8dvd租赁优化论文终.docx
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8dvd租赁优化论文终
DVD租赁优化模型
队号：
8
郑祥威英才实验学院2802103009
章宇计算机学院2806301004
李文俊微固学院2803401021
2010/8/20
DVD租赁优化模型
摘要
DVD在线租赁问题是涉及到网站经营商和对网站会员的服务双方利益的典型商业问题。
本文针对租赁过程中可能出现的几种情况给出了较为合理的网站购买和分配DVD的方案，最后还给出了会员满意度与网站DVD购买量的关系曲线，并得出了两者关系符合经济学中“边际效应”的结论。
对已知会员需求，要求给出网站各类DVD购买量决策的问题，会员归还量与购买量之和需要满足题目给定的满足一定比例会员需求的条件。
通过假设会员DVD的归还量符合二项分布，并利用概率论中大数定律，可以求得归一化的DVD归还量这一随机变量满足标准正态分布。
此时，不同的购买量会影响满足题目条件的概率。
于是我们求得了在不同概率下，DVD所需的购买量。
由数据看出，不同概率下DVD的购买量相差不多，但由此造成的风险与利润都是相当大的。
由此论证了网站经营商追求利润与保守经营的根本原因。
其中，置信概率为0.99时，满足一个月内50%的会员看到想看的DVD，则DVD1至DVD5的购买量如下：
6199、3089、1538、764、302。
满足一（三）个月内95%的会员看到想看的DVD的购买方案如下：
3935、1963、978、487、193。
对网站已有DVD数量和已知会员需求的条件下，通过调整DVD分配使会员满意度达到最大的问题。
采用了运筹学中目标规划的知识，列出了以会员平均标准满意度为目标函数的规划模型，并分别运用Lingo和MATLAB两种数学工具求得最大平均标准满意度为0.889和0.8943。
表明了在已有DVD数量的条件下，通过适当的分配，可以基本满足会员要求。
对已知会员需求，要求通过购买最少量的DVD来使95%会员满意度最大的问题，通过分析表明了属于多目标规划问题。
利用第二问的规划模型，采用双目标规划，同时以购买量和满意度为目标函数。
并采用将满意度目标函数转化为软约束的方法将其转化为但目标函数，并分别利用Lingo和MATLAB两大软件求的的各DVD的最小购买量和最大满意度，其中最大满意度分别为
对DVD租赁中关于需求预测、购买和分配中的其他问题还有很多，本文提出了预测中常用的简单随机抽样、分类预测、关联预测等三种方法；购买DVD的分段购买策略及建立专门的配送中心等方法，用于强化网站经营管理，提高网站收益。
关键词:
满意度热门指数多目标规划0—1整数规划边际效应
一、问题重述
为在线租赁DVD，顾客需缴纳一定数量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。
会员通过在线提交订单的方式来满足自己的要求；会员提交的订单包括10张想看的DVD，并按照其偏爱程度排序，网站将根据订单和拥有的DVD数目进行DVD的分配。
每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD。
看完后放在指定邮箱便算归还了DVD。
考虑以下四问：
1）网站正准备购买一些新的DVD，通过问卷调查1000个会员，得到了愿意观看这些DVD的人数（表1给出了其中5种DVD的数据）。
此外，历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD两次，而另外的40%只租一次。
假设网站现有10万个会员，对表1中的每种DVD来说，应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD的会员中至少50%在一个月内能够看到该DVD？
如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到该DVD呢？
2）表2中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前需要处理的1000位会员的在线订单（表2的数据格式示例如下表2，具体数据请从
3）继续考虑表2，并假设表2中DVD的现有数量全部为0。
如果你是网站经营管理人员，你如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大？
