144全等三角形的判定常考题1.docx

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144全等三角形的判定常考题1

一、解答题（共29小题）

1、如图，在△ABC中，AC=AB=2，∠A=90°，将一块与△ABC全等的三角板的直角顶点放在点C上，一直角边与BC重叠．

（1）操作1：

固定△ABC，将三角板沿C⇒B方向平移，使其直角顶点落在BC的中点M，如图2示．探究：

三角板沿C⇒B方向平移的距离为　_________　；

（2）操作2：

在

（1）情形下，将三角板绕BC的中点M顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°）如图3示．探究：

设三角板两直角边分别与AB、AC交于P、Q，观察四边形MPAQ形状的变化，发现其面积始终不变，那么四边形MPAQ的面积S四边形MPAQ=　_________　；

（3）在

（2）的情形下，连PQ，设BP=x，记△APQ的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，△PQA面积有最大值，最大值是多少？

2、（2011•泉州）如图，已知点E，C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：

△ABC≌△DEF．

3、（2009•丽水）已知命题：

如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF．判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明．

4、（2009•吉林）如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，AD=AE，AB平分∠DAE交DE于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．

5、（2007•河池）如图，AD=BC，请添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明．

你所添加的条件为：

　_________　；得到的一对全等三角形是△　_________　≌△　_________　．

6、（2006•绍兴）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？

（1）阅读与证明：

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）．

对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：

已知：

△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，∠C=∠Cl．

求证：

△ABC≌△A1B1C1．

（请你将下列证明过程补充完整．）

证明：

分别过点B，B1作BD⊥CA于D，

B1D1⊥C1A1于D1．

则∠BDC=∠B1D1C1=90°，

∵BC=B1C1，∠C=∠C1，

∴△BCD≌△B1C1D1，

∴BD=B1D1．

（2）归纳与叙述：

由

（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．

7、（2006•攀枝花）如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为　_________　，你得到的一对全等三角形是　_________　．

8、（2006•江西）问题背景：

某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：

①如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN；

②如图2，在正方形ABCD中，M，N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN．

然后运用类比的思想提出了如下命题；

③如图3，在正五边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN．任务要求：

（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；

（2）请你继续完成下面的探索：

①如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立；（不要求证明）

②如图5，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°时，试问结论BM=CN是否还成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

9、（2006•大连）如图①、②、③中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点．

（1）求图①中，∠APD的度数　_________　；

（2）图②中，∠APD的度数为　_________　，图③中，∠APD的度数为　_________　；

（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？

若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．

10、（2005•宁波）如图，△ABC中，AB=AC，过点A作GE∥BC，角平分线BD、CF相交于点H，它们的延长线分别交GE于点E、G．试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．

11、（2005•福州）已知：

如图，点C、D在线段AB上，PC=PD．请你添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明．所加条件为：

　_________　，你得到的一对全等三角形是△　_________　≌△　_________　．

12、（2005•大连）如图，AB∥CD，AB=CD，点B、E、F、D在一条直线上，∠A=∠C．

求证：

AE=CF．

说明：

证明过程中要写出每步的证明依据．

13、已知：

如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：

△ABD≌△CDB．

14、如图，点E在△ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F．若∠1=∠2=∠3，AC=AE，请说明△ABC≌△ADE的道理．

15、如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，

（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；

（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？

（用含有x或y的代数式表示）

（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．

16、某种产品的商标如图所示，O是线段AC、BD的交点，并且AC=BD，AB=CD．小明认为图中的两个三角形全等，他的思考过程是：

在△ABO和△DCO中

你认为小明的思考过程正确吗？

如果正确，他用的是判定三角形全等的哪个条件？

如果不正确，请你增加一个条件，并说明你的思考过程．

17、（2010•呼和浩特）已知：

如图，点A、E、F、C在同一条直线上，AD∥BC，AD=CB，AE=CF．求证：

BE=DF．

18、（2009•黄石）如图，C、F在BE上，∠A=∠D，AC∥DF，BF=EC．

求证：

AB=DE．

19、（2009•福州）如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：

AB=AD．

20、（2009•赤峰）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，AF∥DC，连接AC，CF．求证：

CA是∠DCF的平分线．

21、（2009•北京）已知：

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上，CE=BC，过E点作AC的垂线，交CD的延长线于点F．

求证：

AB=FC．

22、（2008•宜宾）已知：

如图，AD=BC，AC=BD．求证：

OD=OC．

23、（2008•泰安）两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=90°，B，C，E在同一条直线上，连接DC．

