题型五特殊四边形的动态探究题.docx
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题型五特殊四边形的动态探究题
题型五特殊四边形的动态探究题
试题演练
1.如图,AD是⊙O的直径,AD=2BD,点C是
上的不与A、D重合的动点,连接BC,BA,AC.
(1)求∠ACB的度数;
(2)填空:
已知⊙O半径为4.
①当l
=________时,四边形OBDC是菱形;
②当l
=________时,四边形ABDC是矩形.
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以点A为圆心,AC为半径作⊙A,交AB于点D,交CA的延长线于点E,过点E作EF∥AB交⊙A于点F,连接AF,BF,DF.
(1)求证:
△ABC≌△ABF;
(2)填空:
①当∠CAB等于______时,四边形ACBF为正方形;
②当∠CAB等于________时,四边形ADFE为菱形.
3.(’15郑州模拟)如图,扇形OAB的半径OA=3,圆心角∠AOB=90°,点C是
上异于A、B的动点,过点C作CD⊥OA于点D,作CE⊥OB于点E,连接DE,点G、H在线段DE上,且DG=GH=HE.
(1)当点C在
上运动时,在CD、CG、DG中,长度不变的线段是________,该线段的长度是________;
(2)求证:
四边形OGCH是平行四边形;
(3)当OD=________时,四边形OGCH是菱形.
4.如图,CD是△ABC的中线,点E是AF的中点,CF∥AB.
(1)求证:
CF=AD;
(2)若已知AB=10,AC=6,填空:
①当BC长为________时,四边形BFCD是矩形;
②当BC长为________时,四边形BFCD是菱形.
5.如图,在矩形ABCD中,AB=13cm,AD=4cm,点E、F同时分别从D、B两点出发,以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动,点G、H分别为AE、CF的中点,设运动时间为t(s).
(1)求证:
四边形EGFH是平行四边形.
(2)填空:
①当t为________s时,四边形EGFH是菱形;
②当t为________s时,四边形EGFH是矩形.
6.如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm.点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动,同时点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动,P,Q运动速度均为2cm/s.以AQ、PQ为边作平行四边形AQPD,连接DQ,交AB于点E.设运动的时间为t
(单位:
s)(0≤t≤4)解答下列问题:
(1)在点P,Q运动过程中,平行四边形AQPD的面积是否具有最大值,若有,请求出它的最大值;否则,请说明理由.
(2)填空:
①当t的值为________s时,平行四边形AQPD为矩形;
②当t的值为________s时,平行四边形AQPD为菱形.
7.(’15平顶山模拟)如图,在平行四边形ABCD中,AE是BC边上的高,将△ABE沿BC方向平移,使点E与点C重合,得△GFC.
(1)求证:
BE=DG;
(2)填空:
①若∠B=60°,当BC=________AB时,四边形ABFG是菱形;
②若∠B=60°,当BC=________AB时,四边形AECG是正方形.
8.如图,在平行四边形ABCD中,对角线BD=8cm,AC=4cm,点E从点B出发沿BD方向以1cm/s的速度向点D运动,同时点F从点D出发沿DB方向以同样的速度向点B运动,设点E、F运动的时间为t(s),其中0<t<8.
(1)求证:
△BEC≌△DFA;
(2)填空:
①以点A、C、E、F为顶点的四边形一定是________形;
②当t的值为________时,以点A、C、E、F为顶点的四边形为矩形.
【答案】
1.解:
(1)∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=90°,
∵AD=2BD,
∴在Rt△ABD中,cos∠D=
=
=
,
∴∠D=60°,
∴∠ACB=∠D=60°;
(2)①
;②
.
【解法提示】①当BC⊥OD时,∵OB=OD=BD,∴OE=DE,∵OD是半径,BC是弦,∴BE=CE,∴四边形OBDC是菱形,则OD=CD=OC,∴∠COD=60°,∴l
=
=
;②当BC经过圆心O时,易得四边形ABDC是矩形,△AOC为等边三角形,∴∠COD=180°-60°=120°,∵lCD=
=
.
