第六章平面图形.docx

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第六章平面图形

第六章

巧求平面图形的面积

一、知识要点及基本方法

小学生学习几何初步知识，不仅要掌握一些基本的平面图形和立体图形的性质、特征，还要会求这些平面图形的周长、面积及这些立体图形的表面积、体积，而且还要会综合地、巧妙地运用这些知识来进行计算。

特别是计算一些组合图形的面积时，常常用到割补、剪拼、平移、翻转等办法，使得计算巧妙、简便。

要学会这些方法，应用这些方法。

通过解几何题的训练，更好地培养空间想象力，这对学好小学几何初步知识是极有利的，同时也为将来到中学进一步学习几何知识，打下良好而坚实的基础。

二、例题精讲

例1一个三角形的底是6米，高是3米，求它的面积？

解6×3÷2=9（平方米）

答：

它的面积是9平方米。

例2图5由正方形ABCD和长方形EFDG部分重叠而成。

正方形的边长是247.8厘米；长方形的长是292.404厘米、宽是210厘米，正方形和长方形哪个面积大？

分析与解要比较正方形ABCD和长方形EFDG面积的大小，方法是分别算出它们的面积再进行比较。

从题中给出的数据看，确实给计算带来麻烦。

只要在AF两点间连一条线段（如图6），就会发现，三角形AFD的面积是正方形ABCD面积的一半，同时也是长方形EFDG面积的一半，所以正方形ABCD和长方形EFDG的面积一样大。

这样，也就不用计算这两个图形的面积了。

例3梯形ABCD中（如图7—4），△ABE的面积等于30平方厘米，EC的长是AE长的2倍，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

分析：

因为EC的长是AE长的2倍，取EC的中点为F，连结BF、DF，如图7—5，那么△ABE、△EBF、△FBC是等底、等高，所以它们的面积相等．于是可以求出△ABC的面积．又因为△ABC与△DBC有公共的底边BC，相同的高即梯形的高，所以，它们的面积相等，它们的面积分别减去公共△BEC的面积，结果仍应该相等，也就是说，△ABE的面积等于△DEC的面积，是30平方厘米．又由EC是AE的2倍知，△AED的面积是△DEC的面积的一半．至此，很容易求出梯形的面积．

解：

因为EC=2AE，取EC的中点F，连结BF、DF．

有S△ABC=3S△ABE=3×30=90（平方厘米）

又因为S△ABC=S△DBC

所以S△ABC-S△EBC=S△DBC-S△EBC

即S△ABE=S△DEC=30（平方厘米）

而S△AED=SDEC÷2=30÷2=15（平方厘米）

所以梯形ABCD的面积是90＋15＋30=135（平方厘米）

答：

梯形ABCD的面积为135平方厘米。

　例4有5个正方形（如图9），边长分别是1米、2米、3米、4米、5米。

问图中阴影部分面积是白色部分面积的几倍？

分析与解观察已知图形，显然，先计算出白色面积比较简单。

白色部分面积是：

（22-12）+（42-32）=10（平方米）阴影部分面积是：

52-10=15（平方米）因此，阴影部分面积是白色部分面积的：

15÷10=1。

5（倍）。

　例5有一个直角梯形ABCD，已知AB=8厘米，CD=4厘米，BC=6厘米，三角形ABF的面积比三角形EFD的面积大17.4平方厘米，那么ED长多少厘米？

分析与解连接DB（图12）。

已知三角形ABF比三角形EFD的面积大17.4平方厘米，所以三角形ABD比三角形BED的面积也大17.4平方厘米。

已知AB=8厘米，BC=6厘米，三角形ABD的面积等于8×6÷2=24（平方厘米）。

三角形BDE的面积是：

24-17.4=6.6（平方厘米）。

而三角形BDE的面积等于ED×BC÷2即ED×6÷2=6.6所以ED长是2.2厘米。

答：

ED的长是2.2厘米。

例6图17是一个正方形地板砖示意图，在大正方形ABCD中，AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=DD2，中间小正方形EFGH的面积是16平方厘米，四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，那么大正方形ABCD的面积是多少平方厘米？

分析与解连AC和BD两条大正方形的对角线，它们相交于O，然后将三角形AOB放在DPC处（如图18和图19）。

已知小正方形EFGH的面积是16平方厘米，所以小正方形EFGH的边长是4厘米。

又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，所以两个蓝色三角形的面积是72÷2=36平方厘米，即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长就是6厘米。

