4－x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，
三人的说法如下，
甲：
若b＝5，则点P的个数为0；
乙：
若b＝4，则点P的个数为1；
丙：
若b＝3，则点P的个数为1.
下列判断正确的是（）
A．乙错，丙对B．甲和乙都错
C．乙对，丙错D．甲错，丙对
7.（2020·哈尔滨）抛物线y＝3（x－1）2＋8的顶点坐标为_．
8.（2020·牡丹江）将抛物线y＝ax2＋bx－1向上平移3个单位长度后，经过点（－2，5），则8a－4b－11的值是_．
9.（2020·北京）小云在学习过程中遇到一个函数y＝
（x2－x＋1）（x≥－2）．
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当－2≤x＜0时，
对于函数y1＝
，即y1＝－x，当－2≤x＜0时，y1随x的增大而_，且y1＞0；
对于函数y2＝x2－x＋1，当－2≤x＜0时，y2随x的增大而_，且y2＞0.
结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当－2≤x＜0时，y随x的增大而_．
（2）当x≥0时，
对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
x
0
1
2
3
…
y
0
1
…
结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．
（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合
（1）
（2）的分析，解决问题：
若直线l与函数y＝
（x2－x＋1）（x≥－2）的图象有两个交点，则m的最大值是_．
10.（2020·杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2＋bx＋a，y2＝ax2＋bx＋1（a，b是实数，a≠0）．
（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式；
（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：
函数y2的图象经过点（
，0）；
（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m＋n＝0，求m，n的值．
11.（2020·北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2.
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c?
（2）设抛物线的对称轴为x＝t.若对于x1＋x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
能力提升
12.（2020·威海）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C.若点A的坐标为（－4，0），对称轴为直线x＝－1，则下列结论错误的是（）
A．二次函数的最大值为a－b＋c
B．a＋b＋c＞0
C．b2－4ac＞0
D．2a＋b＝0
13.（2020·天津）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数a≠0，c＞1）经过点
，其对称轴是直线x＝
.有下列结论：
①abc＞0；②关于x的方程ax2＋bx＋c＝a有两个不等的实数根；③a＜－
.其中，正确结论的个数是（）
A．0B．1C．2D．3
14.（2020·牡丹江）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C.若点B（4，0），则下列结论中正确的个数是（）
①abc＞0；②4a＋b＞0；③M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；④若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m－3）（m＋3）≤b（3－m）；⑤若AB≥3，则4b＋3c＞0.
A．5B．4C．3D．2
15.（2020·嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时，m≤y≤n，则下列说法正确的是（）
A．当n－m＝1时，b－a有最小值
B．当n－m＝1时，b－a有最大值
C．当b－a＝1时，n－m无最小值
D．当b－a＝1时，n－m有最大值
16.（2020·杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2＋ax＋1，y2＝x2＋bx＋2，y3＝x2＋cx＋4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac.设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0
B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0
D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
17.（2020·无锡）二次函数y＝ax2－3ax＋3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为．
二次函数的图象与性质
基础达标
1.（2020·新疆）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝
在同一平面直角坐标系中的图象可能是（D）
ABCD
2.（2020·泰安）在同一平面直角坐标系内，二次函数y＝ax2＋bx＋b（a≠0）与一次函数y＝ax＋b的图象可能（C）
ABCD
3.（2020·温州）已知（－3，y1），（－2，y2），（1，y3）是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则（B）
A．y3＜y2＜y1B．y3＜y1＜y2
C．y2＜y3＜y1D．y1＜y3＜y2
4.（2020·杭州）设函数y＝a（x－h）2＋k（a，h，k是实数，a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8，（C）
A．若h＝4，则a＜0
B．若h＝5，则a＞0
C．若h＝6，则a＜0
D．若h＝7，则a＞0
5.（2020·眉山）已知二次函数y＝x2－2ax＋a2－2a－4（a为常数）的图象与x轴有交点，且当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是（D）
A．a≥－2B．a＜3
C．－2≤a＜3D．－2≤a≤3
6.（2020·河北）如图，现要在抛物线y＝x（4－x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，
三人的说法如下，
甲：
若b＝5，则点P的个数为0；
乙：
若b＝4，则点P的个数为1；
丙：
若b＝3，则点P的个数为1.
下列判断正确的是（C）
A．乙错，丙对B．甲和乙都错
C．乙对，丙错D．甲错，丙对
7.（2020·哈尔滨）抛物线y＝3（x－1）2＋8的顶点坐标为__（1，8）__．
8.（2020·牡丹江）将抛物线y＝ax2＋bx－1向上平移3个单位长度后，经过点（－2，5），则8a－4b－11的值是__－5__．
9.（2020·北京）小云在学习过程中遇到一个函数y＝
（x2－x＋1）（x≥－2）．
下面是小云对其探究的过程，请补充完整：
（1）当－2≤x＜0时，
对于函数y1＝
，即y1＝－x，当－2≤x＜0时，y1随x的增大而__减小__，且y1＞0；
对于函数y2＝x2－x＋1，当－2≤x＜0时，y2随x的增大而__减小__，且y2＞0.
