特殊四边形的性质和判定定理.docx
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特殊四边形的性质和判定定理
特殊四边形的性质和判定定理
名称
性质
判定
D
C
B
A
平行四边形
1、对边平行且相等。
2、对角相等。
3、对角线互相平分。
4、是中心对称图形。
5、S=ab（a、b分别表示底和这一底上的高）
推论：
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
（定义）
2、两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
3、对角线互相平分的四边形是平行四边形。
4、一组对边平行且相等的四边形叫做平行四边形。
D
C
B
A
矩形
矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有以下性质：
1、四个角都是直角。
2、对角线相等。
3、既是中心对称图形，又是轴对称图形。
4、S=ab（a、b分别表示长和宽）
推论：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、对角线相等的平行四边形是矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
C
D
B
A
菱形
菱形除了具有平行四边形的所有质外，还有以下性质：
1、四条边都相等。
2、两条对角线互相垂直。
并且每一条对角线平分一组对角。
3、既是中心对称图形，又是轴对称图形。
4、S=ab（a、b分别表示两条对角线长。
）
1、有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
（定义）
2、对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3、边相等到的四边形是菱形。
正方形
除了具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质外，还有以下性质：
1、对角线和边的夹角是45º。
2、S=a²（a表示两边长。
）
1、一组邻边相等的矩形是正方形。
2、有一个是直角的菱形是正方形。
3、对角线相垂直的矩形是正方形。
4、对角线相等的菱形是正方形。
D
C
B
A
等腰梯形
1、两腰相等。
2、同一底上的两个角相等。
3、对角线相等。
4、轴对称图形
1、对角线相等的梯形是等腰梯形。
2、同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。
梯形中常见辅助线
例1如图，E、F分别为正方形ABCD的边BC、CD上的一点，AM⊥EF，垂足为M，若AM=AB，求证：
EF=BE+CF
例2已知：
如图，正方形ABCD中，延长AD到E，使DE=AD，再延长DE到F，使DF=BD，连接BF交CD于Q，交CE于P。
求证PD=PQ
在正方形中ABCD∠ADB=∠DBC=∠BDC=45ºDF=BD∴∠DBF=∠DFB
∠ADB=∠DBF+∠F===>∠DBF=∠DFB=22.5º
===>∠QBC=45-∠DBF=45-22.5=22.5º
===>∠DQP=∠BQC=90-∠QBC=90-22.5=67.5º
DE=AD=DCDCE=45º
∠EPF=∠BPC=180-∠PBC-∠BCD-∠DCE=180-22.5-90-45=22.5º=∠F∴EP=EF
∵DF=BD=ECEP=EF∴PC（EC-EP）=DE（DF-EF）=DC又∵∠DCP=45º
∴∠QDP=（180-∠DCP）/2=（180-45）/2=67.5º=∠DQP
∴PD=PQ
例3如图，在◇ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，求∠AED
例4如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，以AC、AD为边作◇ACED，DC的延长线交BE于F，求证：
EF=FB
证明 如图所示，连接AE交DC于O.
∵四边形ACED是平行四边形．
∴O是AE的中点．
∵在梯形ABCD中，
DC∥AB，在△EAB中，
OF∥AB，
又∵O是AE的中点，
∴F是EB的中点，
∴EF＝BF.
例5如图，以△ABC的AB、AC为边向形外做正方形ABDE和正方形ACFG，AM是△ABC的中线，连接EG。
求证EG=2AM
延长BA至点H,使得BA=AH
对三角形EAG和三角形HAC,因为EA=AH,AG=AC,角EAG=90+角HAG=角HAC,所以两三角形全等,得EG=CH
又因为M是BC的中点,所以AM是三角形HBC的中位线,得CH=2*AM
所以得AM=二分之一EG
多边形
一、选择题
1.（安徽）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（）
A．7B．9C．10D．11
2.（山东威海）在□ABCD中，点E为AD的中点，连接BE，交AC于点F，则AF：
CF＝（）
A．1：
2B．1：
3C．2：
3D．2：
5
3.（江苏泰州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：
①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有
A．1组B．2组C．3组D．4组
4.（重庆市潼南）如图，在平行四边形ABCD中（AB≠BC），直线EF
经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC于点M、
N，交BA、DC的延长线于点E、F，下列结论：
①AO=BO；②OE=OF；③△EAM∽△EBN；
④△EAO≌△CNO，其中正确的是
A.①②B.②③C.②④D.③④
5.（广东东莞,）正八边形的每个内角为（）
A．120°B．135°C．140°D．144°
6.（浙江省，8，3分）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=120°,∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE，在BC，DE上分别找一点M,N，使得△AMN的周长最小时，则∠AMN+∠ANM的度数为（）
A.100°B．110°C.120°D.130°
7.（浙江省舟山）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH（不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD面积是11cm2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）
（A）48cm（B）36cm
（C）24cm（D）18cm
8.（山东德州）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n个图形的周长是
（A）
（B）
（C）
（D）
9.（山东泰安）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为
A.17B.17C.18D.19
10.（浙江杭州）在矩形ABCD中，有一个菱形BFDE（点E，F分别在线段AB，CD上），记它们的面积分别为
．现给出下列命题：
（）
①若
，则
．②若
则
．
则:
A．①是真命题，②是真命题B．①是真命题，②是假命题
C．①是假命题，②是真命题D，①是假命题，②是假命题
11.（浙江温州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB=60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有（）
A．2条B．4条C．5条D．6条
12.（山东聊城，7，3分）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（）
A．12cm2B．24cm2C．48cm2D．96cm2
13.（重庆江津，10，4分）如图,四边形ABCD中,AC=a,BD=b,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1,再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,如此进行下去,得到四边形AnBnCnDn.下列结论正确的有（）
①四边形A2B2C2D2是矩形;②四边形A4B4C4D4是菱形;
③四边形A5B5C5D5的周长
;④四边形AnBnCnDn的面积是
A.①②B.②③C.②③④D.①②③④
14.（四川乐山9，3分）如图（5），在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G。
下列结论：
①tan∠HBE=cot∠HEB②
③BH=FG④
.其中正确的序号是
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④
15.（湖北襄阳，10，3分）顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是
A.菱形B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形
16.（山东滨州，12，3分）如图,在一张△ABC纸片中,∠C=90°,∠B=60°,DE是中位线,现把纸片沿中位线DE剪开,计划拼出以下四个图形:
①邻边不等的矩形;②等腰梯形;③有一个角为锐角的菱形;④正方形.那么以上图形一定能被拼成的个数为（）
A.1B.2C.3D.4
二、填空题
17.（浙江金华，15，4分）如图，在□ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H，则△DEF的面积是.
