人教A版数学必修2第2章 23 232 平面与平面垂直的判定.docx
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人教A版数学必修2第2章23232平面与平面垂直的判定
2.3.2 平面与平面垂直的判定
学习目标
核心素养
1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．（难点、易错点）
2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．（重点）
3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化．（重点）
1.通过学习平面与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学素养.
2.通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学素养.
1．二面角的概念
（1）定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．
（2）相关概念：
①这条直线叫做二面角的棱，②两个半平面叫做二面角的面．
（3）画法：
（4）记法：
二面角αlβ或αABβ或PlQ或PABQ.
（5）二面角的平面角：
若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；
③OA⊥l，OB⊥l，则二面角αlβ的平面角是∠AOB．
思考：
二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？
[提示] 无关．如图，根据等角定理可知，∠AOB＝∠A′O′B′，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关．
2．平面与平面垂直
（1）定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
（2）画法：
（3）记作：
α⊥β．
（4）判定定理：
文字语言
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
图形语言
符号语言
l⊥α，l⊂β⇒α⊥β
思考：
两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？
[提示] 不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面．
1．如图所示的二面角可记为（ ）
A．αβlB．MlN C．lMN D．lβα
B [根据二面角的记法规则可知B正确．]
2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面（ ）
A．有一个B．有两个
C．有无数个D．不存在
C [经过l的任一平面都和α垂直．]
3．如图所示，三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角BPAC的大小等于________．
90° [∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC为二面角BPAC的平面角，又∠BAC＝90°.所以所求二面角的大小为90°.]
二面角的计算问题
【例1】 如图，已知三棱锥ABCD的各棱长均为2，求二面角ACDB的余弦值．
[解] 如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AM⊥CD，BM⊥CD.
由二面角的定义可知∠AMB为二面角ACDB的平面角．
设点H是△BCD的重心，
则AH⊥平面BCD，且点H在BM上．
在Rt△AMH中，AM＝
×2＝
，
HM＝
×2×
＝
，则cos∠AMB＝
＝
，
即二面角的余弦值为
.
1．求二面角的大小关键是作出平面角：
求二面角大小的步骤是：
（1）找出这个平面角；
（2）证明这个角是二面角的平面角；
（3）作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．
2．确定二面角的平面角的方法：
（1）定义法：
在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．
（2）垂面法：
过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
1．如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD,AC＝
AD，求平面ABD与平面BCD所成的二面角的大小．
[证明] 因为AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD，
所以BD⊥AC.
又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，
所以BD⊥平面ACD.
因为AD⊂平面ACD，所以AD⊥BD，
所以∠ADC即为平面ABD与平面BCD所成二面角的平面角．
在Rt△ACD中，AC＝
AD，所以∠ADC＝30°.
平面与平面垂直的判定
【例2】 如图所示，在四面体ABCS中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求证：
平面ABC⊥平面SBC.
[证明]
（1）法一：
（利用定义证明）
因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，
令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．
取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，
所以∠ADS为二面角ABCS的平面角．
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝
a，BD＝
＝
a.
在Rt△ABD中，AD＝
a，
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角ABCS为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.
法二：
（利用判定定理）
因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC，
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
因为△SBC为直角三角形，
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点，
所以AD⊥平面SBC.
又因为AD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
证明面面垂直常用的方法：
（1）定义法：
即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
（2）判定定理法：
在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直；
（3）性质法：
两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
2．如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：
平面BDE⊥平面ABCD.
[证明] 连接AC，设AC∩BD＝O，连接OE.
因为O为AC中点，E为PA的中点，
所以EO是△PAC的中位线，
所以EO∥PC.
因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.
又因为EO⊂平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
线线、线面垂直的综合
[探究问题]
1．如图所示，如何作出二面角PABQ的平面角？
[提示] 过点P作平面ABQ的垂线，垂足为H.过H作HO⊥棱AB于点O，连OP，则∠POH即为二面角PABQ的平面角．
2．线面、面面垂直关系是如何转化的？
[提示] 欲证面面垂直，可转化为证明线面垂直，再转化为证明线线垂直即可．
【例3】 如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．
（1）求证：
A1E⊥BD；
（2）当E恰为棱CC1的中点时，求证：
平面A1BD⊥平面EBD．
思路探究：
（1）欲证A1E⊥BD，只需证明BD垂直A1E所在平面即可；
（2）要证平面A1BD⊥平面EBD，只需求出二面角为直二面角即可，或证明一个平面内的某一直线垂直于另一个面．
[证明] 连接AC，设AC∩DB＝O，
连接A1O，OE，
（1）因为AA1⊥底面ABCD，
所以BD⊥A1A，又BD⊥AC，A1A∩AC＝A，
所以BD⊥平面ACEA1，
因为A1E⊂平面ACEA1，所以A1E⊥BD.