由此得出，正方形OCPD的边长是4+6=10厘米，当然正方形OCPD的面积就是102，即100平方厘米。

而正方形OCPD的面积恰好是正方形ABCD的面积的一半，因此正方形ABCD的面积是200平方厘米。

答：

正方形ABCD的面积是200平方厘米。

例7图23中四边形ABCD是一个正方形。

E、F分别为CD和BC边上的中点。

已知正方形ABCD的边长是30厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？

分析与解已知四边形ABCD为正方形，E、F分别为CD边与BC边上的中点，因此，三角形BCE和三角形DCF面积相等。

这两个三角形的面积各自减去四边形GFCE的面积，各自剩下的三角形GBF和三角形GDE面积还是相等的。

连接GC（如图24），三角形GBF面积和三角形GCF的面积是相等的，因为这两个三角形等底同高。

同理，三角形GCE面积和三角形GDE的面积也是相等的。

而三角形GBF的面积和三角形GDE的面积相等，因此，三角形GBF、三角形GCF、三角形GCE及三角形GDE是具有相等面积的四个三角形。

因为正方形ABCD面积等于三角形BCE的面积的4倍，所以图中空白部分的面积，即三角形GBF、三角形GCF、三角形GCE、三角形GDE的面积之和为正方形ABCD面积的1÷4÷3×4从而得出图中阴影部分的面积为正方形ABCD面积的2/3。

那么阴影部分的面积是：

30×30×2÷3=600（平方厘米）　

答：

图中阴影部分的面积是600平方厘米。

例8一根长18厘米的铁线，可以围成各种长方形（要求长方形的长和宽都是整厘米数），面积最大的是多少？

面积最小的是多少？

分析：

根据长方形周长公式，可以知道周长的一半就是长与宽的和，即18÷2=9（厘米）。

按要求，长和宽都要是整厘米数，所以，9可以分解成5和4、6和3、7和2、8和1等4个边长不等的长方形，从而可以求出它们的面积，并进行比较。

解：

（1）面积最大的长方形是：

5×4=20（平方厘米）

（2）面积最小的长方形是：

8×1=8（平方厘米）

答：

面积最大的长方形是20平方厘米，面积最小的长方形是8平方厘米。

练习题

1．一个长方形，若长增加2厘米，面积就增加8平方厘米，若宽减少1厘米，面积就减少7平方厘米。

这个长方形的面积是多少平方厘米？

2．一个先入为主形，若长增加2厘米，面积就增加8平方厘米，若宽减少1厘米，面积就7平方厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？

