高考理科数学立体几何汇编.docx
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高考理科数学立体几何汇编
高考理科数学立体几何汇编
篇一：
20XX-20XX高考数学新课标全国卷汇编-立体几何
20XX-20XX年高考（理科）新课标全国卷立体几何
20XX年
7、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（A）6（B）9（C）12（D）18
11、已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为
（A
）
（B
）（C
）（D
）
6632
1
AA1，D是棱AA1的中点，2
C1
19.如图，直三棱柱ABC?
A1B1C1中，AC?
BC
DC1?
BD。
B1
（1）证明：
DC1?
BC；
（2）求二面角1A1?
BD?
C的大小。
20XX年
6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器
A1
D
CA
B
高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为
866π3500π3
cmcm
（B）33
1372π2048π3
cm3（D）cm（C
）33
（A）
8.
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A）16?
8π（B）8?
8π（C）16?
16π（D）8?
16π
18.如图，三棱柱ABC?
A1B1C1中，CA?
CB，AB?
AA.1，?
BAA1=60°（Ⅰ）证明AB⊥A1C;
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB?
CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值。
A
B
C
C1
B1
A1
20XX12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为
A.B.
19.如图三棱锥ABC?
A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB?
B1C.（I）证明：
AC?
AB1；
（Ⅱ）若AC?
AB1，?
CBB1?
60o，AB=Bc，求二面角A?
A1B1?
C1的余弦值.
20XX年
11.圆柱被一个平面截去一部分后与半球组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。
若该几何体的表面积为16+20?
，则r
=
（A）1
（B）2
（C）4
（D）8
18.如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。
（1）证明：
平面AEC⊥平面AFC
（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值
20XX.
7【解析】选B
该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3
此几何体的体积为V
11【解析】选A
11
?
?
6?
3?
3?
932
?
ABC的外接圆的半径r
O到面ABC
的距离d?
SC为球O的直径?
点S到面ABC
的距离为2d
此棱锥的体积为V
11S?
ABC?
2d?
?
33436
另：
V
1排除B,C,DS?
ABC?
2R
319【解析】
（1）在Rt?
DAC中，AD?
AC得：
?
ADC?
45
?
同理：
?
A1DC1?
45?
?
CDC1?
90
得：
DC1?
DC,DC1?
BD?
DC1?
面BCD?
DC1?
BC
（2）DC1?
BC,CC1?
BC?
BC?
面ACC1A1?
BC?
AC
取A1B1的中点O，过点O作OH?
BD于点H，连接C1O,C1HA?
C1O?
1C1?
B1C1OH?
BD?
1CH
面ABA1B1C1?
面A1BD?
C1O?
面A1BD1
H与点D重合得：
点BD
且?
C1DO是二面角A1?
BD?
C1的平面角设AC?
a，则C1O?
C1D?
?
2C1O?
?
C1DO?
302
既二面角A1?
BD?
C1的大小为30
20XX年
6．【解析】设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离
篇二：
20XX高考数学试题分类汇编-立体几何
专题十四空间向量、空间几何体、立体几何
1.（15北京理科）设?
，?
是两个不同的平面，m是直线且m?
?
．“m∥?
”是“?
∥?
”的
A．充分而不必要条件C．充分必要条件【答案】B【解析】
B．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件
?
是两个不同的平面，试题分析：
因为?
，若“m∥?
”，则平面?
、?
m是直线且m?
?
．
可能相交也可能平行，不能推出?
//?
，反过来若?
//?
，m“m∥?
”是“?
∥?
”的必要而不充分条件.
考点：
1.空间直线与平面的位置关系；2.充要条件.
2.（15北京理科）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是
侧视图
?
?
，则有m∥?
，则
俯视图
A
．2B
．4C
．2D．5【答案】C【解析】
试题分析：
根据三视图恢复成三棱锥P-ABC，其中PC?
平面ABC，取AB棱的中点D。
D连接CD、PD，有P
AD=BD=1,PC=1,
?