（2）在等边三角形A1BD中，BD⊥A1O，
因为BD⊥平面ACEA1，OE⊂平面ACEA1，
所以BD⊥OE，所以∠A1OE为二面角A1BDE的平面角．
在正方体ABCDA1B1C1D1中，设棱长为2a，因为E为棱CC1的中点，由平面几何知识，得EO＝
a，A1O＝
a，A1E＝3a，满足A1E2＝A1O2＋EO2，所以∠A1OE＝90°，即平面A1BD⊥平面EBD.
本例中，条件不变，试求二面角EBDC的正切值．
[解] 连接AC交BD于O，连接OE（图略）．
由例题中
（2）知，BD⊥OE，BD⊥OC.
∴∠EOC为二面角EBDC的平面角．
设正方体棱长为a，则CE＝
，OC＝
a.
在Rt△OCE中，tan∠EOC＝
＝
＝
.
所以二面角EBDC的正切值为
.
线面、面面垂直的综合问题的解题策略：
（1）重视转化
涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直.
（2）充分挖掘线面垂直关系
解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用．
1．求二面角大小的步骤
简称为“一作、二证、三求”．
2．平面与平面垂直的判定定理的应用思路
（1）本质：
通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直⇒面面垂直．
（2）证题思路：
处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．
1．直线l⊥平面α，l⊂平面β，则α与β的位置关系是（ ）
A．平行B．可能重合
C．相交且垂直D．相交不垂直
C [由面面垂直的判定定理，得α与β垂直，故选C.]
2．从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是（ ）
A．互为余角B．相等
C．其和为周角D．互为补角
D [画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.]
3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABCA1的平面角等于________．
45° [根据长方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面
角的平面角定义可知，∠ABA1即为二面角ABCA1的平面角.又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.]
4．如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.
证明：
平面AB1C⊥平面A1BC1.
[证明] 因为BCC1B1是菱形，
所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，
所以B1C⊥平面A1BC1，
又B1C⊂平面AB1C，
所以平面AB1C⊥平面A1BC1.
线面垂直性质定理的应用
【例1】 如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：
MN∥AD1.
[证明] 因为四边形ADD1A1为正方形，
所以AD1⊥A1D.
又因为CD⊥平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，
所以AD1⊥平面A1DC.
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
证明线线平行常用如下方法：
（1）利用线线平行定义：
证共面且无公共点；
（2）利用三线平行公理：
证两线同时平行于第三条直线；
（3）利用线面平行的性质定理：
把证线线平行转化为证线面平行；
（4）利用线面垂直的性质定理：
把证线线平行转化为证线面垂直；
（5）利用面面平行的性质定理：
把证线线平行转化为证面面平行．
1．如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，a⊥AB.求证：
a∥l.
[证明] 因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.
同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.
因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a，
又a⊥AB，EB∩AB＝B，
所以a⊥平面EAB.
由线面垂直的性质定理，得a∥l.
面面垂直性质定理的应用
【例2】 如图，在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.
求证：
BC⊥AB.
[证明] 如图，在平面PAB内，作AD⊥PB于点D.
∵平面PAB⊥平面PBC，
且平面PAB∩平面PBC＝PB，AD⊂平面PAB，
∴AD⊥平面PBC.
又BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC.
又∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵PA∩AD＝A，∴BC⊥平面PAB.
又AB⊂平面PAB，∴BC⊥AB.
1．证明或判定线面垂直的常用方法：
（1）线面垂直的判定定理；
（2）面面垂直的性质定理；
（3）若a∥b，a⊥α，则b⊥α（a、b为直线，α为平面）；
（4）若a⊥α，α∥β，则a⊥β（a为直线，α，β为平面）；
2．两平面垂直的性质定理告诉我们要将面面垂直转化为线面垂直，方法是在其中一个面内作（找）与交线垂直的直线．
2．如图，四棱锥VABCD的底面是矩形，侧面VAB⊥底面ABCD，又VB⊥平面VAD.