18.（山东聊城，14，3分）如图，在□ABCD中，AC、BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝3cm，则AD的长是__________cm．
19.（山东临沂，18，3分）如图，□ABCD中，E是BA延长线上一点，AB＝AE，连结CE交AD于点F，若CF平分∠BCD，AB＝3，则BC的长为．
20.（四川广安，16，3分）若凸
边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是____
21.（山东德州16,4分）长为1，宽为a的矩形纸片（
），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n=3时，a的值为________．
22.（湖北鄂州，5，3分）如图：
矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______．
23.（山东烟台，17,4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是.
24.（江苏泰州，18，3分）如图，平面内4条直线L1、L2、L3、L4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线L1和L4上，该正方形的面积是平方单位．
25.（山东潍坊，16，3分）已知线段AB的长为a，以AB为边在AB的下方作正方形ACDB.取AB边上一点E，以AE为边在AB的上方作正方形AENM.过E作EF⊥CD，垂足为F点.若正方形AENM与四边形EFDB的面积相等，则AE的长为_________.
26．（山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM=时，四边形ABCN的面积最大．
27.（湖北孝感，16，3分）已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是.
28.（江苏连云港，16，3分）一等腰梯形两组对边中点连线段的平方和为8，则这个等腰梯形的对角线长为_______.
29.（江苏宿迁,15,3分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC的平分线与∠BDC的平分线的交点E恰在AB上．若AD＝7cm，BC＝8cm，则AB的长度是▲cm．
⑴⑵⑶
30.（山东临沂，19，3分）如图，上面各图都是用全等的等边三角形拼成的一组图形，则在第10个这样的图形中，共有个等腰梯形．
31.（湖北襄阳，17，3分）如图4，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点.点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动.点P停止运动时，点Q也随之停止运动.当运动时间t＝秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形.
32.（浙江义乌）如图，已知E、F是□ABCD对角线AC上的两点，
且BE⊥AC，DF⊥AC.
（1）求证：
△ABE≌△CDF；
（2）请写出图中除△ABE≌△CDF外其余两对全等
三角形（不再添加辅助线）．
33.（安徽芜）如图，在梯形ABCD中，DC‖AB，AD=BC,BD平分
过点D作
，过点C作
，垂足分别为E、F，连接EF，求证：
为等边三角形.
34.（四川南充市）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC,AD=AB=CD=2,∠C=600,M是BC的中点。
（1）求证：
⊿MDC是等边三角形；
（2）将⊿MDC绕点M旋转，当MD（即MD′）与AB交于一点E,MC即MC′）同时与AD交于一点F时，点E,F和点A构成⊿AEF.试探究⊿AEF的周长是否存在最小值。
如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出⊿AEF周长的最小值.
35.（浙江杭州）在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2BC＝2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为点E，F．
（1）求证：
△FOE≌△DOC；
（2）求sin∠OEF的值；
（3）若直线EF与线段AD，BC分别相交于点G，H，求
的值．
36.（湖南益阳，21，12分）图10是小红设计的钻石形商标，△ABC是边长为2的等边三角形，四边形ACDE是等腰梯形，AC∥ED，∠EAC=60°，AE=1．
（1）证明：
△ABE≌△CBD；
（2）图中存在多对相似三角形，请你找出一对进行证明，并求出其相似比（不添加辅助线，不找全等的相似三角形）；
（3）小红发现AM=MN=NC，请证明此结论；
（4）求线段BD的长．
37.（山东枣庄）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，
，
交AB于E，DF平分∠EDC交BC于F，连结EF．
（1）证明：
；
（2）当
时，求EF的长．
38.（四川成都）如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点.
（1）若BK=
KC，求
的值；
（2）连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=
AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?
请写出你的结论并予以证明．再探究：
当AE=
AD（
），而其余条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?
请直接写出你的结论，不必证明．
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