分式方程.docx
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分式方程
分式方程
分式方程
一、分式方程：
1、识别一个方程是分式方程的关键是方程分母中有未知数。
2、解分式方程的基本思想是：
“把分式方程的分母去掉，使分式方程化为整式方程，就可以利用整式方程的解法求解”。
这就是“转化思想”。
3、将分式方程转化为整式方程，转化的条件是“去分母”。
其方法是在分式的两边同乘以分式方程中各分式的最简公分母。
4、在方程变形中，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的“增根”。
应当舍去。
因此，解得整式方程的根后，要代入原分式方程检验，适合原方程即为分式方程的根，不适合，就说明原方程无解。
也可以代入去分母时乘以的最简公分母中，使公分母≠0时为原方程的解，使公分母=0时为增根舍去。
例5，解方程：
。
分析：
本题方程中分母含有未知数x，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，将分式方程化为整式方程，首先要将各个分母能因式分解的多项式先做因式分解，再找最简公分母。
解：
将原方程变形：
去分母：
方程两边同乘以2（x+3）得：
4+3（x+3）=7,
去括号：
4+3x+9=7
移项：
3x=7-4-9
合并同类项：
3x=-6
系数化为1：
x=-2
检验：
把x=-2代入原方程
左边==2+=，
右边==，
∵左边=右边，∴x=-2是原方程的解。
注：
把求得的未知数的值代入原方程检验，不仅可以检验出是不是增根，还可以检查在解方程过程中计算是否有错误。
例6，解方程：
=1-。
分析：
本题方程中分母含有未知数，是分式方程，解分式方程的关键是去分母，此题中分母应先按x的降幂排列，再因式分解，这样便于找最简公分母。
解：
原方程变形：
=1-
去分母：
方程两边同乘以（x-7）（x-1），
得：
（x-3）（x-7）-（x-5）（x-1）=（x-7）（x-1）-（x2-2）
去括号：
x2-10x+21-x2+6x-5=x2-8x+7-x2+2
合并同类项：
-4x+16=-8x+9
移项：
-4x+8x=9-16
合并同类项：
4x=-7
系数化为1：
∴x=-
检验：
将x=-代入（x-7）（x-1）
∵（x-7）（x-1）=（--7）（--1）≠0,
∴x=-是原方程的解。
注：
（1）在进行方程变形中：
=，=-。
（2）去括号时-（x-5）（x-1）=-（x2-6x+5）=-x2+6x-5，-（x2-2）=-x2+2以上几处的变形中不要出现错误，注意分式符号法则的应用及去括号的应用。
（3）去分母时原方程中，右边的第一项是整式，千万不要忘记同乘以最简公分母（x-7）（x-1）。
例7，解方程：
。
解：
原方程化为：
，
去分母：
方程两边同乘以x（x+1）（x-1），
得：
7（x-1）+3（x+1）=6x
去括号：
7x-7+3x+3=6x
移项：
7x+3x-6x=7-3
合并同类项：
4x=4
系数化为1：
∴x=1
检验：
把x=1代入x（x+1）（x-1）
∵x（x+1）（x-1）=1×（1+1）（1-1）=0,
∴x=1是原方程的增根，舍去。
∴原方程无解。
例8，解方程：
--+=0。
分析：
本题直接去分母，则方程两边就要乘以最简公分母（x-2）（x-3）（x-4）（x-5），这样计算比较复杂，因此，我们可采用分组通分的方法，化简，然后再去分母化成整式方程来解。
解法
（一）：
原方程化为：
-=-
将方程两边分别通分：
=，
化简：
=，
∴=，
∴=，
去分母，方程两边同乘以（x-2）（x-3）（x-4）（x-5）：
（x-3）（x-5）=（x-2）（x-4）
去括号：
x2-8x+15=x2-6x+8
移项：
x2-8x-x2+6x=8-15
合并同类项：
-2x=-7
系数化为1：
∴x=
检验，将x=代入最简公分母（x-2）（x-3）（x-4）（x-5）
∵（x-2）（x-3）（x-4）（x-5）=（-2）（-3）（-4）（-5）≠0
∴x=是原方程的解。
解法
（二）：
分析：
如果一个分式的分子与分母同次或分子的次数高于分母的次数时，可采用竖式除法化简每一个分式。
如==1+。
解：
原方程可变形为：
（1+）-（1+）=（1+）-（1+）
化简得：
-=-
将方程两边分别通分：
∴=，
∴=，
去分母，方程两边同乘以（x-2）（x-3）（x-4）（x-5），
得：
（x-3）（x-5）=（x-2）（x-4）
去括号：
x2-8x+15=x2-6x+8
移项：
x2-8x-x2+6x=8-15
合并同类项：
-2x=-7
系数化为1：
∴x=
检验：
将x=代入（x-2）（x-3）（x-4）（x-5）≠0，
∴x=是原方程的解。
二、解分式方程时注意以下几个问题：
1、方程两边同乘以最简公分母时，每一项都要乘，特别是以一个数或一个整式为一项时，这一项不能漏乘；
2、两边都乘以最简公分母去掉方程中的分母，若分式的符号是“-”，去掉分母后，分子应加括号；
3、由于分式方程两边同乘以一个含有未知数的整式，方程可能会产生增根，故必须对求得的根进行检验，这一步必不可少；
4、当分式方程的分母是多项式，为了找最简公分母，需把分母分解因式。
同步检测
一选择
1.下面是分式方程的是（）
A.B.
