初一升初二数学第七讲.docx
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初一升初二数学第七讲
一次函数应用1
教学过程
１．提出问题，创设情境
我们前面学习了有关一次函数的一些知识，掌握了其解析式的特点及图象特征，并学会了已知解析式画出其图象的方法以及分析图象特征与解析式之间的联系规律．如果反过来，告诉我们有关一次函数图象的某些特征，能否确定解析式呢？
如何利用一次函数知识解决相关实践问题呢？
这将是我们这节课要解决的主要问题，大家可有兴趣？
Ⅱ．导入新课
有这样一个问题，大家来分析思考，寻求解决的办法．
[活动一]
已知一次函数图象过点（3，5）与（-4，-9），求这个一次函数的解析式．
联系以前所学知识，你能总结归纳出一次函数解析式与一次函数图象之间的转化规律吗？
学生活动：
在教师指导下经过独立思考，研究讨论顺利完成转化过程．概括阐述一次函数解析式与图象转化的一般过程．
活动过程及结论：
分析：
求一次函数解析式，关键是求出k、b值．因为图象经过两个点，所以这两点坐标必适合解析式．由此可列出关于k、b的二元一次方程组，解之可得．
设这个一次函数解析式为y=kx+b．
因为y=k+b的图象过点（3，5）与（-4，-9），所以
解之，得
故这个一次函数解析式为y=2x-1。
结论：
像这样先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法．
尝试练习：
１．已知一次函数y=kx+2，当x=5时y的值为4，求k值．
２．已知直线y=kx+b经过点（9，0）和点（24，20），求k、b值．
解答：
１．当x=5时y值为4．
即4=5k+2，∴k=
２．由题意可知：
解之得，
[师]下面我们来学习一次函数的应用．
[例]小芳以200米／分的速度起跑后，先匀加速跑5分钟，每分提高速度20米／分，又匀速跑10分钟．试写出这段时间里她跑步速度y（米／分）随跑步时间x（分）变化的函数关系式，并画出图象．
分析：
本题y随x变化的规律分成两段：
前5分钟与后10分钟．写y随x变化函数关系式时要分成两部分．画图象时也要分成两段来画，且要注意各自变量的取值范围．
解：
y=
[师]我们把这种函数叫做分段函数．在解决分析函数问题时，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际．
[活动二]
Ａ城有肥料200吨，Ｂ城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往Ｃ、Ｄ两乡．从Ａ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨20元和25元；从Ｂ城往Ｃ、Ｄ两乡运肥料费用分别为每吨15元和24元．现Ｃ乡需要肥料240吨，Ｄ乡需要肥料260吨．怎样调运总运费最少？
学生活动：
在教师指导下，经历思考、讨论、分析，找出影响总运费的变量，并认清它们之间的关系，确定函数关系，最终解决实际问题．
活动过程及结论：
通过分析思考，可以发现：
Ａ──Ｃ，Ａ──Ｄ，Ｂ──Ｃ，Ｂ──Ｄ运肥料共涉及4个变量．它们都是影响总运费的变量．然而它们之间又有一定的必然联系，只要确定其中一个量，其余三个量也就随之确定．这样我们就可以设其中一个变量为x，把其他变量用含x的代数式表示出来：
若设Ａ──Ｃx吨，则：
由于Ａ城有肥料200吨：
Ａ─Ｄ，200─x吨．
由于Ｃ乡需要240吨：
Ｂ─Ｃ，240─x吨．
由于Ｄ乡需要260吨：
Ｂ─Ｄ，260─200+x吨．
那么，各运输费用为：
Ａ──Ｃ20x
Ａ──Ｄ25（200-x）
Ｂ──Ｃ15（240-x）
Ｂ──Ｄ24（60+x）
若总运输费用为y的话，y与x关系为：
y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x）．
化简得：
y=40x+10040（0≤x≤200）．
由解析式或图象都可看出，当x=0时，y值最小，为10040．
因此，从Ａ城运往Ｃ乡0吨，运往Ｄ乡200吨；从Ｂ城运往Ｃ乡240吨，运往Ｄ乡60吨．此时总运费最少，为10040元．
[师]若Ａ城有肥料300吨，Ｂ城200吨，其他条件不变，又该怎样调运呢？
[生]解题方法与思路不变，只是过程有所不同：
Ａ──Ｃx吨Ａ──Ｄ300-x吨
Ｂ──Ｃ240-x吨Ｂ──Ｄx-40吨