4）如果你是网站经营管理人员，你觉得在DVD的需求预测、购买和分配中还有哪些重要问题值得研究？
请明确提出你的问题，并尝试建立相应的数学模型。
二、问题分析
DVD在线租赁涉及到网站与网站会员会员双方的利益，既要考虑网站经营租赁业务需购买一定量各种DVD的成本，又要考虑到满足会员的订单要求。
影响DVD租赁的因素有网站的知名度、信誉度，网站DVD的持有量，网站会员的人数，网站对DVD的借还机制，DVD的质量，会员的偏好，、经济状况、年龄阶层、社会阶层、知识水平等等。
经过初步分析及查阅大量相关资料，剔除了一些无关紧要和相同影响的因素，仅考虑网站对DVD的持有量，借还机制，并用会员的订单涵盖会员的一切因素[1]。
基于我们对问题的前期分析，网站对DVD的分配是可控的决策变量。
而会员的订单要求、DVD的借还机制，即借还规则，是不可控的因素。
通过对1000个会员的问卷调查，得到了会员想观看各种DVD的数据，由此我们可以得到10万名会员想观看各种DVD的比例。
又历史数据显示60%的会员每月租赁两次，40%的会员每月租赁一次，由此可知我们可以在单位月内考虑问题。
经过查阅大量资料可以假设每月仅在1号和15号对DVD进行分配，即考虑借还周期为15天[2]。
又由于所还DVD数量是一个随机变量，利用概率论知识可知各类DVD归还数量服从概率为0.6幂值为网站拥有DVD数量的二项分布。
根据题意，归还DVD数量与网站原有DVD数量之和若能满足想看该类DVD的一定比例人数的需求，则此时DVD数量为所需DVD的最少量。
又由大数定律可以求得满足不同置信度的各类DVD数量。
至此可以求得不同置信概率下的DVD数量。
当给出100种DVD的1000名会员的订单时，若已知网站对各类DVD的持有量，要求一种最佳的分配方案，是的会员的满意度为最大，只需考虑提出一种衡量会员满意度的标准，即某一会员借到某一种DVD的满意程度。
这样便能确定任意一种分配方案下会员的满意度。
经过分析及查阅资料可知会员的满意度可以采用会员对各类DVD的偏爱程度的倒数的加和来表示[3]。
每个会员对各类DVD的偏爱程度由题目附表2给出，并注意偏爱程度为0的满意度也置为0。
由以上所述，可以建立一个以标准满意度为目标函数、会员借用DVD数限制和DVD总数限制等其他条件为约束的规划模型。
通过Lingo以及设计MATLAB贪婪算法可以解得此模型。
若网站的各类DVD数量都为0，要求通过购买各类DVD来满足会员需求，并要求购买最少的DVD，来满足95%的会员最想看的要求并使满意度最大。
则该问题变成了多目标规划的问题。
既要使购买DVD数量最少，又要使会员满意度最大，通过调整决策变量，在相关借还机制的约束条件下，建立了多目标的规划模型。
而对多目标规划问题的处理一般可以分为两种方法：
一种为将其中一个目标指定一个限值，将其转化为另一个目标的软约束条件；另一种为给两个目标设定一个系数，将其转化为单一目标规划问题[4]。
本文中采取后者，并通过设定不同程度的软约束，比较所得目标值的关系。
实际操作时，将满意度目标转化为软约束条件，来求解DVD购买量的最小值。
同理可以采用Lingo以及设计MATLAB贪婪算法。
对于站在网站经营管理人员的角度，对DVD的需求预测、购买和分配中其他重要问题值得研究，属开放性题目。
就需求预测而言，其主要因素在于市场的供求预测问题，购买DVD主要从网站经营者考虑，可以依据需求预测结果制定分段购买方案；分配主要存在方案与邮费问题。
三、名词解释和变量符号说明
3.1名词解释
标准满意度：
标准化的满意度，即除以了最大满意度，使得最单满意度为1
3.2符号、变量说明
：
网站第j种DVD的持有量
：
第i个会员对第j种DVD的偏爱程度
：
第i个会员对第j种DVD的满意度
：
会员总人数10万
：
每月借两次的人数的概率0.6，即任意一张DVD被归还的概率
四、基本假设
1、DVD的租赁周期是一个月，每月均为30天;
2、每位会员每月最多可以借两次，且第二次租借需归还前一次的DVD，并重新提交订单；
3、DVD归还数量近似服从二项分布；
4、DVD租赁过程中无损坏；
5、DVD偏好程度同时表示该种DVD的热门程度，具体数值可用倒数和表示。
五、建模前的准备
5.1数据准备
（1）第一问中各类DVD想看人数在总人数中所占比例
表1对1000个会员调查的部分结果
DVD名称
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
愿意观看的人数