2.【思路分析】
(1)首先利用平行线的性质得到∠FAB=∠CAB,然后利用SAS证得两三角形全等即可;
(2)①当∠CAB=45°时,四边形ACBF为正方形.∠FAB=∠CAB=45°,进而∠FAC=∠AFB=∠ACB=90°,四边形ACBF为矩形,再由邻边AC=AF得其为正方形;②当∠CAB=60°时,四边形ADFE为菱形.根据∠CAB=60°,得到∠FAB=∠AFE=∠CAB=∠AEF=60°,从而得到EF=AD=AE,利用邻边相等的平行四边形是菱形进行判断.
解:
(1)证明:
∵EF∥AB,
∴∠E=∠CAB,∠EFA=∠FAB,
∵∠E=∠EFA,
∴∠FAB=∠CAB,
又∵AF=AC,AB=AB,
∴△ABC≌△ABF(SAS);
(2)①45° ②60°
【解法提示】①当∠CAB=45°时,由
(1)知,∠FAB=∠CAB=45°,∠FAC=∠AFB=∠ACB=90°,故四边形ACBF为矩形,又∵AC=AF,∴四边形ACBF为正方形.
②当∠CAB=60°时,易得∠FAB=∠AFE=∠CAB=∠AEF=60°,从而得到△AEF和△ADF均为等边三角形,∴EF=AD=AE=DF,∴四边形ADFE为菱形.
3.【思路分析】
(1)由于四边形ODCE是矩形,而矩形的对角线相等,所以DE=OC,而CO是圆O的半径,这样DE的长度不变,也就DG的长度不变;
(2)连接OC,容易根据已知条件证明四边形ODCE是矩形,然后利用其对角线互相平分和DG=GH=HE,可以知道四边形CHOG的对角线互相平分,从而判定其是平行四边形;(3)若四边形OGCH是菱形,必有OC与GH垂直,即可推得DE、OC垂直、平分且相等,故得到四边形CDOE是正方形,在Rt△OCD中,利用OC=OA=3,OD=CD运用勾股定理即可求出OD的长.
解:
(1)DG,1.
【解法提示】在矩形ODCE中,DE=OC=3,∵DG=GH=HE,∴DG=
DE=1.
(2)连接OC交DE于M.由矩形得OM=CM,EM=DM.
∵DG=HE,∴EM-EH=DM-DG,∴HM=MG.∴四边形OGCH是平行四边形.
(3)
.
【解法提示】∵四边形OGCH是菱形,∴OC⊥GH,∴OC⊥DE,又∵OC=DE,CM=OM=EM=DM,∴四边形CDOE是正方形.∴CD=OD,∠CDO=90°,∵OA=OC=3,∴OD2+CD2=9,2OD2=9,OD=
.
4.【思路分析】
(1)易得DE是△ABF的中位线,进而DE//BF,结合CF∥AB,证得四边形BFCD是平行四边形,从而得到CF=BD=AD;
(2)①当CD⊥AB,即CD是AB的中垂线时,平行四边形BFCD有一个角为直角是矩形,此时AC=BC=6;②当∠ACB=90°,CD是直角三角形斜边上的中线,可得CD=AD=BD,从而平行四边形BFCD的邻边相等是菱形,此时由勾股定理易得BC的长.
解:
(1)证明:
∵CD是△ABC的中线,点E是AF的中点,
∴AD=BD,AE=FE,
∴DE∥BF,
∵CF∥AB,
∴四边形BFCD是平行四边形,
∴CF=BD,
∴CF=DA.
(2)①6 ②8
【解法提示】①当CD⊥AB,即CD是AB的中垂线时,∠CDB=90°,平行四边形BFCD有一个角为直角是矩形,此时AC=BC=6;②当∠ACB=90°时,CD是直角△ABC斜边上的中线,∴CD=AD=BD,从而平行四边形BFCD的邻边相等是菱形,此时由勾股定理易得BC=8.
5.【思路分析】
(1)易证△ADE≌△CBF,进而易得GE∥HF,且GE=HF,所以四边形EGFH是平行四边形.
(2)①四边形EGFH是菱形,G是AE的中点,则GF=GE=GA=
AE,得到∠AFE=90°,根据DE=AF,列方程求解;②四边形EGFH是矩形,易得△ADE∽△EHC,则根据
=
列方程求解即可.
解:
(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠D=∠B=90°,AD=CB,
∵点E、F同时分别从D、B两点出发,以1cm/s的速度沿DC、BA向终点C、A运动,
∴DE=BF,∴△ADE≌△CBF(SAS),
∴AE=CF,∠DEA=∠EAF=∠CFB,
∵点G、H分别为AE、CF的中点,
∴GE∥HF,且GE=HF,
∴四边形EGFH是平行四边形.