反映总运费y与x的函数关系式为：
y=20x+25（300-x）+15（240-x）+24（x-40）．
化简：
y=4x+10140（40≤x≤300）．
由解析式可知：
当x=40时y值最小为：
y=4×40+10140=10300
因此从Ａ城运往Ｃ乡40吨，运往Ｄ乡260吨；从Ｂ城运往Ｃ乡200吨，运往Ｄ乡0吨．此时总运费最小值为10300吨．
[师]你是如何确定自变量x的取值范围是40≤x≤300的呢？
[生]由于Ｂ城运往Ｄ乡代数式为x-40吨，实际运费中不可能是负数，而且Ａ城中只有300吨肥料，也不可能超过300吨，所以x取值应在40吨到300吨之间．
Ⅲ．随堂练习
从Ａ、Ｂ两水库向甲、乙两地调水，其中甲地需水15万吨，乙地需水13万吨，Ａ、Ｂ两水库各可调出水14万吨．从Ａ地到甲地50千米，到乙地30千米；从Ｂ地到甲地60千米，到乙地45千米．设计一个调运方案使水的调运量（万吨·千米）最少．
Ⅳ．课时小结
本节课我们学习待定系数法根据图象确定函数解析式，总结出了函数解析式与图象转化的规律，并掌握了分段函数在实际问题中的应用，特别是学习了解决多个变量的函数问题，为我们以后解决实际问题开辟了一条坦途，使我们进一步认识到学习函数的重要性和必要性．
Ⅴ．课后作业
习题14．2─7、9、11、12题．
课后反思：
一次函数应用2
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
在前面我们学习了有关一次函数的一些知识，认识了变量间的变化情况，并系统学习了一次函数的有关概念及应用，且用函数观点重新认识了方程及不等式，利用函数观点把方程（组）、不等式有机地统一起来，使我们解决实际相关问题时更方便了．
下面我们将通过两个活动对所学有关知识作一回顾．
Ⅱ．导入新课
[活动一]
活动内容设计：
中国人口统计表：
年份
人口数／亿
年份
人口数／亿
1964
7．04
1984
10．34
1969
8．06
1989
11．06
1974
9．08
1994
11．76
1979
9．79
1999
12．52
１．根据上表的数据在直角坐标系中画出人口增长曲线图．
２．选择一个近似于人口增长曲线的一次函数，写出它的解析式．
３．按照这样的增长趋势，试估计2004年我国的人口数．
学生活动：
经过建立坐标系、描点、连线，熟悉函数作图的一般过程，并在教师指导下确立近似一次函数解析式，推测人口增长趋势及结果，提高预估能力．
活动过程及结论：
１．作图：
２．如图我们近似取1989年人口数与1999年人口数确定一次函数，从图象上看较准确表示以后几年的人口发展趋势．
1989～1999年人口数增长了12.52－11.06=1.46亿．
平均每年增长了1．46÷10=0.146亿．
那么从1989年开始每过一年人口数增加0.146亿，所以人口总数y与年份x之间有函数关系：
y=（x-1989）×0.146+11.06
化简为：
y=0．146x-279.334（x>1989）．
３．按照这样的增长趋势，到2004年我国人口数
y=0．146×2004-279．334=13．25亿．
估计2004年我国人口数将达到13．25亿．
[师]用数学方法解决实际问题时，为了利用数学模型，常对问题作技术处理．就如上个活动一样，要想用一次函数问题解决这个问题，必须近似认为它的图象是一条直线．而选择哪条直线代表这个函数更合适是解决这个问题的关键，这要具体问题具体对待．活动中之所以取1989与1999这两个点来确定一条直线，是因为这条直线能比较准确地表示近几年以至后几年的人口变化趋势．而问题中就让我们估测2004年人口数，所以选这条直线更好些．
在以后解决实际问题时，希望大家注意具体问题具体对待，灵活运用．
[活动二]
活动内容设计：
下表是“全球通”移动电话的几种不同收费方案：
方案
代号
月租
费／元
免费
时间／元
超过免费时间
的通话费元／元
0
50
0
0．40
1
30
48
0．60
2
98
170
0．60
3
168
330
0．50
4
268
600
0．45
5
388
1000
0．40
（1）分别写出方案0、3、5中月话费（月租费与通话费的总和）y（元）与通话时间x（分）的函数关系式；
（2）如果月通话时间为300分钟左右，选择哪个方案最省钱？
（3）通过图象比较方案0、1、2和3，由此你对选择方案有什么建议？
学生活动：