ABCD,AB
底面ABC为等腰三角形底边AB上的高CD为2。
PD
S?
ABC
11
?
2?
2
2,,S?
PAB?
?
2?
?
22
AC?
BC
?
S?
PAC?
S?
PBC
1?
?
1?
三棱锥表面积S表?
?
2.22
考点：
1.三视图；2.三棱锥的表面积.
3.（15北京理科）如图，在四棱锥A?
EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF?
平面EFCB，EF∥BC，BC?
4，EF?
2a，?
EBC?
?
FCB?
60?
，O为EF的中点．求证：
AO?
BE；
求二面角F?
AE?
B的余弦值；若BE?
平面AOC，求a的值．
A
F
C
E
B
【答案】证明见解析，（2
）?
【解析】
4，（3）a
3
试题分析：
证明线线垂直可寻求线面垂直，利用题目提供的面面垂直平面AEF?
平面EFCB，借助性质定理证明AO?
平面EFCB，进而得出线线垂直，第二步建立空间直
角坐标系，写出相关点的坐标，平面AEF的法向量易得，只需求平面AEB的法向量，设平面AEB的法向量，利用线线垂直，数量积为零，列方程求出法向量，再根据二面角公式求出法向量的余弦值；第三步由于AO?
BE，要想BE?
平面AOC，只需
BE?
OC，利用向量BE、OC的坐标，借助数量积为零，求出a的值，根据实际问题
予以取舍.
试题解析：
由于平面AEF?
平面EFCB，△AEF为等边三角形，O为EF的中点，则AO?
EF，根据面面垂直性质定理，所以AO?
平面EFCB，又BE?
平面EFCB，则AO?
BE.
取CB的中点D，连接OD,以O为原点，分别以OE、OD、OA为x、y、z轴建立空
间直角坐标系，A
），E,B
,0）,AE?
。
EB?
，由于平面AEF与y轴垂直，则设平面AEF的法向量
为n1?
，设平面AEB的法向量n2
n2?
AE,ax?
0,x
n2?
EB,x?
?
）y?
0,y?
?
1，则n2
?
1,1），二面角F?
AE
B的余弦值cos?
n1,n2?
n1?
n2n1?
n2
1?
5
由二面角F?
AE?
B为钝二面角，所以二面角F?
AE?
B的余弦值为
.（Ⅲ）有
（1）知AO?
平面EFCB。
则AO?
BE
若BE?
平面AOC，只需BE?
OC。
EB?
又OC?
。
2
BE?
OC?
?
2?
?
）?
0，解得
a?
2或a
44
由于a?
2，则a?
.33
考点：
1.线线垂直的证明；2.利用法向量求二面角；3.利用数量积解决垂直问题.
4.（15北京文科）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1B
C
．2
【答案】C【解析】
试题分析：
四棱锥的直观图如图所示：
由三视图可知，SC?
平面ABCD，SA
是四棱锥最长的棱。
SA?
?
?
.
考点：
三视图.
5.（15北京文科）如图，在三棱锥V?
?
?
C中，平面V?
?
?
平面?
?
C，?
V?
?
为等边三角形，?
C?
?
C且?
C?
?
C?
（Ⅰ）求证：
V?
//平面?
?
C；（Ⅱ）求证：
平面?
?
C?
平面V?
?
；（Ⅲ）求三棱锥V?
?
?
C的体积．
?
，?
分别为?
?
，V?
的中点．
【答案】
（1）证明详见解析；
（2）证明详见解析；（3
【解析】
试题分析：
本题主要考查线线平行、线面平行、面面平行、线线垂直、线面垂直、面面垂直、三棱锥的体积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、空间想象能力、逻辑推理能力、转化能力、计算能力.第一问，在三角形ABV中，利用中位线的性质得OM//VB，最后直接利用线面平行的判定得到结论；第二问，先在三角形ABC中得到OC?
AB，再利用面面垂直的性质得OC?
平面VAB，最后利用面面垂直的判定得出结论；第三问，将三棱锥进行等体积转化，利用VC?