（1）请找出图2中与△ABE全等的三角形，并给予证明（说明：

结论中不得含有未标识的字母）；

（2）证明：

DC⊥BE．

24、（2008•苏州）如图，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1=∠2，∠3=∠4．

求证：

（1）△ABC≌△ADC；

（2）BO=DO．

25、（2008•黄石）如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，AE=EC，CF∥AB．

求证：

AD=CF．

26、（2008•衡阳）如图，点C、E、B、F在同一直线上，AC∥DF，AC=DF，BC=EF．

求证：

AB=DE．

27、（2008•哈尔滨）已知：

如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB=DC，BE=CF，∠B=∠C．

求证：

OA=OD．

28、（2008•常州）已知：

如图，AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE．

求证：

BC=DE．

29、（2008•北京）已知：

如图，C为BE上一点，点A，D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED．求证：

AC=CD．

答案与评分标准

一、解答题（共29小题）

1、如图，在△ABC中，AC=AB=2，∠A=90°，将一块与△ABC全等的三角板的直角顶点放在点C上，一直角边与BC重叠．

（1）操作1：

固定△ABC，将三角板沿C⇒B方向平移，使其直角顶点落在BC的中点M，如图2示．探究：

三角板沿C⇒B方向平移的距离为　　；

（2）操作2：

在

（1）情形下，将三角板绕BC的中点M顺时针方向旋转角度α（0°＜α＜90°）如图3示．探究：

设三角板两直角边分别与AB、AC交于P、Q，观察四边形MPAQ形状的变化，发现其面积始终不变，那么四边形MPAQ的面积S四边形MPAQ=　　；

（3）在

（2）的情形下，连PQ，设BP=x，记△APQ的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，△PQA面积有最大值，最大值是多少？

考点：

二次函数综合题；全等三角形的判定与性质；平移的性质；旋转的性质。

专题：

综合题；操作型。

分析：

（1）∵AC=AB=2，∠A=90°∴BC=2

，直角顶点落在BC的中点M，移动的距离为BC的一半，为

；

（2）连接AM，易得△MBP≌△MAQ，∴S四边形MPAQ=S△MAB=1；

（3）BP=x，那么AQ=BP=x，AP=2﹣x∴S△PQA=

AP•AQ．

解答：

解：

（1）

；

（2）S四边形MPAQ=1；

（3）连AM，易证△AQM≌△BMP，

则AQ=PB=x，AP=2﹣x，

S△PQA=

AP•AQ=

（2﹣x）x．

y=

（2﹣x）x=

，

y=

（2﹣x）x=

=﹣

（x﹣1）2+

，

当x=1时S△PQA最大=

．

点评：

解决本题的难点是作出辅助线得到相应的三角形全等，进而求解．

2、（2011•泉州）如图，已知点E，C在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，∠ACB=∠F．求证：

△ABC≌△DEF．

考点：

全等三角形的判定；平行线的性质。

专题：

证明题。

分析：

根据平行线的性质可知由∠B=∠DEF．BE=CF，∠ACB=∠F，根据ASA定理可知△ABC≌△DEF．

解答：

证明：

∵AB∥DE，

∴∠B=∠DEF．

∵BE=CF，

∴BC=EF．

∵∠ACB=∠F，

∴△ABC≌△DEF．

点评：

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、SSA、HL．

注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

3、（2009•丽水）已知命题：

如图，点A，D，B，E在同一条直线上，且AD=BE，∠A=∠FDE，则△ABC≌△DEF．判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明．

考点：

全等三角形的判定。

专题：

开放型。

分析：

本题中要证△ABC≌△DEF，已知的条件有一组对应边AB=DE（AD=BE），一组对应角∠A=∠FDE．要想证得全等，根据全等三角形的判定，缺少的条件是一组对应角（AAS或ASA），或者是一组对应边AC=EF（SAS）．只要有这两种情况就能证得三角形全等．

解答：

解：

是假命题．

以下任一方法均可：

①添加条件：

AC=DF．

证明：

∵AD=BE，

∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE．

在△ABC和△DEF中，

AB=DE，

∠A=∠FDE，

AC=DF，

∴△ABC≌△DEF（SAS）；

②添加条件：

∠CBA=∠E．

证明：

∵AD=BE，

∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE．

在△ABC和△DEF中，

∠A=∠FDE，

AB=DE，

∠CBA=∠E，

∴△ABC≌△DEF（ASA）；

③添加条件：

∠C=∠F．

证明：

∵AD=BE，

∴AD+BD=BE+BD，即AB=DE．

在△ABC和△DEF中，

∠A=∠FDE，

∠C=∠F，

AB=DE，

∴△ABC≌△DEF（AAS）．

点评：

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

4、（2009•吉林）如图，AB=AC，AD⊥BC于点D，AD=AE，AB平分∠DAE交DE于点F，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．