结合上述分析，进一步探究发现，对于函数y，当－2≤x＜0时，y随x的增大而__减小__．
（2）当x≥0时，
对于函数y，当x≥0时，y与x的几组对应值如下表：
x
0
1
2
3
…
y
0
1
…
结合上表，进一步探究发现，当x≥0时，y随x的增大而增大．在平面直角坐标系xOy中，画出当x≥0时的函数y的图象．
（3）过点（0，m）（m＞0）作平行于x轴的直线l，结合
（1）
（2）的分析，解决问题：
若直线l与函数y＝
（x2－x＋1）（x≥－2）的图象有两个交点，则m的最大值是__
__．
10.（2020·杭州）在平面直角坐标系中，设二次函数y1＝x2＋bx＋a，y2＝ax2＋bx＋1（a，b是实数，a≠0）．
（1）若函数y1的对称轴为直线x＝3，且函数y1的图象经过点（a，b），求函数y1的表达式；
（2）若函数y1的图象经过点（r，0），其中r≠0，求证：
函数y2的图象经过点（
，0）；
（3）设函数y1和函数y2的最小值分别为m和n，若m＋n＝0，求m，n的值．
（1）解：
由题意，得到－
＝3，解得b＝－6，
∵函数y1的图象经过（a，b），
∴a2－6a＋a＝－6，解得a＝2或a＝3，
∴函数y1＝x2－6x＋2或y1＝x2－6x＋3.
（2）证明：
∵函数y1的图象经过点（r，0），
∴r2＋br＋a＝0.
∵r≠0，两边同除以r2，得1＋
＋
＝0，
即a
2＋b·
＋1＝0，
∴
是方程ax2＋bx＋1＝0的一个实数根，
即函数y2的图象经过点
.
（3）由题意，得a＞0，∴m＝
，n＝
.
∵m＋n＝0，∴
＋
＝0.
∴（4a－b2）（a＋1）＝0.
∵a＋1＞0，∴4a－b2＝0.
∴m＝0，n＝0.
11.（2020·北京）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）为抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）上任意两点，其中x1＜x2.
（1）若抛物线的对称轴为x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c?
（2）设抛物线的对称轴为x＝t.若对于x1＋x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．
解：
（1）抛物线必过（0，c），
∵y1＝y2＝c，∴点M，N关于x＝1对称．
又∵x1＜x2，∴x1＝0，x2＝2.
（2）情况1：
当x1≥t时，y1＜y2恒成立；
情况2：
当x1＜t，x2≤t时，y1＜y2恒不成立；
情况3：
当x1＜t，x2≤t时，要使y1＜y2，必有
＞t.
∴2t≤3，∴t≤
.
能力提升
12.（2020·威海）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）交x轴于点A，B，交y轴于点C.若点A的坐标为（－4，0），对称轴为直线x＝－1，则下列结论错误的是（D）
A．二次函数的最大值为a－b＋c
B．a＋b＋c＞0
C．b2－4ac＞0
D．2a＋b＝0
13.（2020·天津）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数a≠0，c＞1）经过点
，其对称轴是直线x＝
.有下列结论：
①abc＞0；②关于x的方程ax2＋bx＋c＝a有两个不等的实数根；③a＜－
.其中，正确结论的个数是（C）
A．0B．1C．2D．3
14.（2020·牡丹江）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C.若点B（4，0），则下列结论中正确的个数是（B）
①abc＞0；②4a＋b＞0；③M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；④若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m－3）（m＋3）≤b（3－m）；⑤若AB≥3，则4b＋3c＞0.
A．5B．4C．3D．2
15.（2020·嘉兴）已知二次函数y＝x2，当a≤x≤b时，m≤y≤n，则下列说法正确的是（B）
A．当n－m＝1时，b－a有最小值
B．当n－m＝1时，b－a有最大值
C．当b－a＝1时，n－m无最小值
D．当b－a＝1时，n－m有最大值
16.（2020·杭州）在平面直角坐标系中，已知函数y1＝x2＋ax＋1，y2＝x2＋bx＋2，y3＝x2＋cx＋4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac.设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，（B）
A．若M1＝2，M2＝2，则M3＝0
B．若M1＝1，M2＝0，则M3＝0
C．若M1＝0，M2＝2，则M3＝0
D．若M1＝0，M2＝0，则M3＝0
17.（2020·无锡）二次函数y＝ax2－3ax＋3的图象过点A（6，0），且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为__
或
__．
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