锐角三角函数中考复习.docx
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锐角三角函数中考复习
锐角三角函数与解直角三角形
1．锐角三角函数的概念
考试内容
考试
要求
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，BC＝a，AC＝b.
c
正弦
余弦
正切
sinA＝
＝
cosA＝
＝
tanA＝
＝
它们统称为∠A的锐角三角函数
2.特殊角三角函数值
考试内容
考试
要求
三角函数
30°
45°
60°
a
sinα
cosα
tanα
1
函数的增减性：
（0°<α<90°）
（1）sinα，tanα的值都随α增大而增大；
（2）cosα的值随α增大而减小．
3.解直角三角形
考试内容
考试
要求
解直角三角形的定义
在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形．
c
解直角三角形的常用关系
在Rt△ABC中，∠C＝90°，则：
（1）三边关系：
a2＋b2＝c2；
（2）两锐角关系：
∠A＋∠B＝90°；
（3）边与角关系：
sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝；
（4）sin2A＋cos2A＝1.
解直角三角形的题目类型
（1）已知斜边和一个锐角；
（2）已知一直角边和一个锐角；
（3）已知斜边和一直角边（如已知c和a）；
（4）已知两条直角边a、b.
拓展
三角形面积公式：
S△＝ah＝absinC.
4.解直角三角形的应用常用知识
考试内容
考试
要求
仰角和俯角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，视线在水平线下方的叫俯角．
a
坡度和坡角
坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i＝h∶l.
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α.i＝tanα，坡度越大，α角越大，坡面越陡．
方向角（或方位角）
指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角．
考试内容
考试
要求
基本
思想
转化思想：
（1）在直角三角形中，求锐角三角函数值的问题，一般转化为求两条边的问题，这样就把新知识（求锐角三角函数值）转化为旧知识（求直角三角形的边长），因此不可避免地用到勾股定理．若原题没有图形，可以画出示意图，直观地观察各边的位置及类型（直角边还是斜边），再运用定义求解．
（2）在解斜三角形时，通常把斜三角形转化为直角三角形，常见的方法是作高，通过作高把斜三角形转化为直角三角形，再利用解直角三角形的有关知识解决问题．注意在画图过程中考虑一定要周到，不可遗漏某一种情况．
c
1．（2017·湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosB的值是（ ）
A.B.C.D.
2．（2017·温州）如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是（ ）
A．5米B．6米C．6.5米D．12米
3．（2016·宁波）如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1m，则旗杆高BC为____________________m（结果保留根号）．
4．（2017·丽水）如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15m，AB＝2.70m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离（精确到0.1m）．（参考数据：
sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
【问题】如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝2.
（1）若∠C＝Rt∠，求sinA；
（2）若∠A＝30°，求AB；
（3）通过
（1）
（2）解答，请你总结解一般三角形的思路，以及解直角三角形的方法．
【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理三角函数的定义，以及解直角三角形的方法．
类型一 锐角三角函数的概念
（2015·丽水）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cosα的值，错误的是（ ）
A.B.C.D.
【解后感悟】本题是锐角三角函数的定义及运用：
在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
1．
（1）（2015·山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则∠ABC的正切值是（ ）
A．2B.C.D.
（2）（2015·扬州）如图，若锐角△ABC内接于⊙O，点D在⊙O外（与点C在AB同侧），则下列三个结论：
①sin∠C＞sin∠D；②cos∠C＞cos∠D；③tan∠C＞tan∠D中，正确的结论为（ ）
A．①②B．②③C．①②③D．①③
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2BC，现给出下列结论：
①sinA＝；②cosB＝；③tanA＝；④tanB＝，其中正确的结论是 （只需填上正确结论的序号）．
类型二 特殊角的三角函数值
式子2cos30°－tan45°－的值是（ ）
A．2－2B．0C．2D．2
【解后感悟】利用特殊角的三角函数值进行数的运算，往往与绝对值、乘方、开方、二次根式相结合．准确地记住一些特殊角的三角函数值是解决此类题目的关键，所以必须熟记．
3．
（1）（2015·滨江）下列运算：
sin30°＝，＝2，π0＝π，2－2＝－4，其中运算结果正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
（2）计算6tan45°－2cos60°的结果是（ ）
A．4B．4C．5D．5
（3）在△ABC中，若|sinA－|＋（cosB－）2＝0，则∠C的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
类型三 解直角三角形的几何应用
（2015·湖北）如图，AD是△ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝.求：
（1）BC的长；
（2）sin∠ADC的值．
【解后感悟】本题运用的是解直角三角形的知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意锐角三角函数的概念的正确应用，注意数形结合和转化思想的应用．
4．
（1）（2015·荆门）如图，在△ABC中，∠BAC＝Rt∠，AB＝AC，点D为边AC的中点，DE⊥BC于点E，连结BD，则tan∠DBC的值为（ ）
A.B.－1C．2－D.