考点：

全等三角形的判定。

专题：

探究型。

分析：

本题考查的是全等三角形的判定的有关知识，可根据全等三角形的判定定理进行求解，答案不唯一．

解答：

解：

（1）△ADB≌△ADC、△ABD≌△ABE、△AFD≌△AFE、△BFD≌△BFE、△ABE≌△ACD

（写出其中的三对即可）．

（2）以△ADB≌△ADC为例证明．

证明：

∵AD⊥BC，

∴∠ADB=∠ADC=90°．

在Rt△ADB和Rt△ADC中，

∵AB=AC，AD=AD，

∴Rt△ADB≌Rt△ADC．

点评：

这是一道考查三角形全等的识别方法的开放性题目，答案可有多种，做题时从已知开始思考，结合判定方法由易到难逐个验证，做到不重不漏．

5、（2007•河池）如图，AD=BC，请添加一个条件，使图中存在全等三角形并给予证明．

你所添加的条件为：

　PA=PB　；得到的一对全等三角形是△　△PAD　≌△　△PBC　．

考点：

全等三角形的判定。

专题：

证明题；开放型。

分析：

三角形全等条件中必须是三个元素，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，并且一定有一组对应边相等．

解答：

解：

所添加条件为PA=PB，

得到的一对全等三角形是△PAD≌△PBC；

证明：

∵PA=PB，

∴∠A=∠B，

又∵AD=BC，

∴△PAD≌△PBC．

故分别填PA=PB，△PAD，△PBC．

点评：

三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．

6、（2006•绍兴）我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等．那么在什么情况下，它们会全等？

（1）阅读与证明：

对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等．

对于这两个三角形均为钝角三角形，可证它们全等（证明略）．

对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下：

已知：

△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形，AB=A1B1，BC=B1Cl，∠C=∠Cl．

求证：

△ABC≌△A1B1C1．

（请你将下列证明过程补充完整．）

证明：

分别过点B，B1作BD⊥CA于D，

B1D1⊥C1A1于D1．

则∠BDC=∠B1D1C1=90°，

∵BC=B1C1，∠C=∠C1，

∴△BCD≌△B1C1D1，

∴BD=B1D1．

（2）归纳与叙述：

由

（1）可得到一个正确结论，请你写出这个结论．

考点：

全等三角形的判定。

专题：

阅读型。

分析：

本题考查的是全等三角形的判定，首先易证得△ADB≌△A1B1C1然后易证出△ABC≌△A1B1C1．

解答：

解：

（1）∵AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°．

∴△ADB≌△A1D1B1，

∴∠A=∠A1，

又∵∠C=∠C1，BC=B1C1，

∴△ABC≌△A1B1C1

（2）若△ABC、△A1B1C1均为锐角三角形或均为直角三角形或均为钝角三角形，

AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1，则△ABC≌△A1B1C1．

点评：

命题立意：

考查三角形全等的判定，阅读理解能力及分析归纳能力．做题时要认真读题，明白题意，然后按要求答题．

7、（2006•攀枝花）如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为　CE=DE　，你得到的一对全等三角形是　△ACE≌△ADE　．

考点：

全等三角形的判定。

专题：

证明题；开放型。

分析：

本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解．

解答：

解：

可选择CE=DE或∠CAB=∠DAB或BC=BD等条件中的一个．

可得到△ACE≌△ADE或△ACB≌△ADB．

证明：

若添加条件为：

CE=DE．

∵AC=AD，CE=DE，AE=AE，

∴△ACE≌△ADE．

故填CE=DE，△ACE≌△ADE．

点评：

本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：

SSS、SAS、ASA、AAS、HL．

注意：

AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

8、（2006•江西）问题背景：

某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：

①如图1，在正三角形ABC中，M，N分别是AC，AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN；

②如图2，在正方形ABCD中，M，N分别是CD，AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN．

然后运用类比的思想提出了如下命题；

③如图3，在正五边形ABCDE中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN．任务要求：

（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；

（2）请你继续完成下面的探索：

①如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M，N分别是CD，DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立；（不要求证明）

②如图5，在正五边形ABCDE中，M，N分别是DE，AE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°时，试问结论BM=CN是否还成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．

考点：

全等三角形的判定；正多边形和圆。

专题：

压轴题。

分析：

（1）正三角形ABC中，可通过全等三角形来证明BM=CN，由于∠BON=∠MBC+∠BCO=60°，而∠ACB=∠ACN+∠OCB=60°，因此∠ACN=∠MBC，又知道∠A=∠BCM=60°，AC=BC，因此△ACN≌△CBM，可得出BM=CN；正方形和正五边形的证明过程与正三角形的一样，都是通过全等三角形来得出线段的相等，证三角形的过程中都是根据∠BON和多边形的内角相等得出一组两三角形中的一组对应角相等，然后根据正多边形的内角和边相等，得出BCM和CND全等，进而得出BM=CN；