独立思考、合作讨论、分析探究、寻求结果，在教师指导下顺利完成活动．
活动过程及结论：
１．据题意可知：
月话费y（元）与通话时间x（分）的函数关系分别是：
0方案：
y=0.40x+50．
3方案：
y=168（0y=（x-330）×0.50+168（x>330）．
5方案：
y=388（0y=（x-1000）×0.40+388（x>1000）．
２．如果月通话时间为300分钟的话，0方案话费为：
170元，1方案话费为：
181.2元，2方案话费为：
176元，3方案话费为：
168元……故选择3方案最省钱．
３．根据题意画出0、1、2、3方案图象如下：
由图象可以清楚看出：
如果每月通话时间不超过161分钟的话，应选择1号方案省钱．
如果每月通话时间超过161分钟而小于287分钟的话，应选择2号方案省钱．
如果每月通话时间超过287分钟而小于470分钟的话，应选择3号方案省钱．
如果每月通话时间大于470分钟的话，应选择0号方案省钱．
原因是：
当0当161当287当x>470时，0号图象在最下方．
故有以上建议．
同学们经过以上两个活动后，有什么启发或感想，讨论后，发表一下看法，好吗？
（通过以上活动，我们更加意识到函数知识的重要性，函数图象的形象直观性在解决实际问题，特别是决策性问题中更显出其优越性，使我们进一步理解了数形结合思想在数学中的应用广泛性、重要性．它通过函数的观点把方程（组）不等式有机地统一起来，为我们解决问题提供了很大的便利）．
（函数的观点在解决实际问题中有很大的优越性．不可否认，它也有缺陷．它的图象直观、形象地让我们很容易看出变量的变化趋势及规律，但在确定界点值上常要利用方程的知识来求解．所以在应用过程中应该灵活、有机地应用各种数学模型来解决问题．）
很好！
看来我们今天的收获的确不小啊！
Ⅲ．课时小结
本节课通过两个活动巩固了一次函数的知识，熟悉了用不同数学模型解决实际问题的方法，感受到数形结合的重要性，更加激发了我们学习数学的积极性．希望大家在以后的学习中更加努力．
Ⅳ．课后作业
复习题14─1、2、3、4、5、6、8题．
课后反思：
一次函数的应用习题
例1、已知两条直线y1＝2x-3和y2＝5-x．
（1）在同一坐标系内做出它们的图像；
（2）求出它们的交点A坐标；
（3）求出这两条直线与x轴围成的三角形ABC的面积；
（4）k为何值时，直线2k＋1＝5x＋4y与k＝2x＋3y的交点在每四象限．
分析
（1）这两个都是一次函数，所以它们的图像是直线，通过列表，取两点，即可画出这两条直线．
（2）两条直线的交点坐标是两个解析式组成的方程组的解．
（3）求出这两条直线与x轴的交点坐标B、C，结合图形易求出三角形ABC的面积．
（4）先求出交点坐标，根据第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负，可求出k的取值范围．
解
（1）
（2）
解得
所以两条直线的交点坐标A为
．
（3）当y1＝0时，x＝
所以直线y1＝2x-3与x轴的交点坐标为B（
，0），当y2＝0时，x＝5，所以直线y2＝5-x与x轴的交点坐标为C（5,0）．过点A作AE⊥x轴于点E，则
．
（4）两个解析式组成的方程组为
解这个关于x、y的方程组，得
由于交点在第四象限，所以x＞0,y＜0．
即
解得
．
例2旅客乘车按规定可以免费携带一定重量的行李．如果所带行李超过了规定的重量，就要按超重的千克收取超重行李费．已知旅客所付行李费y（元）可以看成他们携带的行李质量x（千克）的一次函数为
．画出这个函数的图像，并求旅客最多可以免费携带多少千克的行李？
分析求旅客最多可以免费携带多少千克的行李数，即行李费为0元时的行李数．为此只需求一次函数与x轴的交点横坐标的值．即当y＝0时，x＝30．由此可知这个函数的自变量的取值范围是x≥30．
解函数
（x≥30）图像为：
当y＝0时，x＝30.
所以旅客最多可以免费携带30千克的行李.
例3今年入夏以来，全国大部分地区发生严重干旱．某市自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准，若某户居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数，当0≤x≤5时，y＝0.72x,当x＞5时，y＝0.9x-0.9．
（1）画出函数的图像；
（2）观察图像，利用函数解析式，回答自来水公司采取的收费标准.