200
100
50
25
10
愿意观看的人数占总人数比例
0.2
0.1
0.05
0.025
0.01
（2）满意度的衡量指标
满意度主要与会员等待时间和会员对DVD的偏好程度有关。
显然，会员的等待时间越长，并且对所等的DVD偏好程度越高，越不满意。
为减少会员等待时间，应尽可能在收到会员订单时，立刻做出回应，并寄出DVD。
否则，在等待多天后，即使顾客收到想要DVD也不完全满意，应乘上一个衰减系数。
在会员等待时间相等的情况下，满意度主要会员对DVD的偏好程度有关
通过参考文献[3]和深入的分析，我们可以确定满意度具有以下性质：
1）附表2中的数字越小（0除外），偏爱程度越高，满意度越高。
为0时，满意度为0
2）偏爱程度与满意度程度是非线性的关系，且偏爱程度越高，满意度增长率越小。
通过大量的模拟，我们可以找到一个简单的函数表示：
标准满意度就是归一化了的满意度，即上式除以最大满意度。
根据题意，最大满意度为会员获得偏好程度为1、2、3时的满意度。
假设第i会员获得的DVD满意度为
、
、
，则第i会员标准满意度为
5.2DVD的一次分配贪婪算法
图1DVD的一次分配贪婪算法流程图
5.3DVD热门系数计算
通过对每一种DVD的所有会员的满意度求和，得到每种DVD的热门系数。
下表列出，DVD1-DVD9的热门系数。
表2DVD1-DVD9的热门系数
DVD序号
DVD1
DVD2
DVD3
DVD4
DVD5
DVD6
DVD7
DVD8
DVD9
热门系数
21.2
30.4
28.2
30.7
23.1
26.8
27.9
31.4
28.6
表中可得DVD1的热门系数明显小于DVD2，因而一般来说，同样购买一张DVD，DVD1所能带来的会员满意度小于DVD2。
在确定DVD购买方案时，可通过DVD热门系数的比例得到参考方案。
六、模型建立与求解：
6.1问题一DVD购买数量求解
根据调查数据1000会员中第j种DVD想看的人数：
第j种DVD被归还的数量是一个随机变量，由历年数据统计得到每类DVD都有0.6的概率被归还备用于第二次借用。
故对每一种DVD来说，其归还的量是服从二项分布的。
设第j种DVD被归还的数量为
，则有
。
其中，
表示第j种DVD需要购买的数量，
为0.6即任意一张DVD被归还的概率。
（1）一个月内满足50%的人看到他想看的DVD
（1）
的期望和方差分别为
和
对
（1）式归一化有
由大数定律，上式左边的随机变量满足标准正态分布。
即只要使上式成立的概率在某一置信概率
范围内，就可以求得该置信概率下的DVD购买量。
（2）三个月内满足95%的人看到他想看的DVD
有基本假设1可知，每个月内网站持有的各类DVD的数量都是相同的，即最初网站购买的总量。
由此可知，三个月内每个月DVD归还的量
分别满足相同参数的二项分布
。
基于对假设1、2的考虑，可知三个月的DVD归还量是相互独立的。
利用概率论的知识，二项分布具有可加性，可以得到
。
采用
（1）中的方法同样可以得到使“三个月内满足95%的人看到想看的DVD”这一事件在一定置信概率下发生所需要购买的DVD的数量。
通过计算，分别求得了置信概率在0.99、0.8、0.5三种情况下DVD购买量，计算结果以如下表格形式给出
表3一个月50%人看到想看的DVD的各类DVD购买量
DVD
购买量
置信度
DVD1
DVD2
DVD3
DVD3
DVD5
0.99
6199
3089
1538
764
302
0.8
6232
3112
1554
775
309
0.5
6250
3125
1563
782
313
表4三个月95%人看到想看的DVD的各类DVD购买量
DVD
购买量
置信度
DVD1
DVD2
DVD3
DVD3
DVD5
0.99
3935
1963
978
487
193
0.8
3950
1974
986
492
197
0.5
3959
1980
990
495
198
有上述两表可知，随着DVD的购买量的增加，置信度的增加量会逐渐减小，即在保证会员能够看到DVD的概率有一定差别时，DVD的购买量不会相差很多，由此可以导致网站经营者利润的差别。
于是，可以把网站经营商分为保守型、一般型、冒险型三类，以供网站经营商参考。
6.2问题二分配方案的确定
6.2.1变量、符号说明
：
第k次分配DVD的方案下，会员的平均标准满意度
：
第k次分配DVD的方案下，第i会员的标准满意度
：
第k次分配DVD的方案下，第i会员对第j种DVD的满意度
