高中数学 第1章 统计 5 用样本估计总体教学案 北师大版必修3.docx

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高中数学第1章统计5用样本估计总体教学案北师大版必修3

2019-2020年高中数学第1章统计5用样本估计总体教学案北师大版必修3

1．众数、中位数、平均数

（1）众数的定义：

一组数据中重复出现次数最多的数称为这组数的众数，一组数据的众数可以是一个，也可以是多个．

（2）中位数的定义及求法：

把一组数据按从小到大的顺序排列，把处于最中间位置的那个数（或中间两数的平均数）称为这组数据的中位数．

（3）平均数：

①平均数的定义：

如果有n个数x1、x2、…、xn，那么＝，叫作这n个数的平均数．

②平均数的分类：

总体平均数：

总体中所有个体的平均数叫总体平均数．

样本平均数：

样本中所有个体的平均数叫样本平均数．

2．标准差、方差

（1）标准差的求法：

标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．

s＝.

（2）方差的求法：

标准差的平方s2叫作方差．

s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2]．

其中，xn是样本数据，n是样本容量，是样本均值．

（3）方差的简化计算公式：

s2＝[（x＋x＋…＋x）－n2]

＝（x＋x＋…＋x）－2.

3．极差

一组数据的最大值与最小值的差称为这组数据的极差．

4．数字特征的意义

平均数、中位数和众数刻画了一组数据的集中趋势，极差、方差刻画了一组数据的离散程度．

[问题思考]

1．一组数据的众数一定存在吗？

若存在，众数是唯一的吗？

提示：

不一定．若一组数据中，每个数据出现的次数一样多，则认为这组数据没有众数；不是，可以是一个，也可以是多个．

2．如何确定一组数据的中位数？

提示：

（1）当数据个数为奇数时，中位数是按从小到大顺序排列的中间位置的那个数．

（2）当数据个数为偶数时，中位数为排列在最中间的两个数的平均值．

讲一讲

1.据报道，某公司的33名职工的月工资（单位：

元）如下：

职务

董事长

副董事长

董事

总经理

经理

管理员

职员

人数

1

1

2

1

5

3

20

工资

5500

5000

3500

3000

2500

2000

1500

（1）求该公司职工月工资的平均数、中位数、众数．

（2）假设副董事长的工资从5000元提升到20000元，董事长的工资从5500元提升到30000元，那么新的平均数、中位数、众数又是什么？

（精确到元）

（3）你认为哪个统计量更能反映这个公司员工的工资水平，结合此问题谈一谈你的看法．

[尝试解答]　

（1）平均数是＝1500＋

≈1500＋591＝2091（元）．

中位数是1500元，众数是1500元．

（2）新的平均数是′＝1500＋

≈1500＋1788＝3288（元）．

中位数是1500元，众数是1500元．

（3）在这个问题中，中位数或众数均能反映该公司员工的工资水平，因为公司中少数人的工资额与大多数人的工资额差别较大，这样导致平均数与中位数偏差较大，所以平均数不能反映这个公司员工的工资水平．

1．众数、中位数与平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．

2．众数考查各个数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．

3．中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给的数据中，也可能不在所给的数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述它的某种集中趋势．

练一练

1．某公司销售部有销售人员15人，销售部为了制定某种商品的月销售定额，统计了这15人某月的销售量如下：

销售量（件）

1800

510

250

210

150

120

人数

1

1

3

5

3

2

（1）求这15位销售人员该月销售量的平均数、中位数及众数；

（2）假设销售部负责人把月销售额定为320件，你认为是否合理，为什么？

如不合理，请你制定一个较为合理的销售定额．

解：

（1）平均数为（1800×1＋510×1＋250×3＋210×5＋150×3＋120×2）＝320（件），中位数为210件，众数为210件．

（2）不合理，因为15人中有13人的销售量未达到320件，也就是说，虽然320是这一组数据的平均数，但它却不能反映全体销售人员的销售水平．销售额定为210件更合理些，这是由于210既是中位数，又是众数，是大部分人都能达到的定额.

讲一讲

2.甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为了检验质量，各从中抽取6件进行测量，分别记录数据为：

甲：

99　100　98　100　100　103

乙：

99　100　102　99　100　100

（1）分别计算两组数据的平均数及方差；

（2）根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．

[尝试解答]　

（1）甲＝（99＋100＋98＋100＋100＋103）＝100，

乙＝（99＋100＋102＋99＋100＋100）＝100，

s＝[（99－100）2＋（100－100）2＋（98－100）2＋（100－100）2＋（100－100）2＋（103－100）2]＝，

s＝[（99－100）2＋（100－100）2＋（102－100）2＋（99－100）2＋（100－100）2＋（100－100）2]＝1.