3．把长方形的长去掉8厘米后，余下的是一个面积是49平方厘米的正方形，原来长方形的面积是多少？

4．一根铁线长140厘米，围成一个长方形，使它的长是宽的2.5倍。

围成的长方形面积是多少平方厘米？

5．一块长方形的菜地，周长为160米，长比宽多20米。

现在菜地的长和宽都增加10米，现在菜地的面积是多少平方米？

6．一块长方形的小麦田，长46米，宽25米，从其中40平方米的地里收得小麦140千克，照这样计算，这块小麦田共可收小麦多少千克？

7．一堵墙长35米，高1。

8米，小强给这堵墙刷石灰，20分钟刷了5平方米。

照这样计算，刷完这堵墙需要多少分钟？

8．一块试验田是个长方形，宽比长少6米，长是宽的3倍，这块地的面积是多少平方米？

9．两块三角形木板的面积相等，第一块底长3.2分米，高1.8分米，第二块底长是第一块底长的1.5倍，第二块高是多少？

10．一个梯形,如果上底增加5厘米,下底和高不变,面积就增加25平方厘米,如果高增加4厘米,上、下底都不变，面积就增加48平方厘米，求原梯形的面积。

11．第一个正方形的边长比第二个正方形的边长长3厘米，第一个正方形的面积比第二个正方形的面积大57平方厘米，求每个正方形的面积。

动物王国

大象一头大象体重达5800千克～7500千克，每天吃掉170千克植物。

　　羚羊非洲羚羊一下能跳出12米。

美洲羚羊一跃可达到8.3米高。

世界最大羚羊（大角斑羚）肩高1.82米，身长2.8～3.3米，体重达1吨。

　　狮子狮子群居，一群约30只，其中有1只雄狮，雄狮一天有20小时在睡觉和休息，4小时外出捕食。

　　河马河马一次能在水下潜10分钟左右。

侏儒河马与普通河马体重比为1∶20。

　　狼獾原名貂熊，身长90～105厘米，体重15～18千克。

　　食蚁兽它吃蚂蚁靠舌头去捕捉，它的舌头长60厘米，1分钟伸缩160次，吃掉的蚂蚁数不清。

　　蝙蝠印度大蝙蝠体长60厘米，翅膀展开宽1.5米。

　　鸭嘴兽最多1天就能吃掉540条蚯蚓、3只虾、200条小虫和2只青蛙。

　　松鼠身体细长，约在18～26厘米之间，尾巴长16～24厘米。

　　土拨鼠生活在北美草原上，居住在距离地面4米的地下，一个居住区大约有1000多只土拨鼠。

　　海豚游泳速度每秒达13米。

　　鲸鱼它用肺呼吸，它的肺有1500千克，能容纳15000千克空气。

能潜水10多分钟，在水面上换气时喷出水柱高10多米。

　　水獭野生水獭善于捕鱼，一年之中大约能吃掉400千克鱼。

　　响尾蛇以每秒40～60次的频率摇动尾巴发出响声，30米以外就能听到。

猎物时，以每秒1.4米的速度捕食。

　　蟒蛇我国最大蟒蛇长7米，重60千克。

它的嘴张开角度达130°。

（人嘴只能张30°）

　　龟海龟寿命300岁，陆龟寿命一般300～400岁，南朝鲜一种海龟寿命700岁。

海龟一次产卵100～200枚。

　　鱼鱼的耳朵每秒钟感受340～690次声波。

最长寿命达200多岁。

（人每秒感受16～20000次声波）

　　中华鲟它每年11月都从海区进入长江产卵，一次产卵200万～300万粒。

　　鲨鱼它消化系统中有一个冷藏食物的袋子。

可冷藏10多天，贮存量达15～20千克。

　　沙丁鱼含64％的蛋白质，2.7％的脂肪，0.3％的糖等，吃了它可以抗癌长寿。

它终生聚群，一支队伍宽达1千米，长达2千米。

　　文昌鱼生长在我国青岛和厦门海边。

每条文昌鱼长50多毫米。

厦门刘五店沿海每年产鱼达35吨左右，居世界之首。

　　鸟一只草鸮一年吃掉400多千克的活食，平均每天吃1.25千克。

一只燕子一天吃200条蝇蛆。

一只金雕一天吃一只狗子或一只羚羊。

针尾雨燕每小时飞行320千米。

隼每小时飞行300千米。

燕子每小时飞行200千米。

野鸭每小时飞行80千米。

乌鸦每小时飞行75千米。

雉鸡每小时飞行50千米。

　　鹦鹉全世界大约有270多种鹦鹉。

我国有7种。

　　蜂鸟翅膀每秒扇动50～70次。

能够不停飞行800千米。

　　信天翁每天飞行500多千米。

　　猫头鹰它的脖子能转180°。

　　鹰鹰眼每立方厘米有视觉细胞150万个，（人眼只有20万个）

　　昆虫复眼它的复眼由多个小眼组成。

蜻蜒有28000只小眼。

蛾有27000只小眼。

龙虱有9000只小眼。

蜜蜂有5000只小眼。

蟑螂有2000只小眼。

蝇有4000只小眼。

　　昆虫寿命白蚁活15年。

锹形虫活5年。

蜂后活5年。

蝉活20天（在地下呆17年）。

蜉蝣活1天。

　　昆虫飞行速度蜻蜒每小时飞行150千米。

蝴蝶每小时飞行18～40千米。

　　蚊子蚊子翅膀每秒扇动250～600次。

　　跳蚤身长1～3毫米，所跳高度是它身长的100倍。

弹跳速度是每秒1350米。

　　蝗虫一个蝗虫群有7亿多只，一天吃掉16万吨粮食。

最大蝗虫群约有2500亿只。

　　七星瓢虫一只每天吃掉100多只蚜虫。

　　蚯蚓在每0.01公顷的土地上蚯蚓一年生产9吨粪土。

　　蚂蟥生活在水稻田里，它靠吸血维持生命，一次吸血10多毫升。

人们利用它这一特性，用它排除淤血、毒血治病。

　　蜘蛛它织出的网是正五边形。