分析画函数图像时，应就自变量0≤x≤5和x＞5分别画出图像，当0≤x≤5时，是正比例函数，当x＞5是一次函数，所以这个函数的图像是一条折线.
解
（1）函数的图像是：
（2）自来水公司的收费标准是：
当用水量在5吨以内时，每吨0.72元；当用水量在5吨以上时，每吨0.90元.
课后检测
一．选择：
1．骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化，在这一问题中，自变量是（）
A.沙漠B.体温C.时间D.骆驼
2．下面两个变量是成正比例变化的是（）
A．正方形的面积和它的边长．B．变量x增加,变量y也随之增加;
C．矩形的一组对边的边长固定,它的周长和另一组对边的边长．
D．圆的周长与它的半径．
3．下面哪个点不在函数y=－2x+3的图象上（）
A．（-5，13）B．（0.5，2）C．（3，0）D．（1，1）
4．在函数
中，自变量
的取值范围是（）
A．x≥2B．x>2 C．x≤2D．x<2
5．已知点（-4，y1），（2，y2）都在直线y=-
x+2上，则y1y2大小关系是（）
A．y1>y2B．y1=y2C．y16．下列各图给出了变量x与y之间的函数是（）
7．直线y=kx＋b经过一、二、四象限,则k、b应满足（）
A．k>0,b<0B．k>0,b>0C．k<0,b<0;D．k<0,b>0
8．关于函数
，下列结论正确的是（）
A．图象必经过点（﹣2，1）B．图象经过第一、二、三象限
C．当
时，
D．
随
的增大而增大
9．已知一次函数y=ax+4与y=bx-2的图象在x轴上相交于同一点,则
的值是（）
A．4B．-2C．
D．-
10．已知一次函数y=kx+b,y随着x的增大而减小,且kb<0,则在直角坐标系内它的大致图象是（）
ABCD
11．小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车。
车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了骑车速度匀速行驶。
下面是行驶路程s（米）关于时间t（分）的函数图像，那么符合这个同学行驶情况的图像大致是 （ ）
ABCD
A．B．C．D．
12．已知函数y=-x+m与y=mx-4的图象的交点在x轴的负半轴上那么m的值为（）
A．±2B．±4C．2D．-2
二．填空题:
13．若一次函数
是正比例函数，则
的值为。
14．一次函数y=-3x+6的图象与x轴的交点坐标是，与y轴的交点坐标是。
15．设地面（海拔为0km）气温是200C，如果每升高1km，气温下降60C，则某地的气温t（0C）与高度h（km）的函数关系式是。
16．根据右图所示的程序计算变量y的值，若输入
自变量x的值为
，则输出的结果是_______。
17．小明根据某个一次函数关系式填写
了右表:
其中有一格不慎被墨汁遮住了,
想想看，该空格里原来填的数是__________。
18．若函数y=-x-4与x轴交于点A，直线上有一点M，若△AOM的面积为8，则点M的坐标为。
三．解答:
19.在同一坐标系内画出一次函数y1=-x+1与y2=2x-2的图象，并根据图象回答下列问题：
（1）写出直线y1=-x+1与y2=2x-2的交点坐标
（2）直接写出，当x取何值时y1＜y2
20.已知直线
平行于直线y=-3x+4，且与直线y=2x-6的交点在x轴上，求此一次函数的解析式。
21.已知函数y=（2m+1）x+m-3，
（1）若这个函数的图象经过原点,求m的值
（2）若这个函数的图象不经过第二象限,求m的取值范围.
1、链接生活：
某服装厂现有甲种布料42米，乙种布料30米，计划用这两种布料生产M，L两种型号的校服共40件．已知做一件M型号的服装需要甲种布料0.8米，乙种布料1.1米，可获利45元；做一件L型号的服装需要甲种布料1.2米，乙种布料0.5米，可获利30元．设生产M型号服装x件，用这批布料生产两种型号的服装所获的利润为Y元，
（1）写出y（元）与x（件）之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）该厂生产这批校服时，当M型号校服为多少件时，能使该厂所获的利润最大？
最大利润是多少？
2、汽车由天津驶往相距120千米的北京，它的平均速度是30千米/时，则汽车距北京的路程s（千米）与行驶的时间t（小时）的函数关系用图像应为下图中的（）
3、某学校需要刻录一批电脑光盘，若电脑公司刻录，每张需要8元（含空白光盘费）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本费4元（含空白光盘费）．问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用少，还是自刻费用少？
你能帮助设计出一种使刻录费用最少的刻录方案吗？
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