：
第k次分配DVD的方案下，第i会员对第j种DVD的偏好程度，其中，第一次的由附表二给出；第二次原题未给出数据，题中给出有60%的会员会借第二次，为不失一般性，我们取第一次数据的前60%作为第二次的订单，只需将这些会员第一次所借DVD的偏爱程度置为0即可
6.2.2模型的建立
由历史统计可知，有60%的会员每月会借用DVD两次，于是会员的满意度还要考虑第二次借DVD的情况，最小满意度可设为两次平均标准满意度的平均值。
原题中给出了每次会员获得三张DVD，是基于网站的角度，对邮费考虑作出的决策，实际情况我们可以看到，由于总DVD数量可能不是3的整数倍，基于对满足会员要求和留住会员的角度考虑，可能会出现某个会员得到一张或两张DVD的情况。
通过数据准备中满意度、标准满意度的定义不难理解以下模型：
其中，注意理解
的表达：
第二次分配时，是对还回DVD的会员进行进行重新分配，每位会员对已看过的DVD的满意度不再是原来的值，故因置为0。
故标准满意度为满意度除以剩余未租用的DVD满意度组合中最高的三种之和。
通过计算得知，利用贪婪算法求得的分配结果可以保证前六百位会员租赁到他们最想看的DVD，故把偏好程度最高的1、2、3置为0，标准满意度为会员满意度之和除以1/4、1/5、1/6之和；第二次借用DVD时，网站持有的DVD数量为原有的各类DVD数量减去第一次租赁后未归还的DVD数量。
6.2.3模型的求解
模型为目标规划模型，可以采用Lingo程序来求解，但Lingo只在求解数据量较小的时候会得到较为优化的结果；大数据量的模型，可以采用MATLAB编程来实现，本文采用贪婪算法来求去最优分配方案，其算法复杂度远小于Lingo程序。
贪婪算法的具体流程图在数据准备部分已给出。
由算法可知，具体求解时，我们是分别考虑两次分配的，将求解结果以表格的形式展现如下：
表5不同工具求解的平均标准满意度
求解工具
Lingo
MATLAB
标准满意度
0.8889
0.8943
对上述结果分析可知，Lingo程序求解的结果略小于MATLAB求解的结果，原因在于Lingo软件采用的是单纯形法求解，其算法复杂度较高，适用于数据量较小时求取全局最优解，而MATLAB采用的贪婪算法复杂度相对较小，适用于姐数据量较大时的情况，该题中数据量相对较大，Lingo求得的时局部最优解，而MATLAB贪婪算法求得的解相对较优。
利用贪婪算法得到的分配方案中，前30位会员的分配方式如下：
表6前30位会员DVD分配方案
会员
前30位会员第一次分配获得的DVD序号
C0001
8
41
98
C0002
6
44
62
C0003
32
50
80
C0004
7
18
41
C0005
11
66
68
C0006
19
53
66
C0007
8
26
81
C0008
31
35
71
C0009
53
78
100
C0010
55
60
85
C0011
59
63
66
C0012
2
31
41
C0013
21
78
96
C0014
23
52
89
C0015
13
66
85
C0016
55
84
97
C0017
47
51
67
C0018
41
60
78
C0019
66
84
86
C0020
45
61
89
C0021
45
50
53
C0022
38
55
57
C0023
29
81
95
C0024
37
41
76
C0025
9
69
81
C0026
22
68
95
C0027
50
58
78
C0028
8
34
78
C0029
26
30
55
C0030
37
62
98
通过上述结果可知，前30名会员的租赁DVD基本上都是他们各自最想得到的三种DVD。
而且基本上上可以保证会员的前60%都得到各自最想要的DVD。
6.3问题三中购买方案和分配方案的确定
6.3.1符号、变量说明
：
第k次分配前，第j种DVD需要购买的数量
其他同问题二中的说明
6.3.2模型的建立
当网站的DVD持有量为0时，需要通过购买一定量的DVD来满足会员的需求，显然购买量足够多时，可以满足所有会员的需求，但由此会带来成本上的增加。
有第一问我们可以知道，随着购买量的增加，会员满意度的增加量是逐渐减小的。
这就是我们称之为的“边际效应”。
于是，我们有必要考虑满意度达到一定程度时候同时使总购买量最小。
由此构成了一个双目标规划问题：
即以两次租赁的平均满意度最小，两次购买的DVD总量最大为目标函数，借还机制和使95%的会员得到他们想看的DVD为约束，建立规划模型：