C.D.
2.若得值为-1，则x等于（）
A.B.C.D.
3.一列客车已晚点6分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶20千米便可正点运行，如果设客车原来行驶的速度是x千米/小时，可列出分式方程为（）
A.B.
C.D.
4.分式方程的解为（）
A.2B.1C.-1D.-2
5.若分式方程的解为2，则a的值为（）
A.4B.1C.0D.2
6.分式方程的解是（）
A.无解B.x=2C.x=-2D.x=2或x=-2
7.如果关于x的方程无解，则m等于（）
A.3B.4C.-3D.5
8.解方程时，去分母得（）
A.（x-1）（x-3）+2=x+5B.1+2（x-3）=（x-5）（x-1）
C.（x-1）（x-3）+2（x-3）=（x-5）（x-1）D.（x-3）+2（x-3）=x-5
二、填空
9.已知关于的分式方程的根大于零，那么a的取值范围是.
10.关于的分式方程有增根=-2，那么k=.
11.若关于的方程产生增根，那么m的值是.
12.当m=时，方程的解与方程的解互为相反数.
13.为改善生态环境，防止水土流失，某村拟定在荒坡地上种植960棵树，由于青年团员的支援，每日比原计划多种20课，结果提前4天完成任务，原计划每天种植多少棵树？
设原计划每天种植x棵树，根据题意列方程为.
14.如果，则A=；B=.
三、解答题
15.解分式方程
⑴⑵
（3）（4）
16.已知关于的方程无解，求a的值？
17.已知与的解相同，求m的值？
18.近年来，由于受国际石油市场的影响，汽油价格不断上涨．下面是小明与爸爸的对话：
小明：
“爸爸，听说今年5月份的汽油价格上涨了不少啊！
”
爸爸：
“是啊，今年5月份每升汽油的价格是去年5月份的倍，用元给汽车加的油量比去年少升.”
小明：
“今年5月份每升汽油的价格是多少呢？
”
聪明的你，根据上面的对话帮小明计算一下今年5月份每升汽油的价格？
19.武汉一桥维修工程中，拟由甲、乙两各工程队共同完成某项目，从两个工程队的资料可以知道，若两个工程队合作24天恰好完成，若两个工程队合作18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成，请问：
⑴甲、乙两工程队完成此项目各需多少天？
⑵又已知甲工程队每天的施工费用是0.6万元，乙工程队每天的施工费用是0.35万元，要使该项目总的施工费用不超过22万元，则乙工程队至少施工多少天？
参考答案
一、选择
1.D2.C3.B4.A5.A6.B7.A8.C
二、填空
9.a<210.111.112.m=-313.14.3，2
三、解答题
15.⑴解：
方程变形为
两边同时乘以（x2-9）得,x-3+2x+6=12,x=3,经检验x=3是原方程的增根，故原方程无解.
⑵解：
两边同时乘以（x2-4）得x（x+2）-（x+14）=2x（x-2）-（x2-4）；整理得，5x=18,,经检验是原方程的解.
（3）解：
方程两边同时乘以想x（x2-1）得，5x-2=3x,x=1,经检验x=1是原方程的增根,故原方程无解.
（4）.解：
两边同乘以（2x+3）（2x-3）得2x（2x+3）-（2x-3）=（2x-3）（2x+3）
整理得4x=-12,x=-3，经检验x=-3是原方程的根.
16.解：
因为原方程无解，所以最简公分母x（x-2）=0,x=2或x=0；原方程去分母并整理得a（x-2）-4=0;将x=0代入得a（0-2）-4=0,a=-2;将x=2代入得a·0-4=0,a无解，故综上所述a=-2.
17.解：
，x=2,经检验x=2是原方程的解，由题意可知两个方程的解相同，所以把x=2代入第二个方程得，故m=10.
18.解：
设去年5月份汽油的价格为x元/升，则今年5月份的价格为1.6x元/升，依题意可列方程为，解得x=3，经检验x=3是原方程的解也符合题意，所以1.6x=4.8，故今年5月份汽油的价格是4.8元/升.
19.解：
⑴设甲工程队单独完成该项目需要天，乙单独完成该项目需要天，依题意可列方程组为
解得，经检验是原方程组的解，也符合题意.
⑵设甲、乙两工程队分别施工a天、b天，由于总施工费用不超过22万元，可得，解得，b取最小值为40.
故⑴甲、乙两工程队单独完成此项目分别需40天、60天.⑵乙工程度至少要施工40天.
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