VAB?
VV?
ABC，先求出三角形VAB的面积，由于OC?
平面VAB，所以OC为锥体的高，利用锥体的体积公式计算出体积即可.试题解析：
（Ⅰ）因为O,M分别为AB，VA的中点，所以OM//VB.
又因为VB?
平面MOC，所以VB//平面MOC.
（Ⅱ）因为AC?
BC，O为AB的中点，所以OC?
AB.
又因为平面VAB?
平面ABC，且OC?
平面ABC，所以OC?
平面VAB.所以平面MOC?
平面VAB.
（Ⅲ）在等腰直角三角形ACB
中，AC?
BC?
所以AB?
2,OC?
1.
所以等边三角形VAB
的面积S?
VAB?
.。
篇三：
20XX年全国高考理科数学《立体几何》汇编
20XX年全国高考理科数学《立体几何》汇编
1.（天津）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB//DC。
AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点.
（Ⅰ）证明BE⊥DC；
（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角
F-AB-P的余弦值.
（Ⅰ）证明：
如图，取PD中点M，连接EM，AM.由于E,M分别为PC,PD的中点，故EM//DC，且
EM=
1
DC，又由已知，可得EM//AB且EM=AB，2
故四边形ABEM为平行四边形，所以BE//AM.因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥AD，从而CD⊥平面PAD，因为AM＜平面PAD，于是CD⊥AM，又
BE//AM，所以.BE⊥DC
（Ⅱ）解：
依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系（如图），可得B，C。
D，P.由E为棱PC的中点，得E.
向量BD=，PB=.
ì?
n?
BD设n=为平面PBD的法向量，则?
í
?
?
?
n?
PB
ì?
-x+2y=0,
即í?
0,?
?
x-2z=0.
0,
不妨令y=1，可得n=为平面PBD的一个法向量.于是有
cosn,BE=
n×BEnBE
=
=
3
.3
所以，直线BE与平面PBD所成角的正弦值为
（Ⅲ）解：
向量BC=，CP=，AC=，AB=
.由点F在棱PC上，设CF=lCP，0＃l
1.
故BF=BC+CF=BC+lCP=.由BF^AC，得BF?
AC
0。
骣113÷?
-,,÷.?
?
桫222÷
3
因此，2+2=0，解得l=.即BF=
4
ì?
?
n1?
AB设n1=为平面FAB的法向量，则í?
?
?
n1?
BF
0,
ìx=0,?
即í113?
0,?
-x+y+z=0.?
22?
2
不妨令z=1，可得n1=为平面FAB的一个法向量.取平面ABP的法向量n2=，则
cosn1,n2=
n1×n
2n1n1
=
=-
.10
.10
易知，二面角F-AB-P是锐角，所以其余弦值为
2.（北京）如图，正方形AMDE的边长为2，B,C分别为AM,MD的中点，在五棱锥
P?
ABCDE
中，F为棱PE的中点，平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.
（1）求证：
AB
//FG；
（2）若PA?
底面ABCDE，且AF?
PE，求直线BC与平面ABF所成角的大小，并求线段PH的长.
⑴证明：
AM∥ED，AM?
面PED，ED?
面PED.
?
AM∥面PED.
AM?
面ABF，即AB?
面ABF面ABF面PDE?
FG?
AB∥FG.
⑵如图建立空间直角坐标系A?
xyz，各点坐标如下
A?
0,0,0?
E?
0,2,0?
B?
1,0,0?
C?
2,1,0?
F?
0,1,1?
P?
0,0,2
设面ABF的法向量为n?
?
x0,y0,z0?
，AB?
?
1,0,0?
，AF?
?
0,1,1
D
?
?
x?
0?
n?
AB?
0
即，令y?
1，?
n?
?
0,1,?
1?
y?
z?
0?
?
?
n?
AF?
0
又
BC?
?
1,1,0?
。
?
sinBC,n
1
2
直线BC与平面ABF所成的角为
π.6
设H?
x1,y1,z1?