(2)①
;②8或
.
【解法提示】连接EF,
∵四边形EGFH是菱形,G是AE的中点.∴GF=GE=GA=
AE,∴EF⊥AB,
∴DE=AF,∴t=13-t,∴t=
.
②∵四边形EGFH是矩形,∴∠D=∠EHC=∠AEH=90°,
∴∠AED+∠HEC=∠ECH+∠HEC=90°,∴∠AED=∠ECH,∴△ADE∽△EHC,
∴
=
,∴
=
,解得:
t1=8,t2=
.
6.【思路分析】
(1)首先利用勾股定理求得AB=10,然后表示出AP,过P作PH⊥AC于H,利用△APH∽△ABC,利用相似三角形对应边的比相等,表示出AH的长,然后由平行四边形面积公式,得到平行四边形AQPD的面积的二次函数表达式,用配方法求最值;
(2)①利用矩形的性质得到△APQ∽△ABC,利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值;②利用菱形的性质得到△AEQ∽△ACB,利用相似三角形对应边的比相等列出比例式即可求得t值.
解:
(1)∵Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,
∴AB=10cm,
∵BP=2tcm,
∴AP=AB-BP=10-2t,
过P作PH⊥AC于H,则PH∥BC,
∴△APH∽△ABC,
∴
=
,即
=
,
∴PH=
(10-2t).
∵S▱AQPD=AQ·PH=2t·
·(10-2t)
=-
t2+12t=-
(t-
)2+15,
∴当t=
s时,平行四边形AQPD的面积具有最大值,为15.
(2)①
;②
.
【解法提示】①当▱AQPD是矩形时,PQ⊥AC,∴PQ∥BC,∴△APQ∽△ABC,∴
=
,即
=
,解得t=
.∴当t=
时,▱AQPD是矩形;②当▱AQPD是菱形时,DQ⊥AP,则△AEQ∽△ACB,∴
=
,即
=
,解得t=
.∴当t=
时,▱AQPD是菱形.
7.【思路分析】
(1)根据平行四边形和平移的性质得到AB=CD,AE=CG,再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得到BE=DG;
(2)①要使四边形ABFG是菱形,须使AB=BF;根据条件找到满足AB=BF时,BC与AB的数量关系即可;②当四边形AECG是正方形时,AE=EC,由AE=
AB,可得EC=
AB,再有BE=
AB可得BC=
AB.
解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AB=CD.
∵AE是BC边上的高,且CG是由AE沿BC方向平移而成,
∴CG⊥AD,AE=CG,
∴∠AEB=∠CGD=90°.
∵在Rt△ABE与Rt△CDG中,AE=CG,AB=CD,
∴Rt△ABE≌Rt△CDG(HL),
∴BE=DG.
(2)①
;②
.
【解法提示】①当BC=
AB时,四边形ABFG是菱形.
证明:
∵AB∥GF,AG∥BF,∴四边形ABFG是平行四边形.
∵Rt△ABE中,∠B=60°,∴∠BAE=30°,∴BE=
AB,
∵BE=CF,BC=
AB,∴EF=
AB.∴AB=BF.∴四边形ABFG是菱形.
②BC=
AB时,四边形AECG是正方形.
∵AE⊥BC,GC⊥CB,∴AE∥GC,∠AEC=90°,
∵AG∥CE,∴四边形AECG是矩形,当AE=EC时,矩形AECG是正方形,∵∠B=60°,∴EC=AE=AB·sin60°=
AB,BE=
AB,∴BC=
AB.
8.解:
(1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,
∴∠EBC=∠FDA.
在△BEC和△DFA中,
∴△BEC≌△DFA.
(2)①平行四边形;②2或6.
【解法提示】①平行四边形,理由如下:
连接CF,AE,
由
(1)得:
∠BEC=∠DFA,EC=AF,∴∠FEC=∠AFE,即EC∥AF,∴以点A、C、E、F为顶点的四边形一定是平行四边形.
②2或6,理由如下:
∵四边形AECF为矩形,∴AC=EF,
∵BD=8cm,AC=4cm,∴EF=4,BE=2cm或6cm.
∵速度为1cm/s,∴t=2或6.