（2）①由

（1）的证明过程可知道∠MON的度数应该是正多边形的内角的度数，当∠BON=

时，结论BM=CN成立，

②可参照

（1）先得出三角形BCD和CDE全等，然后通过证三角形CEN和BDM全等来得出结论，在证三角形CEN和BDM全等的过程中也是通过∠BON与正五边形的内角相等得出一组对应角相等，然后根据正五边形的内角减去第一对全等三角形中得出的相等角来得出另一组对应角相等，可通过△BCD≌△CDE得出CE=BD，那么可得出三角形CEN和BDM全等，由此可得证．

解答：

解：

（1）选命题①

在图1中，∵△ABC是正三角形，

∴BC=CA，∠BCM=∠CAN=60°．

∵∠BON=60°，

∴∠CBM+∠BCN=60°．

∵∠BCN+∠ACN=60°，

∴∠CBM=∠ACN．

∴△BCM≌△CAN（ASA）．

∴BM=CN．

选命题②

在图2中∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=90°．

∵∠BON=90°，

∴∠CBM+∠BCN=90°．

∵∠BCN+∠DCN=90°，

∴∠CBM=∠DCN．

∴△BCM≌△CDN（ASA）．

∴BM=CN．

选命题③

在图3中，∵五边形ABCDE是正五边形，

∴BC=CD，∠BCM=∠CDN=108°．

∵∠BON=108°，

∴∠CBM+∠BCN=108°．

∵∠BCN+∠DCN=108°，

∴∠CBM=∠DCN．

∴△BCM≌△CDN（ASA）．

∴BM=CN．

（2）①当∠BON=

时，结论BM=CN成立．

②BM=CN成立．

在图5中，连接BD、CE，

∵五边形ABCDE是正五边形，

∴BC=CD，∠BCD+∠CDE=108°，CD=DE，∠CDE+∠DEA=108°．

∴△BCD≌△CDE（SAS）．

∴BD=CE，∠BDC=∠CED，∠DBC=∠ECD．

∵∠BON=108°，

∴∠OBC+∠OCB=108°．

∵∠OCB+∠OCD=108°，

∴∠OBC=∠OCD（即∠MBC=∠NCD）．

∴∠MBC﹣∠DBC=∠NCD﹣∠ECD，即∠DBM=∠ECN．

∴∠CDE﹣∠BDC=∠DEA﹣∠CED，即∠BDM=∠CEN．

∴△BDM≌△CEN（ASA）．

∴BM=CN．

点评：

本题主要考查了全等三角形，正多边形等几何知识，是一道几何型探究题，层层深入，体现了一个由特殊到一般的过程，考查学生的逻辑思维能力及归纳探索诸多方面的能力，是一道很好的压轴题．本题是一道非常典型的几何探究题，很好地体现了从一般到特殊的数学思想方法，引导学生渐渐地从易走到难，是新课标形势下的成熟压轴题．

9、（2006•大连）如图①、②、③中，点E、D分别是正△ABC、正四边形ABCM、正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，DB交AE于P点．

（1）求图①中，∠APD的度数　60°　；

（2）图②中，∠APD的度数为　90°　，图③中，∠APD的度数为　108°　；

（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？

若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．

考点：

全等三角形的判定；三角形内角和定理。

专题：

探究型。

分析：

（1）由观察图形可以看出∠APD是△APB的一个外角，∠APD=∠BAE+∠ABD．又可得出△ABE≌△BCD，由此便可求出∠APD的度数，∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°．

（2）∠APD易证等于∠M，即等于多边形的内角．

（3）点E、D分别是正n边形ABCM中以C点为顶点的相邻两边上的点，且BE=CD，BD与AE交于点P，∠APD等于正n边形的内角，就可以求出．

解答：

解：

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°．

∵BE=CD，

∴△ABE≌△BCD．

∴∠BAE=∠CBD．

∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°．

（2）同理可证：

△ABE≌△BCD，∴∠AEB+∠DBC=180°﹣90°=90°，∴∠APD=∠BPE=180°﹣90°=90°；

△ABE≌△BCD，∴∠AEB+∠DBC=180°﹣108°=72°，∴∠APD=∠BPE=180°﹣72°=108°．

（3）能．如图，点E、D分别是正n边形ABCM中以C点为顶点的相邻两边上的点，

且BE=CD，BD与AE交于点P，则∠APD的度数为

．

点评：

此题主要考查三角形全等的判定的应用，三角形