，由PH?
tPC，则?
x1,y1,z1?
2?
?
t?
2,1,?
2?
x1?
2t
?
?
y1?
t?
H?
2t,t,2?
2t?
z?
2?
2t?
1
又
H?
面ABF，BH?
?
2t?
1,t,2?
2t
?
n?
BH?
0
?
t?
2t?
2?
0，?
t
2?
422?
?
424?
，?
H?
,?
，?
PH?
?
,?
?
3?
333?
?
333
?
PH?
?
2
3、（广东）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝300，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.
（1）证明：
CF⊥平面ADF；
（2）求二面角D－AF－E的余弦值.
解:
证明:
PD?
平面ABCD,PD?
PCD,
?
平面PCD?
平面ABCD,平面PCD平面ABCD?
CD,
AD?
平面ABCD,AD?
CD,?
AD?
平面PCD,CF?
平面PCD,?
CF?
AD,又AF?
PC,?
CF?
AF,AD,AF?
平面ADF,ADAF?
A,?
CF?
平面ADF.
解法一:
过E作EG//CF交DF于G,CF?
平面ADF,?
EG?
平面ADF,过G作GH?
AF于H,连
EH,
则?
EHG为二面角D?
AF?
E的平面角,设
CD?
2,?
DPC?
300,1
?
?
CDF?
300,从而CF=CD=1,
2
1
DE
CF3
CP?
4,EF∥DC,?
?
,?
DE
?
还易求得EF=,DF?
DPCP223
DE?
EF33
从而EG?
?
?
.易得
AE?
AF?
EF?
DF4223
AE?
EF故HG
?
EH?
AF
?
cos?
EHG
GH?
EH解法二:
分别以DP,DC,
DA为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设DC?
2,
1
则A,C,设CF?
?
CP,则F
,2?
2?
0）,DF?
CF,
可得?
?
4
31
从而F,0）,易得E取面ADF的一个法向量为n1?
CP?
?
1,0）,
2222
设面AEF的一个法向量为n2?
利用n2?
AE?
0,且n2?
AF?
0,得n2可以是从而所求二面角的余弦值为
n1?
n2?
?
|n1|?
|n
2|4.如图，四棱锥P?
ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD?
平面ABCD.
（1）求证：
AB?
PD;
（2）若?
BPC?
90?
PB?
2,PC?
2,问AB为何值时，四棱锥P?
ABCD的体积最大？
并求此时平
面PBC与平面DPC夹角的余弦值.
解：
（1）Q面PAD?
面ABCD,面PAD?
面
ABCD=AD,AB?
AD
?
AB?
面ABCD……………………………………2分又QPD?
面ABCD……………………………………3分?
AB?
PD……………………………………4分过P作PO?
AD,由
（1）有PO?
面ABCD,
作OM?
BC,连接PM，作PM?
BC……………………………………5分设
AB=x.
11VP?
ABCD?
?
OP?
SABCD?
?
OP?
AB?
BC?
x?
…7分
33?
当x2?
2即x?
时，Vmax?
……………………………………9分339
如图建立空间直角坐标系
?
?
P?
M?
,?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
C?
?
?
D?
?
?
?
?
?
?
uuur
?
uuur
?
PC?
,?
PM?
?
?
?
?
?
?
?
?
uuur
?
?
MC?
?
?
?
3,0,0?
?
uuur
?
r?
uuu?
PD?
?
?
?
DC?
0,?
……………………………………10分?
?
3?
?
3?
?
?
3
urr
设面PMC、面PDC的法向量分别为m?
?
x1,y1,z1?
，n?
?
x2,y2,z2
yz1?
0uruuur1
?
mgPM?
0?
?
ruuur?
?
?
u
x1y1z1?
0?
?
mgPC?
0?
ruuur?
?
u
mg
MC?
0?
?
x1?
0?
?
?
ur
设y1?
1，则z1?
1，?
m?
?
0,1,1
ur
同理可得m?
?
1,1,1?
……………………………………11分
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