（2）两台机床所加工零件的直径的平均数相同，又s>s，所以乙机床加工零件的质量更稳定．

在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性就越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．

练一练

2．对划艇运动员甲、乙两人在相同的条件下进行了6次测试，测得他们的最大速度（单位：

m/s）的数据如下：

甲：

27　38　30　37　35　31

乙：

33　29　38　34　28　36

根据以上数据，试估计两人最大速度的平均数和标准差，并判断他们谁更优秀．

解：

甲＝×（27＋38＋30＋37＋35＋31）＝＝33，

s＝×[（27－33）2＋（38－33）2＋（30－33）2＋（37－33）2＋（35－33）2＋（31－33）2]＝，

s甲＝≈3.96，

乙＝×（33＋29＋38＋34＋28＋36）＝＝33，

s＝×[（33－33）2＋（29－33）2＋（38－33）2＋（34－33）2＋（28－33）2＋（36－33）2]＝，

s乙＝≈3.56.

由上知，甲、乙两人最大速度的平均数均为33m/s，甲的标准差为3.96m/s，乙的标准差为3.56m/s，说明甲、乙两人的最大速度的平均值相同，但乙的成绩比甲的成绩更稳定，故乙比甲更优秀．

讲一讲

3.在一次科技知识竞赛中，两组学生的成绩如下表：

分数

50

60

70

80

90

100

人数

甲组

2

5

10

13

14

6

乙组

4

4

16

2

12

12

已经算得两个组的平均分都是80分．请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁劣，并说明理由．

[尝试解答]　

（1）甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组成绩好些．

（2）甲＝（50×2＋60×5＋70×10＋80×13＋90×14＋100×6）

＝×4000＝80（分），

乙＝（50×4＋60×4＋70×16＋80×2＋90×12＋100×12）＝×4000＝80（分）．

s＝[2×（50－80）2＋5×（60－80）2＋10×（70－80）2＋13×（80－80）2＋14×（90－80）2＋6×（100－80）2]＝172，

s＝[4×（50－80）2＋4×（60－80）2＋16×（70－80）2＋2×（80－80）2＋12×（90－80）2＋12×（100－80）2]＝256.

∵s

（3）甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分．其中，甲组成绩在80分以上（包括80分）的有33人，乙组成绩在80分以上（包括80分）的有26人．从这一角度看，甲组的成绩较好．

（4）从成绩统计表看，甲组成绩大于等于90分的有20人，乙组成绩大于等于90分的有24人，∴乙组成绩集中在高分段的人数多．同时，乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6人．从这一角度看，乙组的成绩较好．

要正确处理此类问题，首先要抓住问题中的关键词语，全方位地进行必要的计算、分析，而不能习惯性地仅从样本方差的大小去决定哪一组的成绩好，像这样的实际问题还得从实际的角度去分析，如本讲的“满分人数”；其次要在恰当地评估后，组织好正确的语言作出结论．

练一练

3．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示：

（1）请填写下表：

平均数

中位数

命中9环以上的次数（含9环）

甲

7

乙

（2）从下列三个不同角度对这次测试结果进行分析：

①从平均数和中位数相结合看，谁的成绩好些？

②从平均数和命中9环及9环以上的次数相结合看，谁的成绩好些？

③从折线图中两人射击命中环数的走势看，谁更有潜力？

解：

（1）由图可知，甲打靶的成绩为：

2,4,6,8,7,7,8,9,9,10；乙打靶的成绩为：

9,5,7,8,7,6,8,6,7,7.

甲的平均数是7，中位数是7.5，命中9环及9环以上的次数是3；

乙的平均数是7，中位数是7，命中9环及9环以上的次数是1.

（2）由

（1）知，甲、乙的平均数相同．

①甲、乙的平均数相同，甲的中位数比乙的中位数大，所以甲成绩较好．

②甲、乙的平均数相同，甲命中9环及9环以上的次数比乙多，所以甲成绩较好．

③从折线图中看，在后半部分，甲呈上升趋势，而乙呈下降趋势，故甲更有潜力．

【解题高手】【多解题】

一个球队所有队员的身高如下（单位：

cm）：

178,179,181,182,176,183,176,180,183,175,181,185,180,184，问这个球队的队员平均身高是多少？

（精确到1cm）

[解]　法一：

利用平均数的公式计算．

＝×（178＋179＋181＋…＋180＋184）＝×2523≈180.

法二：

建立新数据，再利用平均数简化公式计算．

取a＝180，将上面各数据同时减去180，得到一组数据：

－2，－1,1,2，－4,3，－4,0,3，－5,1,5,0,4.

′＝×（－2－1＋1＋2－4＋3－4＋0＋3－5＋1＋5＋0＋4）＝×3＝≈0.2，

∴＝′＋a＝0.2＋180≈180.

法三：

利用加权平均数公式计算．

＝×（185×1＋184×1＋183×2＋182×1＋181×2＋180×2＋179×1＋178×1＋176×2＋175×1）＝×2523≈180.

法四：

建立新数据（方法同法二），再利用加权平均数公式计算．

′＝×[5×1＋4×1＋3×2＋2×1＋1×2＋0×2＋（－1）×1＋（－2）×1＋（－4）×2＋（－5）×1]

＝×3≈0.2.

∴＝′＋a＝0.2＋180≈180.

1．已知一组数据为20,30,40,50,50,60,70,80，其中平均数，中位数和众数大小关系是（　　）

A．平均数＞中位数＞众数

B．平均数＜中位数＜众数

C．中位数＜众数＜平均数

D．众数＝中位数＝平均数

解析：

选D可得出这组数据的平均数、中位数和众数均为50.

2．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则