求证：
平面VBC⊥平面VAC.
[证明] ∵面VAB⊥面ABCD，且BC⊥AB，面VAB∩面ABCD＝AB，BC⊂平面ABCD.
∴BC⊥面VAB，
又VA⊂平面VAB，∴BC⊥VA，
又VB⊥面VAD，∴VB⊥VA，
又VB∩BC＝B，∴VA⊥面VBC，
∵VA⊂面VAC，∴平面VBC⊥平面VAC.
线线、线面、面面垂直的综合应用
[探究问题]
试总结线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的转化关系．
[提示] 垂直问题转化关系如下所示：
【例3】 如图所示，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，求证：
（1）DE＝DA；
（2）平面BDM⊥平面ECA；
（3）平面DEA⊥平面ECA.
思路探究：
（1）设出BD，分别求出DE、DA的长度或证明DM⊥AE，即证DM为AE的中垂线即可．
（2）（3）只需证明DM⊥平面ECA即可．
[证明]
（1）设BD＝a，如图，作DF∥BC交CE于F，
则CF＝DB＝a.因为CE⊥平面ABC，
所以BC⊥CF，DF⊥EC，
所以DE＝
＝
a.
又因为DB⊥平面ABC，
所以DA＝
＝
a，
所以DE＝DA.
（2）取CA的中点N，连接MN，BN，则MN
CE
DB.
所以四边形MNBD为平行四边形，所以MD∥BN.
又因为EC⊥平面ABC，所以EC⊥BN，EC⊥MD.
又DE＝DA，M为EA的中点，所以DM⊥AE.
所以DM⊥平面AEC，所以平面BDM⊥平面ECA.
（3）由
（2）知DM⊥平面AEC，而DM⊂平面DEA，
所以平面DEA⊥平面ECA.
本例条件不变，试求平面ADE与平面ABC所成二面角的大小．
[解] 如图延长ED交CB延长线于点N，连接AN，设BD＝a，由例题知，CE＝AC＝BC＝AB＝2a，
在△CEN中，由
＝
知B为CN中点，
∴CB＝BN＝2a.
∴△ABN中，∠ABN＝120°，∠BAN＝∠BNA＝30°，
∴∠CAN＝90°，即NA⊥CA.
又EC⊥平面ABC，∴EC⊥NA，又CA∩CE＝C，
∴NA⊥平面ACE，∴NA⊥AE，NA⊥AC，
且AN为平面ADE与平面ABC的交线．
∴∠CAE为平面ADE与平面ABC所成二面角的平面角，
在Rt△ACE中，AC＝CE，∴∠CAE＝45°.
所以平面ADE与平面ABC所成二面角为45°.
垂直关系的互化及解题策略：
空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则，解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰（边）三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形，产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题．
1．线面垂直的性质定理揭示了空间中“平行”与“垂直”关系的内在联系，提供了“垂直”与“平行”关系相互转化的依据．
2．面面垂直的性质定理揭示了“面面垂直、线面垂直及线线垂直”间的内在联系，体现了数学中的化归转化思想，其转化关系如下：
1．直线a与直线b垂直，直线b⊥平面α，则直线a与平面α的位置关系是（ ）
A．a⊥αB．a∥α
C．a⊂αD．a⊂α或a∥α
D [a⊥b，b⊥α，则a∥α或a⊂α.选D.]
2．已知l⊥平面α，直线m⊂平面β.有下面四个命题：
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
其中正确的两个命题是（ ）
A．①②B．③④
C．②④D．①③
D [∵l⊥α，α∥β，∴l⊥β，∵m⊂β，∴l⊥m，故①正确；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m⊂β，∴α⊥β，故③正确．]
3．如图所示，三棱锥PABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则（ ）
A．PD⊂平面ABC
B．PD⊥平面ABC
C．PD与平面ABC相交但不垂直
D．PD∥平面ABC
B [∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.]
4．如图所示，在四棱锥SABCD中，底面ABCD是矩形，侧面SDC⊥底面ABCD，求证：
平面SCD⊥平面SBC.
[证明] 因为底面ABCD是矩形，所以BC⊥CD.
又平面SDC⊥平面ABCD，
平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC⊂平面ABCD，
所以BC⊥平面SCD.
又因为BC⊂平面SBC.
所以平面SCD⊥平面SBC.
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