其中，要注意
的理解以及与第二问不同的约束条件，由于第二次购买量不仅受到订单的约束还受到第一次还回DVD数量的限制，当订单数量小于DVD还回数量时，不需要再购买DVD就能对会员进行分配；否则，必须购买所差DVD来满足会员需求。
又题目中指明要满足至少95%的得到他想看的DVD，故每次的购买量有一个下界，即不小于所需DVD数量的95%。
6.3.3模型的求解
由于多目标规划问题无法用Lingo直接求解，我们一般有两种处理方式，其一是给定其中一个目标的限制，将其转化为软约束条件，从而转化成单目标规划问题，其二是统一各目标函数数量级后，赋予各目标函数一个影响因子转化为单目标函数。
本文选择前者。
当考虑MATLAB算法时，要比第二问复杂得多，单靠贪婪算法不能求解。
于是，我们考虑各种DVD的热门系数对DVD数量的影响。
通过绘制的三张满意度、DVD数、拥有3张DVD人数所占比例三者之间的关系图
图2得到三张想要DVD的比例、满意度与DVD购买数关系
如图，可以大致确定满足95%会员获得想要DVD，需要购买DVD的总数量，然后根据DVD的热门系数初步得到需要购买各类DVD的数量，然后让各DVD数量在一定幅度范围内上下取值来求取最优解。
MATLAB求得的各类DVD最小购买数量如下表所示：
表7DVD的最小购买方案
DVD序号
购买量
DVD序号
购买量
DVD序号
购买量
DVD序号
购买量
DVD序号
购买量
D001
19
D021
29
D041
53
D061
29
D081
27
D002
32
D022
33
D042
33
D062
30
D082
19
D003
28
D023
35
D043
26
D063
35
D083
18
D004
32
D024
24
D044
32
D064
39
D084
21
D005
21
D025
31
D045
34
D065
37
D085
27
D006
26
D026
30
D046
24
D066
31
D086
18
D007
28
D027
24
D047
32
D067
25
D087
30
D008
33
D028
18
D048
23
D068
35
D088
22
D009
29
D029
24
D049
32
D069
34
D089
26
D010
26
D030
39
D050
31
D070
25
D090
24
D011
30
D031
35
D051
38
D071
34
D091
37
D012
32
D032
29
D052
24
D072
32
D092
30
D013
27
D033
29
D053
35
D073
23
D093
27
D014
27
D034
26
D054
27
D074
27
D094
24
D015
25
D035
39
D055
30
D075
31
D095
34
D016
31
D036
35
D056
33
D076
26
D096
20
D017
31
D037
22
D057
31
D077
20
D097
32
D018
30
D038
29
D058
27
D078
29
D098
32
D019
35
D039
25
D059
30
D079
27
D099
16
D020
41
D040
27
D060
38
D080
30
D100
19
图8对比网站的原DVD购买方案
问题二原方案
二次购买方案
比原方案改进
标准满意度
89.45%
98.14%
9.7%
会员获得想要DVD比例
74%
96%
29%
购买DVD总数
3007
3008
-0.03%
在购买DVD总数差不多的情况下，二次购买方案的的标准满意度，和会员获得想要DVD比例明显比原方案提升。
这主要是由于二次购买方案，
6.4问题四需求预测、购买、分配中的其他问题
对于市场的需求，可以采用简单随机抽样、分类预测、关联预测等多种方法的到一段时期内的供求结果[5]；通过分析供求结果，可对DVD进行分类，分为热门影片，冷门影片，长期需求影片，短期需求影片。
对于热门影片，初次决策时，可以相对大量购买该类DVD，而长期需求影片，则需保持一定的库存。
并根据市场需求的时间段，对DVD也进行分段购买在满足顾客需求的前提下，减少成本。
另一方面，通过市场需求分析，可以利用经济学中的边际效应调整购买量的决策。
分配时，遇到的邮费问题可以考虑选择一
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