（2）如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1、S2，则（ ）
A．S1＝S2B．S1＝S2C．S1＝S2D．S1＝S2
5．如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，则AB的长为 .
类型四 解直角三角形中一个常见的模型
（2016·绍兴）如图1，某社会实践活动小组实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸边点A处，测得河的北岸边点B在其北偏东45°方向，然后向西走60m到达C点，测得点B在点C的北偏东60°方向，如图2.
（1）求∠CBA的度数；
（2）求出这段河的宽（结果精确到1m，备用数据≈1.41，≈1.73）．
【解后感悟】本题考查的是解直角三角形的应用－－方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键；通过基本图形与实际问题的结合，揭示图形的基本数量关系，利用方程思想求解．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．
如图1是基本图形，若C，D，B在同一直线上，且∠ABC＝Rt∠，∠ACB＝α，∠ADB＝β，CD＝a，AB＝x，则有x＝BD·tanβ，x＝CB·tanα，∴－＝a，∴x＝.
变式为如图2，结论是x＝.
6．（2016·河南）如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？
（参考数据：
sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
类型五 解直角三角形的测量问题
（2016·黄石）如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800米，BC＝200米，坡角∠BAF＝30°，∠CBE＝45°.
（1）求AB段山坡的高度EF；
（2）求山峰的高度CF.（≈1.414，CF结果精确到米）
【解后感悟】本题考查了解直角三角形的应用－－斜坡问题：
解题涉及到的量是坡度与坡角，坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i＝h∶l的形式．把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：
i＝tanα.
7．
（1）（2016·重庆）某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i＝1∶2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：
sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（ ）
A．8.1米B．17.2米C．19.7米D．25.5米
（2）（2017·绍兴）如图，学校的实验楼对面是一幢教学楼，小敏在实验楼的窗口C测得教学楼顶部D的仰角为18°，教学楼底部B的俯角为20°，量得实验楼与教学楼之间的距离AB＝30m.
①求∠BCD的度数；
②求教学楼的高BD.（结果精确到0.1m，参考数据：
tan20°≈0.36，tan18°≈0.32）
类型六 解直角三角形的实际应用
如图，伞不论张开还是收紧，伞柄AP始终平分同一平面内两条伞架所成的角∠BAC，当伞收紧时，结点D与点M重合，且点A、E、D在同一条直线上，已知部分伞架的长度如下：
（单位：
cm）
伞架
DE
DF
AE
AF
AB
AC
长度
36
36
36
36
86
86
（1）求AM的长；
（2）当∠BAC＝104°时，求AD的长（精确到1cm）．
备用数据：
sin52°≈0.788，cos52°≈0.6157，tan52°≈1.2799.
【解后感悟】本题是解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，解直角三角形；注意把实际问题转化为数学问题．
8．（2015·衢州）如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是（ ）
A．144cmB．180cmC．240cmD．360cm
9．（2017·台州）如图是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？
请说明理由．（参考数据：
sin40°≈0.64；cos40°≈0.77；tan40°≈0.84）
10．（2016·台州）保护视力要求人写字时眼睛和笔端的距离应超过30cm，图1是一位同学的坐姿，把他的眼睛B，肘关节C和笔端A的位置关系抽象成图2的△ABC，已知BC＝30cm，AC＝22cm，∠ACB＝53°
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